Bài toán cauchy và nửa nhóm - luận văn thạc sĩ khoa học

MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng.. Phương pháp nửa nhóm đã được phát t

2.4 Một số ví dụ 50

MỞ ĐẦU

Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng Nó được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,

kỹ thuật, tài chính

Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm

của nó Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt

chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ

thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán

Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn

Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất

( ) ( ) ( )

u t = Au t u = x t≥0, (CP) trong đó A X: → X là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên không gian Banach X và u: .+ → X Mục tiêu chính của luận văn nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 −nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm

n−lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy trên

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của C0 −nửa nhóm Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều Từ đó đưa ra một số

ví dụ minh họa

Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm C0đó là nửa nhóm n−lần tích hợp và nửa nhóm n−lần tích hợp địa phương bị chặn

mũ, không suy biến Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính

(n,ω )−đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Hà

Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian

qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường Trong những năm qua thầy cô đã tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp

em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng khi thực hiện luận văn

Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả

có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2011.

Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM

1.1 C0−nửa nhóm

Cho X là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh)

Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn {T t t( ), 0≥ } trên không gian Banach

X được gọi là C0 −nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) nếu

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh {T t t( ), 0≥ }

Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức)

( )

(A D A, ) là toán tử đóng trong không gian Banach X, tập các giá trị

λ∈ sao cho ( λI A− ) là song ánh (tức là ( ) 1

I A

λ − − là toán tử tuyến tính bị chặn trên X ), được gọi là tập các giá trị chính quy của A (tập giải của toán

tử A), ký hiệu ρ ( )A Tập σ( )A = \ρ( )A được gọi là tập phổ của toán tử

t

lim T s xds x t

0 0 1 n

s = < < <s s =t sao cho

1 0

,2

R λ x=∞∫e T t xdt x X−λ ∈ (1.1.8)

3 {T t t( ), 0≥ } là C0 −nửa nhóm và toán tử sinh A của nó là toán

tử tuyến tính Ta phải chứng minh:

∫

Thác triển liên tục trên toàn không gian X D A= ( ) ta được

khi và chỉ khi T s T t( ) ( )=T s t( + ) với ∀t s, 0≥

Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục)

Đối với toán tử (A D A, ( ) ) trên không gian Banach X, các tính chất sau là tương đương

a (A D A, ( ) ) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh

1.2 Bài toán Cauchy

Xét bài toán Cauchy

( ) ( ) ( )

u t = Au t u = x t≥0, (CP) trong đó A là toán tử tuyến tính, đóng với miền xác định D A( )⊆X, X là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1

Hàm u( )• ∈C1{⎡⎣0,∞),X}∩C{⎡⎣0,∞) ( ),D A}được gọi là nghiệm

của bài toán Cauchy (CP) nếu u t( ) thỏa mãn phương trình với ∀ ≥t 0 và thỏa mãn điều kiện ban đầu với t=0

Định nghĩa 1.2.2

Bài toán Cauchy (CP) được gọi là đặt chỉnh đều trên E⊂ X, (E X= )

nếu

1 Luôn tồn tại nghiệm với ∀ ∈x E;

2 Nghiệm là duy nhất với ∀ ∈ Τt ⎡⎣0, ⎤⎦, Τ >0, Τ∈ ;

3 Nghiệm ổn định đều đối với điều kiện ban đầu u( )0 = x, với

ta phải chứng minh T t( ) là toán tử đóng

Thật vậy, giả sử xn→ x trong ⎡⎣D A( )⎤⎦ và T t x( ) n =u t n( )→ y t( ) trong

Mặt khác, do tập giải ρ ( )A ≠ Φ, xét λ0∈ρ ( )A x D A, ∈ ( ) và y R= ( ) λ0 x, khi đó ta có

( )2

y D A∈ và T t x( ) = −T t Ay( ) +λ0T t y( ) = −AT t y( ) +λ0T t y( )

với ∀ ∈ Τt ⎡⎣0, ⎤⎦, tức là (CP) đặt chỉnh đều trên không gian X.

Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn cơ bản xét tính đặt chỉnh của (CP))

Giả sử A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X Khi đó

các điều kiện sau là tương đương:

(I) Bài toán Cauchy đặt chỉnh đều trên D A( );

(II) A là toán tử sinh của C0−nửa nhóm {T t t( ), 0≥ };

(III) Điều kiện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida (MFPHY) đối với

giải thức của toán tử A: tồn tại K >0, ω∈ sao cho

( )( )

!Re

Giả sử bài toán (CP) là đặt chỉnh đều trên D A( ) Điều này tương đương

với nghiệm u t t( ), 0≥ tồn tại và duy nhất với mọi x D A∈ ( ), ta ký hiệu

nghiệm là T( )• x Do đó với mọi ∀ ∈ Τ Τ > Τ∈t ⎡⎣0, , 0, ⎤⎦ , nghiệm này ổn định đều đối với điều kiện ban đầu Suy ra toán tử T t( ) bị chặn đều với

và do vậy (T2) được thỏa mãn

Mặt khác do T t( ) bị chặn đều với mọi Τ > Τ∈0, , 0,∀ ∈ Τt ⎡⎣ ⎤⎦ và T t x( )liên tục trên D A( ), (D A( )= X ) với t≥0 Vì vậy hàm T( )• liên tục mạnh khi t≥0, do vậy thỏa mãn (T3) Vậy họ các toán tử {T t t( ), 0≥ } là C0−nửa nhóm Hơn nữa, với ∀ ∈x D A( ) ta luôn có:

1 0

'

h h− T h I x T x AT x Ax

t T

,Re

A

d Kk

λ ω λ

λλ

Cứ tiếp tục như vậy, lấy đạo hàm đến cấp k ta có

λ ω λ

là công thức nghiệm của (CP)

Xét (1.2.6), ta có thể thác triển T^( )• x và đẳng thức (1.2.4) trên toàn không

gian X, do vậy T( )• thác triển được là liên tục mạnh với mọi t≥0 và

T t ≤ Keω , t≥0 Hoàn toàn có thể chứng minh được nghiệm bất kỳ u( )• của (CP) đều được

biểu diễn dưới dạng

( ) ( ) ( )0

u • = •T u (1.2.7) Thật vậy, từ định nghĩa 1.1.1, cho x D A∈ ( )3 , ta có

0 , 0

i t

A i

i t

theo (1.2.1) thì tích phân trên hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều theo t≥0

Tiếp theo lấy đạo hàm dưới dấu tích phân ta có

Dễ dàng kiểm tra được J t( ) thỏa mãn (CP) khi t >0

Thật vậy do sự tồn tại của limt→0J t'( ): ' 0= J^ ( ) và do tính đóng của toán tử ,

tức là ^J t( )là nghiệm của bài toán Cauchy (CP)

Bây giờ ta phải chứng minh tính duy nhất của nghiệm Giả sử u( )• là nghiệm của (CP), vì u( )• khả vi liên tục với t≥0, lấy tích phân từng phần

Xét không gian Banach X =L2( )

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng trừu tượng

( ) ( )

u t = Au t t≥0, 0u( )= f, (1.3.2) Xét toán tử A d

x

x s A

−∞

Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta phải kiểm tra được R A( )λ thỏa mãn điều

kiện Hille-Yosida

( ) 1

A

R λ ≤ λ đúng với mọi 0λ> Thật vậy

trên không gian X C= 0⎡⎣0,∞) (không gian các hàm liên tục trên⎡⎣0,∞) và triệt tiêu tại 0) và toán tử nửa nhóm xác định bởi:

Ví dụ 1.3.2 (lớp các toán tử sinh của C0 −nửa nhóm)

Xét bài toán Cauchy

( ) ( )

u t = Au t t≥0, u( )0 =u0 (1.3.3) Đặt

với γ ∈(0,1⎤⎦ khi đó T t( )bị chặn khi t→0

Bây giờ ta chứng minh toán tử ( ) 1

11

1 2

Vậy với ∀ ∈γ (0,1] thì A là toán tử sinh của C0 −nửa nhóm {T t t( ), 0 ,≥ }

khi đó bài toán (1.3.3) đặt chỉnh đều trên D A( )

Trong trường hợp tổng quát ta có:

0

g g

λ λ

λ λ

bài toán Cauchy cũng không đặt chỉnh trong trường hợp này

Ví dụ 1.3.3 (phương pháp nửa nhóm cho phương trình truyền nhiệt)

Cho Ω =( )0,1 , trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n Xét bài toán Cauchy-Diriclet trên X = L2( )Ω :

2 2

d A dx

= là toán tử tuyến tính không bị chặn trong L2( )Ω cùng

Với mỗi t ≥0, toán tử tuyến tính trên L2( )Ω xác định bởi:

1

k k k

Bây giờ ta chứng minh {T t( ), 0t ≥ } thỏa mãn tính chất nửa nhóm:

Cho v X∈ , sử dụng phép biến đổi tự liên hợp của T t( ) ta có

t

k k k

tồn tại và liên tục với ∀ ≥t 0.

Do đó, nếu ν∈D A( ) thì hàm u( )• =T( )• ν là nghiệm mạnh của bài toán

0

lim

h

T h I A

Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM

n -LẦN TÍCH HỢP 2.1 Nửa nhóm n−lần tích hợp bị chặn mũ

,

λ λ = ∞∫ −

( ) ( )

1

1 0

Từ đẳng thức trên ta nhận thấy C0 −nửa nhóm là nửa nhóm 0-lần tích hợp

Ta nhận thấy toán tử RA( ) λ thỏa mãn phương trình giải thức khi và chỉ khi

(μ λ− ) ( )R λ R( )μ = R( )λ −R( )μ , (2.1.1) ,

t s t

μ λ

t n

n s

t n

μ λ

n k

s k

n k s

t k n

s k

s s t

μ λ

t

s

s t

μ λ

R λ − = λI A− với Reλ ω> Khi đó ( ) 1

A=λI R− λ − là toán tử sinh của nửa nhóm n−lần tích hợp {V t t( ), 0 ≥ }

V t x x V s Axds

n

= + ∫ ; (2.1.3)

n

t A

λ λ

( ) ( )

AV t =V t A, V t x D A( ) ∈ ( ), x D A∈ ( ) Cho x D A∈ ( ), khi đó với Reλ ω> , ta có

( ) ( )

1 0 1

Hơn nữa, r( ) λ có thác triển giải tích đến miền { λ∈ Reλ ω> }.

Định lý 2.1.2

Cho n∈ ∪{ }0 , K >0, ω∈ Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm (n+1)−lần tích hợp {V t t( ), 0≥ } thỏa mãn điều kiện (2.1.7), nếu và chỉ nếu tồn tại a m≥ ax{ } ω,0 sao cho (a,∞ ⊂) ρ ( )A và

( ) ( )

( ) 1

!

k A

Định lý 2.1.3

Cho A là toán tử tuyến tính xác định trù mật với (a,∞ ⊂) ρ ( )A , trong

đó a≥0, 0, K > ω∈ −∞( ,a] Khi đó điều kiện (2.1.8) tương đương với: A là toán tử sinh của nửa nhóm n−lần tích hợp {V t t( ), 0≥ } sao cho

( ) n' 1( ) ,

V t x V= + t x x X∈ xác định một nửa nhóm n−lần tích hợp

( )

{V t t, 0≥ } sinh bởi A

2.2 Bài toán Cauchy (n,ω)−đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy

( ) ( )

u t = Au t t≥0, 0u( )= x, (CP) Trong đó A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X Ở đây X =⎡⎣D A( )n ⎤⎦ là không gian Banach cùng với chuẩn

với ∀ ∈x D A( )n+1 tồn tại một nghiệm duy nhất sao cho

,

!

n

k n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hàm toán tử {V t t( ), 0≥ } bị chặn mũ với mọi x D A∈ ( )n+1 , n N∈ , V t x( )liên tục theo t Do vậy V( )• liên tục mạnh

Hơn nữa, dễ dàng chứng minh toán tử

0

t n

A

R μ = ∞∫μ e V t dt−μ = R μ

Vì vậy, {V t t( ), 0≥ }là nửa nhóm n−lần tích hợp với toán tử sinh A

2.3 Nửa nhóm n−lần tích hợp địa phương

Nếu {V t t( ), 0≥ } là nửa nhóm n−lần tích hợp thì toán tử sinh của nó được định nghĩa từ đẳng thức:

Ta có A0 là toán tử khả đóng, vì vậy ta có thể gọi A0 là toán tử sinh của nửa nhóm n−lần tích hợp địa phương {V t( ), 0≤ < Τt }

Mệnh đề 2.3.1 (tính chất của nửa nhóm n−lần tích hợp địa phương)

Cho n∈ và A là toán tử sinh của nửa nhóm n−lần tích hợp địa phương {V t( ), 0≤ < Τt } ta có:

1) Cho x D A∈ ( ), t∈ Τ⎡⎣0, ) ta có:

( ) ( )

V t x D A∈ và AV t x V t Ax( ) = ( ) ; 2) Cho x D A∈ ( ), t∈ Τ⎡⎣0, ) ta có:

t

n

= +∫ ; (2.3.2) 3) Nếu D A( )= X, thì với mọi x X t∈ , 0,∈ Τ⎡⎣ ) ta có:

toán Cauchy địa phương (LCP) và ρ ( )A ≠φ thì nghiệm này thỏa mãn (2.3.4) Chứng minh

Cho x j →x và u t j( )→ y, khi đó ta có

'

j j

Cho k N∈ với 1 k n≤ ≤ Khi đó, từ (2.3.2) ta có

, 0:

log 1

n A

Ngoài ra G( ) λ giao hoán với R( λ,A) trên X và với A trên D A( )

G λ < với mọi λ∈Λ

Chứng minh

Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm n−lần tích hợp {V t( ), 0≤ < Τt } địa phương Khi đó từ mệnh đề 2.3.2 với mọi x D A∈ ( )n+1 , n N∈ , tồn tại một nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy địa phương

( ) ( )n ( ) : ( ) ,

T t x ≤ K xτ ≤ ≤ < Τ t τ (2.3.6) Cho T t x( ) ta có

1 2

1

k

e t T t xdt k

i

I I

τ λ

ξτ γ

Ngược lại, nếu (2.3.5) được thỏa mãn đối với toán tử A, khi đó

trong đó y Ax= Thật vậy cho x D A∈ ( ), thì x D∈ và y Ax=

Ngược lại, nếu x D∈ , λ ρ∈ ( )A

Hơn nữa, nếu H C∈ 1{⎡⎣0, ,τ ) } , khi đó với ∀ ∈x X, 0≤ <t τ:

Ví dụ 2.4.1 (Nửa nhóm tích hợp với toán tử sinh không xác định trù mật)

Xét bài toán Cauchy

trên không gian Banach X C= ⎡⎣0,∞)

Dạng trừu tượng của (2.4.1):

R λ f x = ∫e−λ − f s ds λ > x∈⎡⎣ ∞

Trường hợp này R A( )λ thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida Vì D A( )≠ X nên

A không sinh ra C0−nửa nhóm trên không gian X C= ⎡⎣0,∞)

Tuy nhiên A sinh ra C0−nửa nhóm trên không gian X C= 0⎡⎣0,∞) (không gian các hàm liên tục trên⎡⎣0,∞) và triệt tiêu tại 0) Từ (1.1.8) ta tìm được toán tử tạo nên C0 −nửa nhóm trên không gian X C= 0⎡⎣0,∞) sinh bởi A xác định bởi:

Ví dụ 2.4.2 (Lớp các toán tử sinh của nửa nhóm tích hợp)

Xét bài toán Cauchy

0

1 2

1

.1

Cho Ω =( )0,1 , trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n

Xét bài toán Cauchy-Diriclet trên X = L2( )Ω :

2 2

2 2

, 0,0

,

u t

2 2

d B dx

,0

I B

C • không khả vi trên X Do vậy T t( ) không là C0−nửa nhóm trên X

Trên không gian L2( )Ω ×L2( )Ω ta xét toán tử:

Toán tử này bị chặn và liên tục mạnh thỏa mãn các điều kiện (V1) - (V4) trong Định nghĩa 2.1.1 Do đó {V t( ), 0t ≥ } tạo nên nửa nhóm tích hợp sinh bởi toán tử Φ

Ví dụ 2.4.4 (Nửa nhóm tích hợp cho toán tử không bị chặn mũ)

Cho X l= 2 là không gian các dãy số { }a m ⊂ sao cho 2

1

m m a

Khi đó {V t( ), 0t ≥ } tạo thành một nửa nhóm tích hợp không bị chặn mũ

Ví dụ 2.4.5 (Nửa nhóm tích hợp n−lần địa phương)

Cho X l= 2 là không gian các dãy số { }a m ⊂ sao cho 2

1

m m a

T t x = e x ∞= tạo nên một nửa nhóm không

bị chặn Lấy tích phân ea t m ta thu được nhân tử me−m, cứ tiếp tục như vậy

n−lần ta thu được hàm bị chặn với t n≤ Τ Từ đó ta thu được nửa nhóm

n−lần tích hợp địa phương V t n( ) với A là toán tử sinh:

( ) ( ( ) )

1

n t

sup

1 ! m

n t

a s n

KẾT LUẬN

Luận văn bao gồm những vấn đề sau:

Trình bày phương pháp C0 −nửa nhóm, ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy trừu tượng (CP) Trong đó điều kiện (MFPHY) cơ bản được sử dụng là tiêu chuẩn để xét tính đặt chỉnh của bài toán trên

Trình bày lớp nửa nhóm n−lần tích hợp là mở rộng của lớp nửa nhóm

0,

C ứng dụng để nghiên cứu tính (n,ω )−đặt chỉnh của bài toán Cauchy trừu tượng (CP) và phương pháp nửa nhóm tích hợp địa phương bị chặn mũ, không suy biến để nghiên cứu tính n−đặt chỉnh của bài toán Cauchy địa phương (LCP)

Luận văn đã lấy được các ví dụ cụ thể minh họa dựa trên các phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu như phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng

Bài toán Cauchy trừu tượng còn có thể được nghiên cứu mở rộng hơn trong không gian trừu tượng cùng nhiều phương pháp tiếp cận ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán này

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội,

2006

[2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB

ĐHQG Hà Nội, 2005

[3] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội, 2006

[4] Hoàng Tụy, Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội, 2005

[5] Irina V Melnikova Alexei Fininkov, Abstract Cauchy Problems: Three Approaches, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton London NewYork