SKKN một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

Vậy làm thế nào để học sinh có thể nắm được một sốphương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài tập trong Hình học 7?. - Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “phương pháp vẽ thêm y

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra conngười có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Nhằm đáp ứngyêu cầu mới trong nhu cầu của thời đại, việc triển khai chương trình giáo dục phổthông, nhằm thực hiện các mục tiêu, nhiệm vụ của Nghị Quyết số 29-NQ/TW ngày04/11/2013 Ban chấp hành Trung ương Đảng về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáodục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh

tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” đã được Hội nghị lầnthứ 8, Ban Chấp hành Trung ương (Khóa XI) thông qua

Nghị quyết số 29 của Hội nghị BCH TƯ lần thứ 8 (Khóa XI) là sự kế thừa,nâng cao của Nghị quyết Trung ương 2 (Khóa 8) Theo đó, Trung ương Đảng tiếp tụcxác định phát triển GD&ĐT là quốc sách hàng đầu và trong xu thế hiện nay “Đổi mớicăn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đạihoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốctế” nhằm nâng cao chất lượng nguồn nhân lực được Đảng ta xác định là một trong bađột phá chiến lược của công cuộc phát triển đất nước

Quan điểm chỉ đạo, mục tiêu, nhiệm vụ và giải pháp của Nghị quyết số 29-NQ/

TW của BCH Trung ương đưa ra để tập trung lãnh, chỉ đạo thực hiện 8 nhiệm vụ và

giải pháp cơ bản theo đúng thực tiễn của sự phát triển kinh tế xã hội trong đó nhiệm

vụ giải pháp thứ 2 là tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáodục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học

Đó là một cuộc cải cách nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, pháthuy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học, nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh,giúp các em trở thành những con người phát triển toàn diện (Đức, Trí, Thể, Mỹ )

Toán học là một bộ môn của khoa học tự nhiên được ra đời và phát triển rấtsớm Ngay từ khi ra đời Toán học đã phục vụ thiết thực cho đời sống xã hội, hơn nữa,Toán học được coi là cơ sở của nhiều ngành khoa học, nó phát triển tư duy, phát triểnnăng lực trí tuệ và rèn luyện phương pháp suy luận logic của con người Chính vìvậy mà ngày nay Toán học là môn học chiếm nhiều thời gian nhất trong kế hoạch đàotạo của nhà trường phổ thông Thông qua việc học tập Toán học, việc học sinh ngoàiviệc nắm vững kiến thức còn biết áp dụng vào thực tiễn, vào lao động sản xuất

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán nói chung và môn Hình học nói riênggiữ một vị trí rất quan trọng Trong môn học này, học sinh được học nhiều kiến thức,nhiều phương pháp suy luận, rèn luyện kỹ năng tính toán, vẽ hình Ngoài ra môn họcnày còn góp phần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt,độc lập, sáng tạo

Nhưng do tính trừu tượng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấpTHCS Gặp bài chứng minh hình học, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu

từ đâu, vận dụng kiến thức nào để giải quyết vấn đề Do vậy bài làm của nhiều họcsinh bị sai, không hoàn chỉnh hoặc không tìm được phương pháp giải dẫn đến họcsinh ngại học môn hình, trong khi tìm phương pháp giải Toán hình học ta gặp một số

1

bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đườngphụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở nên thuậnlợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải.

Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số bài tập cơ bản với thờilượng chưa nhiều Với các bài tập có liên quan đến vẽ đường phụ phần lớn học sinhvận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để vẽ thêm đường phụ để giảibài tập Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập hình học trong SGK thườngchưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình

Hiện nay, trong kì thi học sinh giỏi Toán 7, các bài toán có vẽ thêm yếu tố phụkhá phổ biến Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán

là điều khó khăn và phức tạp Vậy làm thế nào để học sinh có thể nắm được một sốphương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài tập trong Hình học 7?

Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 7, đặc biệt là trong công tác bồidưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thucác kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi họcsinh giỏi, các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượngcao là rất cần thiết Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu: “Một số Phươngpháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7”

* Điểm mới của Đề tài

Nội dung của đề tài này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội dungcòn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể Điểm mới trong đề tài này, tôi tậptrung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng một số phương pháp vẽ thêm yếu tốphụ Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩcác ví dụ và bài tập áp dụng Trong đề tài này tôi đã cố gắng tìm ra một số ví dụ vềcác phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ, đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó, các bàitập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt vàgiúp học sinh chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho cácbài toán Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy và áp dụng giảng dạy có hiệu quảtốt Nội dung vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấpTHCS có thể nhân rộng áp dụng vào giảng dạy ở các đơn vị trên địa bàn Mong rằng

đề tài sẽ được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận

1.2 Phạm vi áp dụng đề tài:

* Đối tượng nghiên cứu:

- Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hainhóm đối tượng cụ thể sau:

1 Giáo viên dạy toán THCS

2 Học sinh lớp 7 THCS : bao gồm 1 lớp 7 với tổng số 30 học sinh và nhóm bồidưỡng học sinh giỏi toán 7

* Phạm vi nghiên cứu:

2

- Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ”

mà học sinh chưa phát hiện ra trong quá trình chứng minh các bài toán hình học

- Phân tích một số bài toán cụ thể để học sinh nhận thấy được cách thức vẽ thêmyếu tố phụ mà học sinh không nhận ra dẫn tới không giải được các bài toàn chứngminh hình học, đặc biệt là các bài toán khó

- Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải vẽ thêm yếu tố phụ khichứng minh các bài toán hình học

* Phạm vi áp dụng đề tài: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 7 và giáo viên dạyToán THCS nơi bản thân đang công tác

3

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Qua nhiều năm dạy môn Hình học lớp 7, tôi nhận thấy rằng, không có phươngpháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trongkhi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điềukiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳtiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản

và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêmyếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽnhư vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đườngphụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay tại sao chỉ vẽ thêmnhư vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáoviên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinhkhông nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứcho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đềnày một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khảnăng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em những cơ sởcủa việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tốphụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các

em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tưduy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn

* Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:

Trước khi áp dụng đề tài tôi đã tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liênquan đến vẽ thêm yếu tố phụ trên 30 học sinh Kết quả đạt được như sau:

0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 – 10

2.2 Các giải pháp

2.2.1 Cơ sở lý luận của việc vẽ thêm yếu tố phụ

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một

số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trongchương trình THCS

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

4

- Dựng đường tròn (A, c) Gọi B là giao điểm của đường tròn (A, c) với tia Ax.

- Dựng đường tròn (A, b) và đường tròn (B, a), gọi C là giao điểm của chúng.Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b và BC = a

Chú ý: Nếu hai đường tròn (A, b) và (B, a) không cắt nhau thì không dựngđược tam giác ABC

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.

Cách dựng:

Gọi xOy là góc cho trước Dựng đường tròn (O, r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B

ta được OAB

Dựng O’A’B’ = OAB ( c.c c) như bài toán 1, ta được O  '  O 

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.

Cách dựng:

yx

* Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.

x

y

zA

B

C

Dr

r1

2

6

Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường

thẳng a cho trước

Cách dựng:

- Dựng đường tròn (O, r) cắt a tại A, B

- Dựng đường trung trực của AB

- Đường trung trực của AB là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) tathường làm theo một cách gồm các bước sau:

Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)thuộc hai tam giác nào?

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứngbằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần cócũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuấthiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra làlàm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toánhình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ

7

được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thựchiện giải toán rất hiệu quả, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm

của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H  BC) và DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H  BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

DH  BC, DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A.

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =1

 DH // AK (đường nối trung điểm 2

cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3)

đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trungbình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Toán 8 nhưng ở phạm vikiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khágiỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉmuốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có B   C  ; chứng minh rằng: AB = AC?

(Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có B   C  ; Yêu cầu: chứng minh AB = AC.

2 1

C B

A

I

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnhhuyền, yêu cầu chứng minh: 1

2 2

AM  BC  AM  BC

2) Hướng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạnthẳng đó Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M làtrung điểm của AD

B

A

C M

D 1

1

2

chỉ còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài toán chứng minhhai đoạn thẳng bằng nhau Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạnthẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhaucủa tam giác

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC.

So sánh BAM  & MAC  ? (Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm củaBC

Yêu cầu : So sánh BAM  & MAC  ?

2) Hướng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tamgiác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có

AB < AC Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho

MD = MA Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này

M là trung điểm BC

KL So sánh  BAM & MAC  ?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

A  D (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Mà A1 D ( theo (2)) nên A2 A1hay BAM MAC   

4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùngmột tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diệntrong một tam giác Ta đã chuyển góc A1&A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽđường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 D , ta chỉ còn phải so sánh D &A2 ởtrong cùng một tam giác ADC

Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là

AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh  ABD =  DCA

Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ cần chứng minhhai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc - cạnh

- góc Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng songsong

Phương pháp 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng.

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A

thành ba góc bằng nhau.Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM làtam giác đều?

1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AMchia góc A thành ba góc bằng nhau Yêu cầu ta chứng minh ABC là tam giác vuông

và ABM là tam giác đều

 ( vì M là trung điểm BC) suy ra AM = BM do

đó ABM cân tại A và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều

dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hìnhhọc.

Bài toán 7: ( Đề kiểm tra HSG Toán 7 PGD&ĐT LỆ THỦY - năm học: 2011- 2012)

Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB

và AC Kẻ NH vuông góc với CM tại H Kẻ HE vuông góc với AB tại E Chứngminh rằng tam giác AHB cân

211

1

K E

M

H

N Q

C A

Do đó BAK = BHK (c.g.c)  BA = BH hay ABH cân tại B

Các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương phápchung gọi là phương pháp tam giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm mộtphương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán

Phương pháp 5: Phương pháp “tam giác đều”

Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi.

Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn họcsinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như:

- Tam giác cân có một góc xác định

- Tam giác đều

- Tam giác vuông cân

- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnhhuyền

Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông quamối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác địnhnêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góctương ứng của chúng bằng nhau)

15