Thực tiễn qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích học chủ đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với tâm lý ngại và sợ học nội
Trang 1I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài:
Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực là nhiệm vụ vô cùng quan trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành Giáo dục Vì lẽ đó Bộ Giáo dục & Đào Tạo nói chung, các trường THPT nói riêng luôn quan tâm đến việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong những năm gần đây số lượng và chất lượng giải trong các kì thi học sinh giỏi ngày càng tăng chính là kết quả của sự đầu tư, quan tâm của các cấp quản lí giáo dục Đối với môn Toán, một trong những môn học quan trọng nhất thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi càng được xem trọng hơn
Chủ đề “Bất đẳng thức” là nội dung không thể thiếu trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Trong các kì thì Đại học – Cao Đẳng, nội dung bất đẳng thức thường là nội dung giúp phân loại, chọn lựa học sinh khá, giỏi Đối với hầu hết giáo viên và học sinh THPT đều xem “Bất đẳng thức” là nội dung khó dạy, khó học nhất Tuy nhiên nếu học sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” thì sẽ phát huy tốt khả năng tư duy sáng tạo từ đó học tốt các chủ đề khác, môn học khác Thực tiễn qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích học chủ
đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với tâm lý ngại và sợ học nội dung này
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những bất đẳng thức kinh điển của Toán học Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki là một công cụ rất hay, hữu hiệu
để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất đẳng thức Học sinh THPT thường yếu ở kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức này cho học sinh là việc làm rất thiết thực Những lí do nêu trên cùng với những kết quả tích cực từ thực tiễn dạy học chủ
đề “Bất đẳng thức” của bản thân là cơ sở để tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi THPT”
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở lí luận của đề tài.
a Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
1/ a > b và b > c a > c
2/ a > b a + c > b +c
Hệ quả: a > b + c a - c > b
3/ a > b và c > d a + c > b + d
4/ a > b ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 )
5/ a > b > 0 bà c > d > 0 ac > bd
6/ a > b > 0, n nguyên dương a n > b n
7/ a > b > 0, n nguyên dương n a > n b
Trang 2Hệ quả: a > b ≥ 0: a2 b2 a ≥ b a b.
8/ a > b, ab > 0
a
1
<
b
1
9/ + a > 1, m và n nguyên dương, m > n a m> a n
+ 0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n a m < a n
b Bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng đơn giản nhất.
Cho 4 số dương a, b, c, d khi đó ta có bất đẳng thức:
) )(
( ) (abcd 2 a2 c2 b2 d2 (1)
Dấu “=” xảy ra khi ad = bc
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy số không âm.
Cho hai dãy số không âm a1,a2,…và b1,b2,…bn khi đó ta có:
(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) (2)
Dấu bằng xẩy ra
n
n
b
a b
a b
a
2
2 1
1
(với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
c Bất đẳng thức Bunhiacovski mở rộng:
Cho m dãy số thực không âm, trong mỗi dãy có n phần tử:
c c
c
b b
n n n
, ,
,
, ,
,
, ,
,
2 1
2 1
2 1
m dãy
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
n n
a c
b a c
b
a1 1 1 2 2 2
n
m
m
2
1 b b bm
n
m m
2
1 … c c cm
n
m m
2
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
a1: b1:…:c1 = a2: b2:…: c2 =…= an: bn:…: cn
Nhận xét: Bằng cách cho m;n một giá trị cụ thể ta thu được:
+ Với m=2; n=2 thì:
2 2 1
1b a b
a a a2
2
2
1 b b2
2
2
1 Dạng (1) + m=2; nN và n>2 ta có bất đẳng thức:
2 2
1
1b a b a b
a n n a a2 an2
2
2
1 b b2 bn2
2
2
1 Dạng (2)
+ m=3; n=3 ta có:
3 3 3 2 2 2 1
1
1b c a b c a b c
a a a a3
3
3 2
3
1 b b b3
3
3 2
3
1 c c c3
3
3 2
3
1
(4)
Trang 3………
2 Thực trạng của đề tài:
Qua quá trình thực tiễn dạy học tôi nhận thấy rằng khi dạy học chủ đề
“Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng có thực trạng như sau:
+ Đa số học sinh rất ngại thậm chí “sợ” khi giải toán bất đẳng thức Từ tâm lý ngại và sợ đó dẫn đến tình trạng học sinh không quyết tâm khi học chủ đề
“ Bất đẳng thức”, nhiều học sinh cứ gặp bài toán bất đẳng thức là bỏ, không chịu
tư duy để giải toán
+ Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki của học sinh đa số mới chỉ
dừng lại ở mức nhận biết, rất ít học sinh thuần thục kỹ năng và sáng tạo khi vận
dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải toán
+ Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư khi dạy học chủ đề
“Bất đẳng thức” nói chung, dạy học bất đẳng thức Bunhiacopxki nói riêng
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki không được dạy trong chương trình SGK, chỉ giới thiệu ở dạng đơn giản nhất (dạng (1)) hơn nữa số tiết theo phân phối chương trình dành cho chủ đề “ Bất đẳng thức” rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học chủ đề này
+ Chủ đề “ Bất đẳng thức” thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nên rất khó để giáo viên tổ chức dạy học ở những lớp có nhiều đối tượng học sinh
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tôi đã dành một phần thời lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh Tùy theo năng lực của mỗi học sinh cũng như tập thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp Các bài tập để học sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn theo 3 mức đó là:
Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh khá Các bài tập này chủ
yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập
Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi Các bài tập ở mức thông hiểu, để
giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm trắc những kiến thức cơ bản còn phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến thức, kĩ năng toán học khác
Mức độ 3: Dành cho những học sinh giỏi Các bài tập ở mức cao hơn đòi
hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài tập này ngoài kiến thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học như phán đoán, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát…
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học thông qua những giải pháp cụ thể sau:
3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki trong chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Bài tập ở mức độ 1.
Cho 3 số dương a, b, c với a, b c Chứng minh: a(c b) b(c a) c
Trang 4Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( dạng (1)) cho các bộ số
)
;
( a c a và ( c b; b) ta có: ( a(c b) b(c a ) 2 c2 đpcm
Ví dụ 2: Bài tập ở mức độ 2 ( Đề thi ĐH - CĐ khối A - năm 2003)
Cho x, y, z > 0 thỏa món : x + y + z 1 Cmr:
2
2 2
z
z y
y x
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số ( ;1)
x
x và (1; 9) ta có:
)
1 (
82 )
9
x
x x
x tương tự ta có:
) 1 (
82
)
9
( 2 2 2
y
y y
z
z z
z Cộng vế với vế ta được:
9 9 9
82 + x+ y+ z 81 ( ) 9 (11 1) 80 (xyz)
z y x z y x
)(1 1 1) 80
(
3
.
9
.
2
z y x z y
Ví dụ 3: Bài tập ở mức độ 3.
a Cho a;b;c là ba số dương
2 2
2
c a c
b c b
a
b Cho a;b;c>0;m nguyên dương và p;q>0
1
3
m m
m m
q p
c b a qb pa
c qa pc
b qc pb
a N
Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức (4)
Ta có (a+b+c)3=
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 ( 2 ) )
2
) 2 ( 2
) 2 (
.
2
b a
c b
a c b a c
b a
c b a
c
b
a
(b a2c c b2a a c2b).
(ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc).(a+b+c) Chia hai vế cho: 3(ab+bc+ac).(a+b+c) , ta được:
b a2c c b2a a c2b
)
ac bc ab
c b a
Trang 5Hiển nhiên ta có : (a+b+c)2 3 (abbcac) do đó:
1
) (
3
)
ac bc ab
c b a
2 2
2
c a c
b c b
a
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c
Sau khi cho học sinh giải bài tập giáo viên nên đặt câu hỏi, dẫn dắt để học sinh hiểu rằng bất đẳng thức ở câu b thực chất là bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức đã chứng minh ở ý a.
b Ta có: (a+b+c)m=
2
2 2
2
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1
m
m m
m m
m
m m
m
m
m
qb pa qa pc qc
pb
N
qb pa qb pa
c qa
pc qa pc
b qc
pb qc
pb
a
Suy
ra: (a+b+c)m N.p q 3 2
b c m
a mà a+b+c > 0
Cho nên: N
1
3
m
m
q p
c b a
(đpcm) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Nhận xét: Việc tham số hoá trở lại thích hợp ta có một loại các bài toán mới:
m =1;p=1;q=1: b a c
+c b a
+ 23
b a c
m=1; p = 1; q = 2: b a2c
+c b2a
2
b a c
m =3; p = 2; q = abc1 :
1
2 2
4
ab
b a
1
2 2
4
bc
c b
1
2 2
4
ca
a c
3
1 2
) ( 2 abc abc
c b a
p=q=1;m
3
2
m m
m
b a
c a c
b c b a
Ví dụ 4 : Bài tập ở mức độ 3.
a Cho a,b,c >0 CMR:
a c
b c b
a
2 2
+
2
2 a b c b
a
b Cho a,b,c>0 và k1 ,k2 ,k3là các tham số dương
CMR: b a k c c b k a a c k b (1 k )a(a(1 b k c)b) (1 k )c
1 3
2
2 3
2 2
2 1
2
Trang 6Lời giải:
a Ta có:
2
2 a b
b a
c a c a c
b c b c b
a c
b
(
c b
a
2
+
a c
b
2
+ 2 )
b a
c
(b+c+c+a+a+b)
Hay
c
b
a
2
+
a c
b
2
+
b a
c
2
2
c b
(đpcm)
Nhận xét:
Bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng nhiều cách
Tham số hoá bất đẳng thức trong câu a ta được bài toán tổng quát chính là bất đẳng thức ở câu b
2 3 3
2 2
1 1
b k a
c a
k c a k c
b c
k b c k b
a c
b
3
2 2
2 1
2
b k a k c k c b a b k a
c a k c
b c
k
b
a
b k a
c a k c
b c k b
a
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ).
3
2 2
2 1
2
Vậy
b a k c c b k a a c k b (1 k )a(a(1 b k c)b) (1 k )c
1 3
2
2 3
2 2
2 1
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
3 2
1 k k k
c b a
3.2.Giải pháp 2: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki khi giải bài toán tìm min, max ; tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN).
Ví dụ 5:
a Bài tập mức độ 1
Cho a; b > 0 và a+b=
4
5
Tìm Min của biểu thức: S =
a
4
1
b
4
b Bài tập mức độ 2
Cho a;b>0; a-b=1 và X;Y>0; X+Y=b a Chứng minh rằng: a
bY X
b
1
Trang 7Lời giải:
a Do a;b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:
; 2
1
2
và a; b ta được:
4
25
2
1
b
a
a
4
1
b
4
)(a+b)
Hay:
4
25
(
a
4
1
b
4
)
4
5
(vì a+b =
4
5
)
Suy ra: S=
a
4
1
b
4
5
1 1 0
;
4
: 2 :
2 1
b a b
a b a
b b a a
Vậy MinS = 5 khi a =
4
1
; b = 1
b Vận dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:
1 ;
b và Y ; X ta được:
b
b 2
1 =
2
1
X
b Y
X
b
1
Hay:
b
b 2
1
bY X b b a
1
(do a=1+b)
bY X
b
1
(đpcm)
b Y X Y
X
b Y X
X X b Y
bY
1 0
;
: :
1
Ví dụ 6 : Bài tập mức độ 3.
Cho x>1;y>2 và x+y=256 Tìm giá trị nhỏ nhất của S =6( 1 1) 6 2
y x
Lời giải: Ta có x+y=256 (x-1)+(y-2)= 67 và x>1;y>2 nên x-1>0;y-2>0
Áp dụng bất đẳng thức(1) cho 2 dãy: ; 62
) 1 ( 6
1
x và x 1 ; y 2 ta được:
Trang 8 ( 1 ) ( 2 )
2
6 ) 1 ( 6
1 2
2
6 1
) 1 (
6
1
6
y x
y y
x
6
7
.
6
49
S
S 7
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi :
3 7 2
; 1 6 25 6 2
y x y
x y x y
Vậy MinS=7 khi x=67 ;y=3
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Ví dụ 7 : Bài tập mức độ 1.
Giải phương trình:
14 12 3 2 5
3
x
Lời giải :
Giải phương trình:
2 2
5 2 0
x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ số không âm (1:1) và ( 2x 3 : 5 2x ) ta có:
2x 3 5 2 x2 1 2 1 2 2x 3 2 5 2 x2 2.2 4
2x 3 5 2 x 2 Do 2x 3 5 2 x 0
Dấu “=” xảy ra 2x 3 5 2 x x 2
3x 22 2 2 dấu”=” xẩy ra x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 8 : Bài tập mức độ 2.
Giải phương trình: 1 3 2 ( 3 ) 2 2 2
x
Lời giải: x 1 x 3 2(x 3) 2 2x 2 (a)
Trang 9Áp dụng BĐT Bunhiacụpxki cho 2 bộ số khụng õm ( x 1; x – 3) và (1 ; 1)
2
(b)
(a) và (b) xảy ra khi chỉ khi: x 1 x 3
x2 – 6x + 9 = x – 1
x2 – 7x + 10 = 0 x = 2
hoặc x = 5
x = 2 khụng thoả món; x = 5 thoả món
vậy S 5
Vớ dụ 9 : Bài tập mức độ 3
Giải phương trỡnh: 24 4 4 3
x x x x
Lời giải: x24 2 x4 1 x4 x3
4
Đ K : x4 2
Vỡ x = 0 khụng phải là nghiệm nờn phương trỡnh 4 4 12 2
x
Ta cú: 12 2
2
x
x dấu “=” xảy ra
2 2
1
x x
x2 1 (c) Mặt khỏc: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cú:
2 4
2
(d)
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (c) và (d) suy ra phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 1
Vớ dụ 10 Bài tập mức độ 3 Giải phương trỡnh 4 1 2 4 1 4 1 3
Giải: Đk : -1x1
Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:
41 x 2 =4 ( 1 x)( 1 x)
2
1 x +
2
1 x (i) 41 x 4 1 ( 1 x)
2
1
1 x (ii)
Trang 1041 x =4 1 ( 1 x)
2
1
1 x (iii)
Tõ (i),(ii),vµ(iii) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : 41 x 2 +41 x +
41 x 1+ 1 x+ 1 x 3
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi : 1 x= 1 x = 1 x=o
KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
3.4.Giải pháp 4: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki khi giải một số bài toán hình học.
Ví dụ 11: Bài tập mức độ 2.
Cho elip (E) : 1
9 16
2 2
y
x các điểm M, N chuyển động lần lượt trên các tia Ox,
Oy sao cho MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) (E) là 1
9
16
y y x
x
Suy ra tọa độ của M, N là (16; 0 )
0
x
0
y N
0
2 2 0
2
y x
9 16 (
2 0
2
x
(16 92)
0
2 2 0
2
y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (dạng (1)) ta có : 2 ( 4 3 ) 2 49
MN
Khi đó MN đạt GTNN bằng 7 với M( 2 7 ; 0 )và N( 0 ; 21 )
Ví dụ 12 : Bài tập mức độ 2.
a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
2 2 2
2 2
2 a b c
c b
a c
b a
c b a
Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số không âm
a
c
b
a
2
2 ; c b a b
2
2 ; a c b c
2
2 và a( 2b 2c a) ;
) 2
2
( c a b
b ; c( 2a 2b c) ta có :
2 2
2
4 4
4
.( ab bc ca a b c a b c
Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh được :
1 4
4
4
) (
2 2 2
2
c b a ca
bc
ab
c b
a A 1, dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
Trang 11Ví dụ 13: Bài tập mức độ 3
Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng:
Q=
SinB
A Sin
C Sin SinA
C Sin
B Sin SinC
B
Sin
A
Sin
2
2 2
2 2
2
2 2
2
) 3 1 ( 3
) 2 2
2 (
Sin
B Sin
A Sin
Lời giải: Ta có
Do 0 0<A;B;C<1800 Nên 0
2
; 2
;
C Cos
B Cos
A
được:
Q=
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
B Sin
B Cos
A Sin
C Sin A
Sin
A Cos
C Sin
B Sin C
Sin
C Cos
B
Sin
A Sin
2
) 2 2 1 ( 2
) 2 2 1 ( 2
)
2
2
1
(
) 2 2
2
C Sin
C Cos
B Sin
B Cos
A Sin
A
Cos
C Sin
B Sin
A Sin
Hay Q
SinC SinB
SinA
C Sin
B Sin
A Sin
C Sin B Sin A Sin
2 2
2
) 2 2
2
(6) Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau:
2
3 3
; 2
3 2 2
2 SinASinBSinC
C Sin B
Sin
A
Sin
Suy ra:
2
) 3 1 ( 3 2
2 2
Sin B Sin C SinA SinB SinC
A
Từ (6) và (7) ta có: Q
) 3 1 ( 3
) 2 2
2 (
Sin
B Sin
A Sin
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
3.5.Một số bài tập áp dụng.