Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên trường THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ năm 2016 - 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán Thời gian làm b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a211ab3b2 0,b2 ,a b  Tính giá trị biểu thức2a

T

b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức

P

x y z y z x z x y xyz



Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y thỏa mãn, 2x32x y x2  22xy x  10

b) Cho 19 điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng 3, trong đó không

có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 19 điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn 3

4

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2x 1 x  3 2

b) Giải hệ phương trình

2

x x y x xy







Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn

BC sao cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE,

ACFG và hình bình hành AEKG

a) Chứng minh rằng AK = BC và AK BC

b) DC cắt BF tại M Chứng minh rằng A K M thẳng hàng., ,

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của ( ; ) O R thì K luôn thuộc một

đường tròn cố định

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số dương ,x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x y x y P

x y



………… HẾT…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Hướng dẫn Câu 1

a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a211ab3b2 0,b2 ,a b  Tính giá trị biểu thức2a

T

Ta có

2 2

T

Từ giả thiết suy ra11ab 2a23b2, thay vào T ta được:

2

T

b) Ta có: a3b3 c3 3abc(a b c a  )( 2b2c2ab bc ca  )

Suy ra nếu a b c   thì0 a3b3c33abc

Vì (x2y2) ( y2z2) ( z2x2) 0 nên

x y y z z x x y y z z x

MT x y z y z x z x y xyz

x y y x z x y xyz y z x z

xy x y z x y z x y x y xy z zx zy

x y x y z z y z x y y z z x

Suy ra P TT 3(x y y z z x)( )( )

MT

số cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là ,x y(x y  Vì) 2 P3(x y y z z x )(  )(  ) nên P 6

Câu 2a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 2x32x y x2  22xy x 10 (1).Ta có

2

x x y x x y x x

Nhận xét:

+) 10 1.10 2.5 ( 1)( 10) ( 2)( 5)        ;

+) x2 x x x( 1) là số chẵn; 2(x y ) 1 là số lẻ;

+)

2

x  x x      x  x

Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:

x x

x y

  



x x

x y

  



 TH1

x x

x y

  

2

1 1

2 2

2

3

5

x x

y

x x

x

x y

y

 









 Vậy có hai bộ số ( ; )x y thỏa mãn là: (1;2),( 2;5)

b) Giả sử 19 điểm nằm trong tam giác đều ABC cạnh bằng 3 Chia tam giác ABC thành 9

tam giác đều, có cạnh bằng 1 (gọi là tam giác nhỏ) như hình vẽ

Mỗi tam giác nhỏ có diện tích là 3

4

S 

Vì có 19 điểm nằm trong 9 tam giác nhỏ nên có ít nhất 3 điểm cùng thuộc một hình tam giác nhỏ Giả sử 3 điểm đó là I I I 1, ,2 3

Khi đó tam giác I I I1 2 3 nằm trong một tam giác nhỏ nên 1 2 3 3

4

I I I

S 

Câu 3 a) Giải phương trình sau: 2x 1 x 3 2 (1)

Điều kiện: x3

Ta có

12

x

x





Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện

Vậy PT đã cho có hai nghiệm x4;x12

b) Giải hệ phương trình:

2

( )

x x y x xy

I







Ta có

2

2

( )

x x x y I



 



ặt ux2x v; 2x y Hệ đã cho trở thành:

2 3 6

2

u v uv

v

  



 







 Với

2

 

Với



Giải hệ này được 2 nghiệm:

;

Câu 4

a) Ta có  KEA EAG 180 ,0  BAC EAG 1800 KEA BAC Lại có:

EK  AG AC EA AB  AEK  BAC AK BC Ta có

AEK BAC EAK ABC

BAH ABC BAH EAK   AH BC Vậy AK BC

b) Vì KACKAG90 ;0 BCF ACB900 mà KAG ACB KACBCF

Vì KA BC AC CF KAC ;  ; BCF KAC  BCF CKHFBC Ta lại có

CKH KCH  FBC KCH   BF KC Tương tự ta có KBCD(2)

Từ (1)(2) suy ra M là trực tâm KBC , suy ra MKH Vậy A, K, M thẳng hàng.

c) Dựng hình vuông BCC B trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy ra' ' B C' '

cố định Ta có AKB’B là hình bình hành (vì BB KA cùng vuông góc BC suy ra', BB KA' ;

' '  ' '   

B KC B KA AKC BAH HAC BAC Vì khi A thay đổi trên cung lớn BC của

đường tròn ( ; )O R thì K luôn nhìn đoạn B C cố định dưới một góc không đổi' '  BAC

Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng trên đoạn B C' ' cố định

Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì

b a

ab b

a

P

















4 1 1

2 1

1

2

3 3

Ta có

2 1 1 2

2 2

1 1

) 1 )(

1 ( 1

2 3

2 2

2

a a

a a a

a a a

Tương tự

2 1 1 2

2 2

1 1

) 1 )(

1 (

1

2 3

2 2

2

b b

b b b

b b b

Mặt khác

b a b a b

a b a

2 2 8

1 1 4



















Vậy

1 2 4

2

2 3 2 4

2 2

2 2 2 4

4 4 2 2 2 4 1

4 1

4 2 2 4

4

4

3

2 2

2

2

















































 













 













ab b a

ab b a

Q

P

Q b

a

ab b a b

a

ab b

a b a

ab b

a

P

3

2 2

4

2 2

1 4 4

1 1

1 1

1

)

2 2































































b a

ab b a

a b

b b b

a a a

P

Min