Ebook cơ học cơ sở (tập 2 động học và động lực học) phần 2

C hương VNrUYÊN LÝ DI CH UYỂN KHẢ DĨ Trong phần tĩnh học ta đã tìm được điều kiện cân bằng của cơ hệ, bao gồm các vật thê liên kết với nhau, bằiig cách xét càn bằng từng vật thể, thay th

C hương V

N(rUYÊN LÝ DI CH UYỂN KHẢ DĨ

Trong phần tĩnh học ta đã tìm được điều kiện cân bằng của cơ hệ, bao gồm các vật thê liên kết với nhau, bằiig cách xét càn bằng từng vật thể, thay thế các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng Tuy nhiên, nếu cơ hệ có nhiều vật thể, số lượng các phản lực liên kêì chưa biết tăng lên, ta phải giải một số lớn các phương trình cân bang

Nguyên lý di cluiyến khá dĩ được trình bày dưới đây khắc phục được khó khăn nêu trên, cho ta các điều kiện cân bang lống quát cúa một cơ hệ không tự do bất kỳ

5.1 CÁC KHÁI NIỆM VỂ C ơ HỆ KHÔNG T ự DO

1 Lién kết

a) Đ ịnh nghĩa: Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không

plụi thuộc vào lực lác dụng và các điểu kiện ban đầu của chuyến động Các điều kiộn này được ciiển tả dưới dạng các hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của chất diểni của liệ và tliừi gian Người ta gọi các hệ thức ấy là các phương trình liên kết

Ví dụ: đối với cơ cấu tay quay thanh truyền ta có các phương trình liên kết sau (hình 5.1).

= r" A chuyển động tròn quanh o

Bánh xe tròn bán kính R tàm o chuyển động lãn khòng trượt trên đường Iháng Ox là

cơ hệ chịu các liên kết sau (hình 5.2): = 0 ;

>'( ^ R ;

Vp = 0

/ / / / / /

b) Phán loại liên két

Căn cứ vào các phưcíng trình liên kết có thế phân loại liên kết như sau:

- Liên kết íìừiìg: Nếu phưcmg trình liên kết không chứa rõ đối số thời gian t thì liên

kết được gọi là liên kết dừng Ngược lại là liên kết không dừng

Ví dụ: Viên bi được buộc vào đầu dây không giãn dài /, treo vào một điểm cố định

ch ịu liên kết dừng với phương trình liên kết: + Z" = /■

Hòn bi chuyển động trên mặt cầu có bán kính thay đổi theo luật r = r(t) chịu liên kết không dímg với phươiig trình liên kết;

X + y + z - r (t) = 0

- Liên kết hình học: là liên kết chỉ ràng buộc về vị trí không ràng buộc về vận tốc.

Phương trình liên kết của liên kết hình học chỉ chứa các yếu tố xác định vị trí mà không chứa các yếu tố xác định vận tốc, hoặc nếu chứa các yếu tố vận tốc thì có thể tích phân trực tiếp để có phương trình liên kết tươiig đưofng không chứa yếu tố vận tốc nữa

Ví dụ: Viên bi được buộc vào dây treo vào một điểm cố định (hình 5.3).

- Liên kết cíộììiị học là liên kết ràng huỏc các yếu tố vận tốc.

Trong phương trình liên kết có chứa các yếu tố vận tốc

- Liên kết iỊÌữ: Nếu liên kết được niò tả chỉ bởi những đẳng thức

thì nó được gọi là liên kết giữ Ngươc lại là liên kết không giữ

Trong chưcfng này ta chỉ xét các liên kết dừng, giữ và hình

học Phương trình liên kết này có dạng;

fj ( X |,y |,Z |, ,x ,j,y ,^ ,Z |,) = 0 ( j = l , 2 , , s ) H ì n h 5 3

c) P hân loại cơ hệ

Ta phân các cơ hệ thành hai loại cơ hệ tự do và cơ hộ không tự do

Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu ràng buộc bởi các liên kết Cơ hệ này lại được phân thành 2 loại; cơ hệ Hôlônôm và cơ hệ không Hôlônôm Nếu mọi liên kết của cơ hệ đều

là liên kết hình học thì cơ hệ được gọi là Hôlônôm Nếu cơ hệ có ít nhất một liên kết động học thì nó có được gọi là không Hôlồnóm

Cơ hệ không chịu ràng buộc bởi bất kỳ liên kêì nào được gọi là cơ hệ tự do

2 T ọa đ ộ suy rộ n g của cơ hệ

Trước đây để xác định vị trí của chất điểm hay cơ hệ ta đã dùng các véctơ bán kính định vị, các tọa độ Đề Các, tọa độ tự nhiên của các chất điểm Nhưng nếu chú ý đến kết cấu của hệ thì việc xác định vị ti í của hệ còn đơn giản hơn nhiều nhờ cách chọn một số thòng sô' định vị thích hợp cho cơ hệ ấy

M ( x , y , z )

V í dụ: Vị trí của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định được hoàn toàn

xác định khi biết góc định vị (p của nó Cơ cấu tay quay thanh truyền có thông sô' định vị

là góc (p giữa tay quay và trục nằm ngang (hình 5.4)

Định ngìũa: Các thông số định vị của cơ hệ trong một hệ quy chiếu nào đó được gọi

là những tọa độ suy rộng củ a c ơ h ệ ấy.

Ta thường ký hiệu tọa độ suy rộng của cơ hệ là q,, q2,- -qr ■ Nếu các thông sô' qj(j = 1,

2, , r) độc lập với nhau và vừa đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi chúng là các tọa độ đủ của cơ hệ

Nếu các tọa độ suy rộng phụ thuộc nhau trong các phương trình liên kết ta gọi chúng

là các tọa độ dư

Đối với cơ hệ bất kỳ ta có thể dùng tọa độ đủ hay tọa độ dư để xác định vị trí của nó Chẳng hạn đối với cơ cấu tay quay thanh truyền (hình 5.4), ta có thể chọn một tọa độ đủ

là q = 9 hoặc 2 tọa độ dư: q, = (p, q, = .

Với phương trình liên kết:

Chú ý là các tọa độ suy rộng có bản chất vật lý bất kỳ: độ dài, góc, điện lượng

3 Di chuyển khả dì và sô bậc tự do cua cơ hệ

a) D i chuyển khả d ĩ của cơ hệ

Định nghĩa: Di clìitỵểìi khả d ĩ của cơ hệ là di chuyển vô ci)iìíỊ hé từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận nià cơ hệ thực hiện được phù hợp vói liên kết ở vị trí âang xét đó.

Gọi ĩị^ là véc tơ bán kính định vị của chất điểm Mj ở thời điểm khảo sát, ĩ|^ là véc tơ bán kính định vỊ của chất điểm này ở vị trí M'| lân cận của M|,

Véc tơ: S7ị^ = ĩk ~ ĩk chuyển khả dĩ của chất điểm M|,

V í dụ: Xét chất điểm chuyển động trên một đưòfng cong Di chuyển khả dĩ của cliâì

điểm M được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với đường cong tại M

Xét chuyển động của chất điểm M trên một mặt cong, khi đó di chuyển khả dĩ của chất điểm được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với mặt cong tại M (hình 5.5)

ỵ r r r r r T ^ m ^

b) S ổ bậc tự do của cơ hệ

Định nghĩa: Sô hậc tự do í iia cơ hệ lủ sô tôi đa các di clìiiyểii khả (lĩ độc lập tuyến tinlì của l ơ hệ ấy.

Ví dụ: Xét chất điểm chuyển động trèn đường cong, gọi ỗQ là véctơ vô cùng bé nào

đó tiếp tuyến với đường cong tại M Mọi di chuyển khả đĩ của chất điểm đều được biểu diễn qua véctơ này: ỗ r = ẦỗQ ■ Trong đó Â là một số thực nào đó Như vậy số di chuyển kha dĩ độc lập tối đa của chất điếm là inôt, do đó nó có một bậc tự do

Xét chuyên động của chất điếm M Irêii mặt cong Gọi ô|,ỗo là hai di chuyển khả dĩ không cùng phương nào đó của M, khi dó mọi di chuyển khả dĩ của M đều được biểu diễn dưới dạng: ô r = Ằ,|ô| +ẰtÔ2 Trono ció là các sô thực nào đó Như vậy chấtđiếm có 2 bậc tự do, vì nó có hai di chuyển khả dĩ độc lập tối đa

c) Q uy tắc thực hành tim s ố bậc tự do của cơ hệ

Cho cư hệ với r tọa độ suy rộng C||, qỊ, , C|, và s phương trình liên kết hình học dạng;

9 a ( q p q 2 ’ = ( a

Biểu diễn di chuyển klìcỉ d ĩ d íu hệ qua các ÍỊ.

Xét hai vị trí lân cận của cơ hệ xác định bởi 2 tâp hợp giá trị của các tọa độ suy rộng

và Theo định nghĩa di chuyển khả dĩ, cácqjVà q' v ớ i j = 1, 2, rphải thoả mãn các phương trình liên kết

ệ „ ( q i , q 3 , , q j = 0

,’) = 0

Ký hiệu; ỗq, = q'| - q |, , ỗ q , = q; - q , gọi là các biến phân của tọa độ suy rộng

Như vậy các biến phân ỗq j phái thoả mãn hệ thức: -(Ị)gj = 0 ( a = 1,2, ,s)

Vậy; Một di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ được biểu diẻn bằng một tập hợp những biến phân của các tọa độ suy rộiig: Ôq|,ỗq2, ,ôq, với điều kiện;

Ô<ỉ>a = < ỉ > a - < ỉ ’a = 0 ( a = l , 2 , s )

- Quy tác: Tim số bậc tự do của cơ hệ.

Xét hệ Hôlônôm với n tọa độ suy rộng đủ q |, q-,, q„

Khi đó các biến phân ô q p ỗ q , , ôq„ độc lập vói nhau và do đó các di chuyến khả dĩsau đây của cơ hệ là độc lập với nhau

ỗ j(ôq, =0,ỗ q2 = 0, ,ôqj =0) (j = l,2, ,n)Ngoài ra có thể biểu diễn mọi di chuyển khả dĩ của hệ qua n di chuyên khả dĩ độc lập này:

( ỗ q ,,ỗ q2, , Ô q J - X ¥ j

j=iNhư vậy n di chuyển khả dĩ ôj trên là độc lập và tối đa

Vậy, đối với cơ hệ chịu liên kết hình học số bậc tự do m của cơ hệ đúng bằng số tọa

đ ộ s u y rộng đủ củ a c ơ hệ ấy; m = n

Tổng quát hơn nếu các tọa độ (j = 1, 2, r) đã chọn là các tọa độ dư với s phương trình liên kết hình học tối đa và độc lập với nhau thì số bậc tự do của hệ là

m = r - s

4 Liên kết lý tưởng, lực suy rộng

a) C ông của lực trong di chuyển khả d ĩ

Cho lực F tác dụng lên chất điểm M Gọi ôr là một di chuyển khả dĩ bất kỳ của chất điểm ấy ta có

Định nghĩa: Công của lực F trong di chuyển khả dĩ ôr của chất điểm là lượng đại số:

ÔA = F.ôĩ

Có thể biểu diễn công của lực dưới các dạng khác sau:

ÔA = Xôx + Yôy + Zôz

ÔA = P ỗ s c o s a

trong đó; X, Y, z là hình chiếu của F lên 3 trục của hệ tọa độ Đề

Các vuông góc, a là góc lập giữa F và vận tốc V của chất điểm

Hình 5.6

b) Liên kết lý tướng

Đị n h nghĩa: Nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả đĩ của cơ hộ đều triệt tiêu thì ta nói rằng cơ hệ đó chịu liên kết lý tưỏng

Xét cơ hệ có n chất điểm Gọi N|, là phán lực liên kêì tác dụng lên chất điểm M|,,ôr|j

là véctơ di chuyển khả dĩ bất kì của nó, theo định nghĩa trén ta có

Ẻ N i8r> = 0

k = l

(5.2)

V í dự: Chất điểm M chuyển đông trên măt cong hoàn toàn trơn có di chuyển khả đĩ là

véc tơ ôr tiếp tuyến với mặt cong, còn phán lực liên kết N hướng theo phương pháp tuyến vuông góc với ỗr nên N.ôr = 0 vì vậy liên kết này là liên kết lí tưcmg

Trong thực tế nếu bỏ qua được ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành cơ hệ thì

đa số cơ hệ thường gặp thoả mãn định nghĩa liên kết lý tưởng

Có thể chứng minh các cơ hệ sau đây chịu liên kết lý tưởng:

- Vật rắn tự do

- Vật rắn tựa lên mặt tựa rắn và nlián

- Vật rắn lăn không trượt trên mặt tựa rán

- Khớp nối bản lể trơn giữa hai vật

- Liên kết dây

- Dây mềm vắt qua ròng rọc cố định khôiig ma sát

- Dây mềm vắt qua ròng rọc động và bỏ í|ua sự trượt giữa dày vứi ròng rọc

Chú ý: Trong trường hợp không bò tỊUil được niii Tá\ và đàn hổi của vạt thể, ta coi các

lực ma sát và đàn hồi là các lực hoạt động Như vậy vẫn dùng được khái niệm liên kết lý tưởng cho cơ hệ

Vì vậy người ta gọi Qj là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qj

Địnlì nghĩa: Lực suy rộng Qj ứng với tọa độ suy rộng là đại lượng vô hướng được biếu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng ôq^ trong biểu thức tổng công của các lựchoạt động tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả đĩ bất kỹ của cơ hệ

Đê’ tính lực suy rộng Qj có thế dùng các phương pháp sau:

Cho hệ di chuyển khả đĩ bất kỳ, tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả clT đó, lìm lực suy rộng Qj theo công thức (5.3)

Cho hệ một di chuyên khả dĩ đặc biệt trong đó ôqj 0; ôq,, = 0 với k j

Tính tống công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này ta được

ẳ ỗ A |

= Ọ,ôcỊj suy ra Qj =

k 1Nếu các lực hoạt động là các lực có thế và hàm thế năng n được biếu diển qua cấc tọa độ suy rộng: n = n (qi, 4:, q,) thì các lực suy rộng được lính theo còng thức;

Q, = - f ĩ ( j = 1 , 2 , r )

«3q,Tliật vậy theo công thức líiih công của các lực hoạt động;

k = l^ ỠC:jTliay X|,, Y^_, Z|^ bằng công tlurc (3,44) ta có:

Điứii kiện cầỉì và đ ủ c í ể c ơ lỉệ í lỉỊii liơỉi kếĩ ílíOỉ ^ và lý ĩ i í à r ỵ càỉỉ hằỉìi' à vị ĩ rí cỉa/ìi^ xét

lù Ỉổỉiíỉ c ô i ì ^ cỉUi c ú c l ự c l ỉ o ạ ĩ dỘỊì^ ĩroỉì\> nioỉ d i í liỉiyếỉi k lu i (lĩ Cỉia c ơ h ệ t ử vị t r í ấ y d é it

iriệĩ tiên,

(5.6)

k = l

C hứ ng m in h :

- Điểu kiện cần: Giả sử cơ hệ câii bằne ỏ' \ ị trí dang xél Gọi ỉ^|, và N|, là họp các lực

hoạt động và các phán lực liên kết lác cÌỊin<; líMi ciuĩt diêin M , Vì chất điểm cân bằng Iiêii W| = 0 , theo phương trình cơ bàn dỏns lực học đối vứi chất điếm Mj, ta có:

F , + N, = 0Gọi ôi’|^ là di chuyến khả dĩ bất kỳ của ta có;

F\5,i^+N,.0 : ^ = 0 Viết hệ thức trên cho 11 chất điếm cúa CK hê, rồi cộng từns vế ta được

Thật vậy giả sử ở một thời điểin nào đó cơ hệ khởi động từ vị trí đang xét, thì độ biến thiên động năng của hệ sẽ dương Theo định lý động năng dạng vi phân ta có;

Chú ý: Nguyên lý di chuyển khả đĩ thường được dùng để tìm điểu kiện cân bằng của

cơ hộ không tự do, xác định phản lực liên kết của các kết cấu hoặc tìm điểu kiện cânbằng tương đối của cơ hệ

2 Phương trình căn bằng tổng quát của cơ hệ không tự do

Để tiện sử dụng sau này ta sẽ viết điểu kiện cân bằng của cơ hệ không tự do i5.6)dưới các dạng khác nhau

Giá sử cơ hệ có r tọa độ suy rộiiíi dù Ta dã biết: = ^ Q - ô q

V í dụ I : Thanh trọng lượng Q đãl trén 2 COII lân đồng chài Irọng lượng p Tim lực F

tác dụng dọc theo thanh đế ihanh và các con lãn đứiiiỉ >'ên trên mặt phắng nghiêng góc a

so với mặt phẳng ngang Bó qua sự trưcít 2Ìữa thanh và con lăn cũng như giữa con lăn và mặt pháng nghiêng Bỏ qua ma sát lãn (hình 5.7)

c) D ạng tọa độ suy rộng

Bài iỊÌảỉ:

Xét cơ hệ gồm thanh và 2 COII lãn Nếu bo qua rna sát lăn thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng Hệ có một bậc lự do chon loa dò suy rộng đủ q = s Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng Q, trontỉ lươna p và lưc F ,

Cho hệ di chuyển khá đĩ: tlianh dịch chuyển lên trên một đoạn ôs Vì tàm vận tốc tức

thời của 2 con lăn ở các điểm tiếp XLÍC gÌLÌa con lăn và mặt nghiêng nên; V = 2V^ suy ra:

do với một tọa độ suy rộng đủ q = (p là

góc lập giữa BC và phương ngang Các

lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm

p , Q , R c

Cho hệ một di chuyên khả dĩ, trong

đó BC quay một góc 5(p (xem hình 5.8b)

Ta tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ đó

= 2aP Ô (p -4 aR eỗ ẹ = (P -2 R c )2 aô (p Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là:

Q ^ = ( P - 2 R c ) 2 a = 0

• Để tính mômen tại ngàm A ta thay liên kết ngàm bằng liên kết khớp cố định và ngẫu lực M^ Cơ hệ có một bậc tự do với hai tọa độ dư (xem hình 5.8c) q, = cp, q2 = Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm p, Q, ngẫu M^ Cho hệ di chuyển khả dĩtrong đó AB quay một góc ôcp, CB quay một góc ôvị/ Tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này là (xem hình 5.8c):

Giữa các tọa độ dư (p, \ự có mối liên hệ:

2aỗ(p = 4aôv|; hayôVỊ/ = —ỗọthay vào (a) ta được: X ~ ^ A + Pa)ô(p

Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là:

Suy ra:

'P, B

V í dụ 3: Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ o

dài 21 trọng lượng bằng nhau P| = Pt = p được nối với

nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ở o

Tại B tác dụng lực Q nằm ngang Bỏ qua ma sát ở các

khớp nối Tim các góc ( P | , (p, lập giữa OA, AB với

phương thẳng đứng khi hệ cân bằng (hình 5.9)

(a)

= ẳ ( ^ k ô X k +Ykôyk +ZkôZk) = QÔXB + P|ôy, +?2ỗy2

k = l k = ltrong đó; Xg = 2 /s in ( p |+ 2 /s in (p-, ^ ÔXg = 2/ C0S(P|Ô(P| + cos(poÔ(pT

Vì các lực hoạt động P |, Pt là các lực thế còn ộ không phải là lực thế

Nên các lực suy rộng được tính theo công thức

Q | - - - — + Q ,; Q ^ - - - — + Qt

(b)

trong đó; n - thế nãng của cơ hệ;

n = -PiYi - P->yT +const = - P / C0S(P| - p ( 2 / coscpi + / coscp-,) + c o n st (c)

Q * ; Q* - lực suy rộng ứng với lực không thế Q được tính từ biếu tlurc:

SA^Qj = Qôxg = Q.2/ coscpiỏcpi +coscp-,S(p-,Vậy; Q * = 2 Q /c o s (p | ; Q * = 2 Q / c o s (P t

Chưong VINGU YÊN LÝ Đ A L Ả M B E - L A G R Ả N G

6.1 N G U Y Ê N LÝ

Nguyên lý Đalãnibe-Laarăiig là kết quả của sự kết hợp nguyên lý ĐalămBe và nguyên

lý di chuyển khá đĩ

Xét cư hệ n chất điểm chịu liên kết giữ, dìnig, lý tưỏiig Giá sử hợp các lực hoạt động

và họp các phản lực liên kêì tác dụng lèn chất điểm của hệ là F|, ,N|, còn = -mW|^

là lực quán tính của chất điếm đó 'ílieo imiiyên lý ĐalămBe;

) ~ 0 ( k = 1,2, 11)

Vi hộ lực trên là hệ lực càn bằng nên theo nguyên lý di chuyển khả đĩ tống công của

hộ lực đó trong mọi di chuyến khù dĩ ciia cơ hệ plìải triệt tiêu;

NiỊnỵê/i lỷ: Đối với cư hệ chịu liên kết giữ, clìmg, lý tưởng, tổng công nguyên tố của

các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyến khá đĩ của cơ hệ đều triệt tiêu.Phương trình tổng quát độiiíỉ lực học còn có thể viết dưới các dạng sau:

| ; r ( x , + X J ' ) 8 x ^ + ( Y , + Y Ĩ ' ) 8 y ^ + (a + Z Ỉ ' ) 5 z , l = 0

k = ! n

Phưcíng trình tổng quát động lực học (6.1), (6.2), (6.3) là các phương trình biến phân, chúng tương đương với một hệ phương trình đại số.

Để giải các bài toán động lực học bằng phương trình tổng quát động lực học ta cần xác định số bậc tự do của cơ hệ Đặt lực hoạt động và lực quán tính vào các chất điếm của cơ hệ, sau đó cho hệ một di chuyển khả đĩ và tính tổng công các lực đó trên di chuyên khả dĩ này, cho bằng 0 ta sẽ có được các phương trình để tìm ẩn số của bài toán.Phương trình tổng quát động lực học thưòfiig được dùng để tìm gia tốc hay điều kiện cân bằng tương đối của cơ hê

V í dụ l : Máy chuyển vật liệu chuyển

động nhờ ngẫu lực có mônien không đổi M

tác dụng lên puli B Xác định gia tốc chuyến

động của bâng chuyền Biết trọng lượng của

vật A được nâng là p, các puli B ,c có cùng

trọng lượng Q, bán kính r và được xem là

các đĩa tròn đồng chất Băng chuyển hợp với

phưcfng ngang một góc a và trọng lượng của

nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt

giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các

băng chuyền với các puli Bỏ qua ma sát ở Hình 6.1

các ổ trục (hình 6.1).

Bùi giải

Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, c Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng Hệ

có một bậc tự do Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay (p của hai puli

Các lực hoạt động tác dụng lên hệ: Các trọng lượng Q của hai puli, trọng lượng p của vật A và ngẫu M

Các lực quán tính tác dụng lên hệ là: F^',, ngM^ị^'., ngM^‘

Cho hệ di chuyển khả dĩ trong đó hai puli quay một góc ỗ ẹ thuận chiều kim đồng hồ, khi đó vật A di chuyến lên trên một đoạn ỗs = rỗọ Theo phương trình tổng quát động lực học:

Mỗcp - Psin a ỗ s - Mẳ'ỗ(p - M^ôcp - .ỗs = 0 (a)Thay ôs = rôcp vào (a) ta được:

(M - p r s i n a - M ^ ' - M ^ ' - r F ^ ‘)ỗ(p = 0

Do tính chất tùy ý của ôcp ta có:

M - P r s i n a - M X - M ^ ' - r F ^ ' = 0 (b)

-Vì A nằm yên trên băng chuyền nên gia tốc của A cĩing là gia tốc của bàng chuyền.

V í dụ 2: Tlianh đồng chất OA dài /, trọng lượng

p được gắn bẳng bản lề vào trục quay thảng đứng

tại o (hình 6.2) Quả cầu nhỏ trọng lượng Q được

gán vào đầu mút A của thanh Trục quay đéu với

vận tốc góc cõ Bỏ qua m a sát ở chốt bán lề nằm

ngang o Tim hệ thức giữa vận tốc góc (õ và góc

nghiêng (p giữa trục quay và thanh OA

Bài ^iài:

Xét cơ hệ gổm thanh OA và quá cầu A Nếu bỏ

qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý ur(yng Hệ có ~^ ị [i

một bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng đủ là góc (p

Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gỏni trọng Hình 6.2

lượng p của thanh và trọng lượng Q của cịLii! cẩu Các lực quán tính của hệ gồm lực quántính F^'của quả cầu, hợp lực R^, của hệ l ự c quán tính phân bố theo quy luật tam giáccủa thanh OA (xem hình và ví dụ 3 chương V ) R^, vuông góc với trục quay và cắt trục

Cho hệ một di chuyển khả dĩ: Thanh OA quay quanh chốt bán lề góc Sọ

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Thec phương trình tổng quát động lực học (6.2) tống còng của các lực hoạt động và các lực quán tính trên di chuyền khả dĩ này là:

P8y c + Q6y , + R , , 8x „ + F ’'6 x ^ = 0 (a)

= — c o s ẹ —> ỗyQ = - —s i n ọ ô ọ ; = /co s(p -> ỗy^ = - / sin(pổ(p ;

V í dụ 3: Hai đĩa tròn đồng chất A, B có cùng khối lượng m,, bán kính R A quay

quanh trục cố định nằm ngang B được cuốn dây và rơi xuống dưới tác dụng của trọnglực Dây được cuốn vào vành đĩa A đầu dây buộc vật c khối lượng ni, Giá thiết dày không giãn, ổ (rục A hoàn toàn trơn Tiin gia tốc vật c

Do dây không giãn: Vp = v^, và Vịịị, = R cOp ; ta được Vp -Vc + R cOg

R

Do tính chất tùy ý của ô f từ biểu thức trên suy ra:

3Wb + w, = 2g Cho hệ di chuyển khả đĩ: = 0; ỗXt > 0 theo (6.1) ta được:

p , ÔX 2 - F^' ỒXọ - MỵôcpA - M ẵ ‘ô(pB = 0

ỗx

tPong đó: ôỌa = Ỗ (Pb =

R

Do tính chất tùy ý của ỖX t, suy ra biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0

6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA c ơ HỆ KHÔNG TỤ DO

1 Phương trình Lagrăng loại II

Phưcíng trình vi phân chuyến động của cơ hệ dưới dạng tọa độ suy rộng gọi là phương trình Lagrăng loại II Xét cơ hệ Hôlônôm có n chất điếm, chịu liên kết giữ, dừng, lý tưởng được xác định bởi r tọa độ suy rộng đủ q,, q;, q, Theo phương trình tổng quát động lực học (6.1) la có:

Trong đó lực suy rộng của các lực hoại động được tính theo công thức:

Tương lự như vậy tống còng của các lực quán tính cũng có dạng:

J=|

Vì q,, q , , q, là các tọa độ đủ, nên ỗq|,ỗqo, ,ôq| độc lập tuyến tính với nhau, do

đó phương trình (c) tương đương với hệ phương tiìnli:

Có ihê’ sử dụng trực tiếp hệ phưoiig trình trên, để giải các bài toán độníỊ lực học cúa

cơ hệ Nhimg đế hệ phương tiình có dạng đơn gián, ta hãy biến đổi các lực suy rộng của lực quán tính qua động năng của cơ hệ

Vì lực quán tính của chất điểm thứ k c ó dạng:

(h)

ớ đây, ký hiệu (j = l ,2, ,r) là vận tốc suy rộng ứng với tọa độ suy rộng

của hệ Đạo hàm (h) theo lọa độ suy rộng ta được:

Mặt khác ta có thể (hay đổi thứ tự lấy đạo hàm ĩị theo thời gian t và theo tọa độ suy

i Ể Y ỉ

2 ỡqj

1_ ^

2 ổq,Trong còng thức (e) đưa khối lượng ni|, là đại lượng không đổi vào trong dấu đạo hàm

và chú ý tống các đạo hàm bằng đạo hàm của tổng ta được;

Thay giá trị Q j ’ bên trên vào (d) ta được:

(6.4)

Các phương trình (6.4) là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới dạng tọa độ suy rộng còn gọi là phương trình Lagrãng loại II Số lượng các phương trình không phụ thuộc vào sô' chất điểm của cơ hệ và đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ

Vì động năng của cơ hệ là hàm của vận tốc suy rộng nên hệ phương trình (6.4) là hệ phương trình vi phân cấp 2 đối với các tọa độ suy rộng q,, q2 ,. 7 ^r-

Nếu các lưc hoat đông là các lưc có thế theo (5.5) lưc suy rông Q | = trong đó

an

(Ì = 1,2, ,r) (6.6)

d t [ a q j aqj ỡqj + Q*; (j = l,2, ,r). (6.7)trong đó: Qj là lực suy rộng ứng với các lực không thế

2 Các tích phân đầu của chuyển động

Việc giải phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ tìm quy luật chuyển động của

cơ hệ là rất khó khăn Tuy nhiên nếu cơ hệ có tính chất đặc biệt ta không cần giải các phương trình vi phân mà vẫn tìm được các tích phân đầu của chúng Sau đây ta xét hai trường hợp đặc biệt:

a) Tính p h á n nă n g lượng

Xét cơ hệ Hôlônôin chịu liên kết giữ, dừng, lý tưcmg, các lực hoạt động là các lực có thế, khi đó cơ năng của hệ được bảo toàn;

Hệ thức trên là một lích phân đầu của chuyến động, gọi là tích phàn Xycoiíc.

Cơ hệ có bao nhiêu tọa độ Xycơlíc thì có bấy nhiéu tích phàn dạng (6.9)

V í dụ 1: Tấm AB có khối lượng ni cliịu lác dụng C L i a lực F theo phương ngang chuyển động tịnh tiến không ma sát dọc theo sàii ngang, Một con lãn có khối tâm c bán kính R,

k h ố i l ư ợ n g iTij,, m ô m e n q u á n t í n h đ ố i v ớ i t r u c đ i q u a c v à v u ô n g g ó c v ớ i m ặ t p h ẳ n g

hình vẽ Tim chuyển động cửa tấm klii con lãn lãn khòng trượt trên tấm Bỏ qua ngẫu lực

ma sát lăn giữa con lăn và tấm

Xét cơ hệ gồm tấm và con lăn, C(í h ệ c h ị u

licn kết lý tưỏnig và có hai bậc tự do Choii hai

tọa độ suy rộng đủ là:

q, = X | - tọa độ khối tâm của tấm;

q2 = X, - tọa độ khối tâm của con lãn

()

Tlieo định lý hợp vận tốc, vận tốc tuyệt đối cùa c là: ỵ , = V + V|

Chiếu hệ thức này lên trục X ta được: Xt = X| + V

Do đó vận tốc góc của con lăn: co =

Động năng của con lăn chuyển động song phẳng:

T = T, + T = -

2 m + R

-\ 2 ' ' " 2

í c '' " “ " í

•2 • ' c ■ •

Xt - - ^ X oX|

RPhương trình Lagrăng loại II đối với cơ hệ có dạng:

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm trọng lượng của tấm, trọng lượng con lăn

và lực F Cho hệ một di chuyển khả đĩ ÔXj > 0 ,ôXt = 0 , Tổng công của các lực hoạtđộng trên di chuyển khả dĩ này là: = FỖX| Suy ra lưc suy rộng Q| = F

Cho hệ một di chuyển khả dĩôXị =0,ôX t >O Tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này là: I^ỗAị, = 0 => Q t = 0

Thay các giá trị đã tính được vào hai phương trình (b) ta có hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ:

m +R-

•• Jc - _ r , Jc

-X | - - ^ -X 2 = F ; - ^ X | +

R-Jc X-, = 0Bằng phưcmg pháp thế ta tìm được gia tốc của tấm:

+m()RJ(-(m + mo) + momR Nếu F = const thì chuyển động của tấm là nhanh dần đéu

V í dụ 2: Hai vật nặng A,B có khối lượng lần lượt là m và 2m nối với nhau bằng lò xo

có độ cứng c và nằm trên mặt ngang nhẵn, thời điểm đầu người ta kéo hai vật về hai phía sao cho lò xo giãn ra một đoạn là 5 rồi thả các vật ra không có vận tốc đầu Hãy tìm vận tốc của vật A ở thời điểm khi độ biến dạng của lò xo bằng 0

o

B

Hình 6.5 Bài í^iài:

Xét cơ hệ gồm hai vật A,B cơ hệ chịu liên kết lý tường có hai bậc tự do Chọn hai tọa

đ ộ s u y r ộ n g đ ủ l à : q , = t h ô n g sò' x á c đ ị n h VI t r í c ủ a A , q , = s t h ô n g s ố x á c đ ị n h v ị t r í

của B đối với A

Các lực hoạt động tác dụng lên hệ íỊổm trona lượiig của hai vật A,B lực đàn hồi tuyến tính của lò xo, đó là các lực có thế, nên cơ hệ là hệ bảo toàn

Động năng của vật A; = -m x Ẳ

Động năng của vật B: T3 =-in[,x|^, = -2in(x^^ +SÌ" = m x^ + 2 m x^s + ms"

Vì cơ hệ chuyển động trong mal pháng ngang Iiêii thế nãiiịỊ của trọng lực bằng 0

Còn thế năng của lực đàn hổi iLiyến tính của lò xo là: n =: -ỉ-cA“ = —c ( s - / n ) ‘

với /(, là độ dài tự nhiên cúa lò xo

Vì tọa độ suy rộng kiiôiig có mật trong biểu thức động năng và thế năng của hệnên là tọa độ Xycơlíc

Tích phân Xycơlíc; cTT

Thay điều kiện ban đầu X (0) = 0, s(0) = 0 vào (a) ta được C| = 0

Vì cơ hệ bảo toàn nên có tích phân năng lượng; T + n = Ct

T hay giá trị của T và n bên trên vào biếu thức này ta được:

+m s + 2mx^s + - c ( s -/())■ = C ị

Từ điều kiện ban đầu: X^^(O) = 0,s(ơ) = 0;s(0) = ỗ + /y Suy ra; ọ = — cỏ"

thay giá trị s từ (b) vào (c) ta được:

3 T 1 / ^ s;2

Khi lò xo hết biến dạng thì; s - l g d o đó từ (d) suy ra: — mx^ = —cô"

Do đó vận tốc cưa A khi lò xo hết biến dạng là: = ô

V í dụ 3: Thành lập phưcriig trình vi phân chuyển động của một con lắc có khối lượiig

lĩi, và chiều dài /, điểm treo của nó nằm tại tâm của đĩa có bán kính r và khối lượng in, đĩa có thể lăn không trượt dọc trục nằm ngang tâm của đĩa nối với điểm cố định nhờ một

Chọn hệ trục tọa độ 0 |Xy như hình vẽ.

Trong đó 0 | tương ứng với vị trí tâm o khi lò

xo không biến dạng

Tọa độ của con lắc; Xt = X + /siii(p ^ Xọ = X + /(pcos(p

y, =/cos(p = - / ộ s i n ( pv^■ = Xọ + ỷọ = x ‘ +2/x(pcos(p + / ‘ộ" cos" q)+ /'{()" s i i r <p V-7 = x“ +2/x(pcos(p + /'ộ~

Tỉiay vào (a) ta được:

(—m, +FriT)x + m o / ^ c o s ọ - n i i / ó " siri(p + cx = 0

m2/"(p + iTio/x cos ẹ - m 2/x(psin cp + m -,/x(p sin cp + mog/sin (p = 0 Sau khi rút gọn ta được:

( 3m | + 2 m 2 ) x - 2n i2/ q) C0S (p -2 m- ,/ (p “ sin(p + 2 c x = 0 /(ị) + X COSỌ + g s i n c p = 0

VA CHẠMChương VII

Trong chương III ta đã nghiên cứii các định lý tổng quát động lực học Chương này ta

sẽ áp dụng các định lý đó, để nghiên cứu những quá trình chuyển động cơ học, trong đó xảy ra va đập giữa các vật thể Tuy nhiên để đạt được kết quả, khi nghiên cứu ta cần đưa

ra các giả thiết đơn giản hóa

b) Vị trí của vật lúc va chạm

Vì thời gian va chạm của 2 vật là vô cùng bé, nên ta có thể giả thiết là trong thời gian

va chạm vị trí của vật không thay đổi Thật vậy gọi s là quãng đưòmg đi được của vật

Ttrong thời gian va chạm, T là thời gian va chạm ta có ; s = Vdt = V*T = 0

o

là lực va chạm, I là thời gian va chạm Khi 2 vật va chạm vào nhau ngoài lực va chạm

còn có các lực khác tác dụng lên vát, cháng hạn trong lực, lực c ản những lực này gọi

là lực thường đế phân biệt với lực va chạin Vì các lưc nàv thường nhỏ hcín nhiều so với lực va chạm, nên xung lượng của chúng troníí khoáng ihời ^ian va chạm vô cùng bé là rất nhỏ

Khi nghiên cứu va chạm, xung lượng của các lực này co thể bỏ qua được

Thật vậy nếu gọi F là lực thường la có: [Pdt

Khi đó định lý động lượng viết cho vật lúc va chạm: m AV = s (7.1)Trong đó s là xung lượng va chạm Hệ thức (7.1) gọi là pliương trình cơ bản của hiện tượng va chạm

d) B iến d ạ n g và h ệ sô' khôi phục

Quan sát hiện tượng va chạm ta thấy có hai ơiai đoạn:

- Giai đoạn biến dạng kéo dài T| giây kế từ lúc 2 vật tiếp xúc nhau cho tới lúc chúng hết biến dạng

- Giai đoạn khôi phục kéo dài giày kê từ I líc kết thúc giai đoạn biến dạng đến lúc kết thúc va chạm.Trong giai đoan này các vật va vào nhau dần dần lấy lại hình dáng cũ đến một mức độ nhất định

C ă n c ứ v à o m ứ c đ ô k h ô i p tiL ic h i i i h d a i i ị ; c ũ c u a c á c v ậ t \ 'a n h a u n g ư ờ i t a p h â n c á c

loại va chạm như sau:

- Va chạm i/iêỉìi: Không có giai đoạn khói phục Đặc điếm căn bản của loại va chạm

này là khi kết thúc quá trình va chạm những phần tử của 2 vật va chạm có cùng vận tốc pháp tuyến ở vùng tiếp xúc

- Va c/iạni à ủ n hồi: Có giai đoạn khói phục Nếu hình dáng cũ của vật được khôi phục hoàn toàn thì va chạm được gọi là va chạm hoàn toàn đàn hồi Đặc điểm của va chạm đàn hồi là khi kết thúc va chạm vạn tốc pháp tuyến của những phần tử ở lân cận vùng tiếp xúc giữa 2 vật khác nhau.

Để phản ánh đặc điểm khôi phục, người ta đưa ra hệ số khói phục:

s

trong đó; S| = Ndt là xung lượn" va chạm trong giai đoạn biến dạng;

Ndt là xung lượns va chạm trong oiai đoạn khôi phục

Như vậy theo định nghĩa trên ta có:

- Va chạm đàn hồi: 0 < k < 1

- Va chạm hoàn toàn đàn hồi: k = 1

Hệ số k phụ thuộc vào bản châ't đàn hồi của 2 mặt va nhau được xác định bằngthực nghiệm

7.2 CÁC ĐỊNH LÝ TổNG QUÁT CỦA ĐỘNG L ự c HỌC ÁP DỤNG VÀO VA CHẠM

Khi áp dụng các định lý tổng quát động lực học vào va chạm ta cần lưu ý đến các giả thiết đơn giản hoá đã đưa ra trong phần trên

V í d ụ : Hai toa xe có khối lượng m, và chạy trên một đường ray thẳng với vận tốc V|,Vt va vào nhau Giả thiếl va chạm là mềm Tun vận tốc chung V của 2 toa xe sau va chạm

t x í

Hình 7.1 Bùi giải:

Xét hệ gồm 2 toa xe Nếu bỏ qua các ngoại lực thường tác dụng lên hệ thì

Do đó hình chiếu động lượiig của hệ lên trục X được bảo toàn:

2 Định lý biến thiên mòmen động lượng

Theo (3.25) định lý mômen đông lượng có dạng:

% = Ẻ ™ o ( F D

11trong đó: Lq = (m| jlà mômen động lượiig của hệ đối với điểm o

k = ln

Còn ^irio(F|^^)là tổng niòmen của các ngoại lực tác duns lên hệ đối với điểm o k=!

k ( 2) ' L , ( l ) = ẳ m , ( s ' J

k=l

(7.5)

V í dụ: Hai vật rắn quay độc lập với nhau quanh cùng một ổ trục cố định Mômen

quán tính của chúng đối với trục quav là J|, vận tốc góc đại số đối với trục z là õ5|,õÕt Hai vật được ghép với nhau và cùng quay như một vật rắn với vận tốc góc 05 Tim cõ

Bùi giải:

Xét cơ hệ gồm 2 vật rắn Nếu bỏ qua các S\\\\N'I n

lực thường thì mômen của xung lượng va ĩ-

chạm ngoài đối với trục z bằng 0 Do đó

mômen động lượng của hệ đối với truc z

Suy ra:

J| (0| + J,(jỪ2 = (J| + jỊ)ĩn J,õ)| + J^ă32

ĨD =

J , + J

7.3 VA CHẠM THẲNG v à x u y ê n t â m c ủ a h a i v ậ t CHUYỂN đ ộ n g TỊNH TIẾN

1 Đặt vấn đề

Cho hai vật rắn M| và Mt chuyển động tịnh tiến va vào nhau Nếu đưốíng pháp tuyến của hai mặt tại điểm tiếp xúc trùng với đường nối hai khối tâm và mang cả hai véctơ vận tốc V| và Vt của hai vật khi bắt đầu va chạm thì va chạm được gọi là thẳng và xuyêntâm Đặc điểm của va chạm này là sau khi va chạm hai vật Mị và M2 vẫn chuyển động tịnh tiến theo phưcfng cũ

Để giải bài toán va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến ta dùng

mô hình sau (hình 7.3)

Hai quả cầu đồng chất khối lượng M |,M2 chuyển động tịnh tiến theo đường nối tâm C|, Ct với các vận tốc V |,V2 đến va chạm nhau Biết hệ số khôi phục là k Tim vận tốc Ư|,U2 của 2 quả cầu sau va chạm, xung lượng va chạm và lượng mất động năng A T qua

va chạm

2 Giải

Gọi hình chiếu vận tốc của 2 quả cầu ngay trước khi va chạm lên hệ trục X là V|,V, khi kết thúc giai đoạn biến dạng là u và sau khi kết thúc giai đoạn khôi phục là U |,U2 Tlieo định lý động lượng ta có:

Giai đoạn biến dạng:

S’ = kS

mm

(e)

Hình 7.3

Từ 5 phương trình (a), (b), (c), (d), (e) tìm được

m,Vj + m ^ \ ' 2 m ,U |

-t-itItU-in| + nìorĩii + iHo

in

u,_ = V , + ( ] + k)nì.ĩĩin

v - v

U , - Ư 3ni| + itit

Dựa vào công thức k = — có thể xác định hệ sỏ khôi phục k bằng thực nghiệm

V í dụ: Thả một viên bi không vận tốc đâu từ độ cao h| AuôVig mặt phẳng nằm ngang

cô' định Ngay trước va chạm vận tốc của vién bi là:

Áp dụng công thức này vào trường hợp va đập của búa lên vật đang đứng yên ta có:

Vận tốc của búa ngay trước va đập là V|, của vật chịu đập là; Vt = 0

Ví clụ: Nếu ^ - 10 và k = 0,2 thì n = 90%

ITIo

7.4 TÂM VA CHẠM CỦA VẬT RẮN QL AY QUANH M ỐT TRỤC c ố ĐỊNH

1 Đ ặt vấn đề

Cho vật rắn quay quanh một trục cố định z Nếu tác dụng lên vật xung lượiig s , ở gối

d ỡ sẽ xuất hiện cá c phản lực động lưc va chạm do 2 ổ trục tác d ụ n g vào Vcật, tức là xuất

liiện xung lượng va đập S |,S2 ở hai gối đỡ trục ấy Va đập phát sinh ở các gối đỡ làmtiêu hao năng lượng vô ích và làm hư hại gối đỡ và trục quay Vì vậy một bài toán đượcdặt ra là tìm điều kiện đế klii tác dụns xuns lực va đập s lên vật quay, sẽ không làmxuất hiện các xung lực va đập S| và Sị tại các ố đỡ Dưới đâ> để đơn giản ta sẽ giái bàiloán trong mô hình phắng và phát biêu kết quà đối với mô hình không gian

2 Giái bài toán p h ả n g

Giả sử vật đang quay với vận tốc góc Õ3| Tác dụng lên

vật xung Iirợng s Ô trục sẽ xuất hiện xung lực va chạm s ,

và vận tốc góc của vật ngay sau va chạm là õĨt Áp dun<z

định lý động lượng cho vật ta có:

Chọn trục Oy đi qua khối tâm (" của vật goi a là góc lập

bởi xung lực s và trục y Chiếu (a) lên 2 trục X, y ta có:

=Ssina + S„,hay Mc1(õ3t- õ)|) = Ssina + SQ^

0 = -S cos a + S()^

Muốn cho Sq = 0 thì = 0

Từ (d) ta thấy để = 0 thì cosa = 0 suy ra a = 90°.

Theo định lý inômen độnsì lượng: - L|^ =

Ta được: S a J

M d - ^ = S suy ra a = - ^

Kết luận: Vậy để cho xung lượng va đập Syở ổ trục triệt tiêu ta phải tác dụng s

vuông góc với đưòfng thẳng o c tai điểm K cách truc quay môt đoan a =

MdĐiểm K đó được gọi là tâm va chạm của vật quay đối với trục quay

V í dụ: Tim tâm va chạm của thanh đồng chất chiểu dài 1 với trục quay qua đầu thanh

vuông góc với thanh đó

Bài giải

Vì thanh đồng chất nên khối tâm c nằm giữa thanh, do đó

d = — và mômen quán tính của thanh đối với trục z là:

3 Kết quả của bài toán không gian

Đế cho không xuất hiện xung lượng va đập ở các ổ trục quay phái thoả mãn các điều kiện sau đây:

- Trục quay phải là trục quán tính chính tại một điểm o

bất kỳ của nó

- Xung lực va đập s phải tác dụng vuông góc với mặt

phẳng n qua trục quay và khối tâm c của vật.

- Gọi K là giao điểm của s và mặt phẳng n, HK = a là

khoảng cách từ K đến trục quay CN = d là khoảng cách từ

BÀI TẬP ĐỘNG HỌC■ ■ ■

I Đ Ộ N G H Ọ C Đ IỂ M

1 Một điểm chuyển đỏng theo phương :rình;

X = 1 0 c o s 2 n - ; y = 10sịíi2Tt- (x, V tính bằ ng cm, t lính b ằ ng giây).

Tim quỹ đạo của điểm, trị số và hướng vận tốc, cũng như trị số và hướng gia tốc của điểm

Đáp số: Quỹ đ ạo vòng tròn bán kính lOcm, vận tốc V = 4tĩ cm/s hướng tiếp tuyến quỹ đạo theo chiều ngược chiều kim đồng hồ quanh o Gia tốc w = l ,67i'c m /s ‘ và hướng vào tâm o

2 Cho phương trình chuyên động của chất điểm, xác định phưong trình quỹ đạo và luật chuyển động theo quỹ đạo'.' Biêt rằng aôc tọa độ là vị trí ban đầu của chất điểm

Dớp số: Ọuỹ đạo y ’ + y ' = 25 Luât chuyển động: s = 25t'

3 Viết phưong trình chuyến động của pít

tông lệch tâm trong cơ cấu thanh truyền tay

quay (hình vẽ) Khoảng cách từ trục quay của

tay quay tới đưòiig dẫn hướiig của pít tông là X

h, chiều dài của tay quay OA = r Chiều dài

cứa thanh truyền AB = / Trục X có phương

theo hưóng chuyển động của pít tông, gốc tọa

độ lấy ở vị trí xa nhất của pít tông về phía bên phải

Cho biết: - = Ầ; — = k ; (p = (0()t.

Hình bài 3

Đáp số: X = r y(Â + l)' - k ' -\jẰ ~ -(sincp + k)" -co sq )

4 Tiin quy luật chuyến động cúa thanh AB, biết bán kính

bánh xe lệch tâm là r và trực quay o ở cách tâm của đĩa một

khoảng o c = a Trục Ox hướng dọc theo thanh, gốc tọa độ

ơ đây trục Ox chọn theo phương ngang, trục Oy chọn theo

phươiig thắng đứng hướng lên trên Xác định vận tốc của quả cầu khi nó rưi xuống đất ?

Tim: a) Vận tốc và gia tốc tại thời điểm đầu

b) Độ cao và tầm xa của đường đạn

c) Bán kính cong của quỹ đạo tại thời điểm đầu và điểm cao nhất

Đáp số: = 5ƠOm/s; w = lOm/s'; h = 8km; s 24km; Po= 41,67km; p = 9 kiĩi

7 Tìm bán kính cong quỹ đạo ở thời điểm đầu của một động điểm chuyển động heo

phương trình: X = 2t; y = t‘ (t tính bằng giây; X, y tính b ằn g cm ).

Đáp số: Pq =2rn.

8 Cư c;tu tay quay thanh truyền với OA = AB - 1 - 60cm Biết cp = 47ĩt (hình vẽ), n m quỹ dạo điếm M của thanh truyền (M B = - ) Tính vận tốc, gia tốc của M, báii iínih cong của quỹ đạo tại vị trí (p = 0

Đ áp S ố : Qưỹ đạo elíp = 1: \ ' = SƠTĩcm/s; w = 16 0 0 n ~ / s ' ; p„ = 4cm.

-^gt-Hãy xác định; a) Ọuỹ dạo của điổin;

11 Một điểm trên vành bánh xe chuyến động

theo phương trình: s = 0, lf^ (t tính bằng giày và s

bàng mét) Bán kính của bánh xe bằng 2m Xác

định gia tốc pháp và sia lốc tiếp ciia điếm tại thời

điểm vận tốc của nó V = 30m/s

Đ à p s ố : w„ =450m/s-;W^ = 6m/s^

12 Tlianh OB quay quanh trục o với ọ = AOB = 2l (rad) và truyền chuyển động đốn thanh AD Điểm A và c chuyển động dọc theo các trục tọa độ Xác định vận tốc và gia tốc điểm D của thanh tại thời điểm (p = 60° Biêì AB = OB = BC = CD = 12cni.

Đáp sô\ V = 41,57 cm/s; w = 127 cm/s-

13 Chất điểm chuyển động theo vòng tròn bán kính r theo luật sau: s = Vqí - — a t \

Xác định trị số gia tốc của điểm, thời gian cần thiết để trị số gia tốc đó bằng a, số vòng đi được của chất điểm cũng như vận tốc của chất điểm ở thời điểm này

Đúp số: w = |a" + - V ( \ ) w = a khi t = — ; Số vòng: n = và V = 0

14 Đầu tầu hỏa có vận tốc đầu 15ni/s và trong 30 giây đầu chạy được 600m Biết chuyển động của nó là biến đổi đều Xác định vận tốc và gia tốc của tầu hoả ờ cuối giây thứ 30 Nếu tầu hỏa chuyển động theo đường tròn bán kính r bằng Ikm

Đáp số: V = 25m/s ; w = 0,780m/s^

15 Một tầu hỏa chuyên động chậm dẩn đều theo cung tròn bán kính 800m Với vỊin tốc đầu = 54 km/h Sau khi chạy được 800m thì nó có vận tốc 18 kni/Ii, tính gia tốc toàn phần của tầu lúc đó và lúc ban đầu cũng như thời gian tầu đã chạy

Đáp số: w „ = 0,308in/s- ; w = 0,129ni/s- T = 80s

16 Bánh đà bắt đầu rời khỏi vị trí tĩnh quay với gia tốc góc không đổi, qua 10 phiít đầu sau khi bắt đầu chuyển động, nó có vận tốc góc bằng 120 vòng/phút Hỏi bánh clà quay được bao nhiêu vòng trong 10 phút đó?

Đúp số: 600 vòng.

17 Bánh xe có trục cố định quay với vận tốc góc ban đầu 2 7Ĩ rad/s quay được 10 vòng thì dừng lại do có ma sát ở ổ trục Hãy xác định gia tốc góc £ của bánh xe, xem nó là một hằng số

Đáp số: s = 0,1 TC rad/s% q u a y chậm dần

18 Khi tắt động cơ, cánh quạt của máy bay có vận tốc góc tương ứng n = 1200 vòng/ phút, quay được 80 vòng thì dừng Hỏi từ thời điểm tắt động cơ đến khi dCnig hết bao nhiêu thời guưi, nếu ta xem cánh quạt quay chậm dần đều

Đáp số: 8 giây.

19 Con lắc dao độim trong mạt pháng đứỉìg quanh Iruc nầm nííang cố định o Từ vị t r í

cản bằng ở thời điểm ban đầu đến lúc nó đat đỏ lệch cực đại a =: — rad phải mất 2/3 giây

16a) Hày viết quy luật dao động của con lắc, xem rầng nó dac động điều hoà?

b) ở vị trí nào con lắc có vận tốc góc cưc đại và vận tốc góc đó bằng bao nhiêu?

Đúp số: a) (p = — s i n —Tĩtracl t rad.

16 4

b ) ở vi t r í t h ẩ n g d i h m ; — 71" r a d / s

64

20 Một cơ cấu C L i l í t được mò tả như hình vẽ

Hãy xác định vận tốc góc và gia tốc ^oc của cu lít o c

ở thời điểm khi (p==“ , nếu thanh AB chuyến đỘHií VỚI

vận tốc u = const và thời điểm ban đẩu (p = 0

Đ óị ) sơ: to = 2 rad/s; d = SOcni