Hình Oxy_Các bài toán về hình chữ nhật và tam giác_Nguyễn bá Tuấn

Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật, biết c tung độ ư ng à ng trùng ới gốc tọa độ.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đ n CD lấy

2015 - 2016

(fb: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan)

TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI

2: Các bài toán về hình chữ nhật)

ệ

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT - ĐỀ BÀI Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A3;1 , C:x2y 5 0.Trên tia đối CD lấy điểm E sao cho CE=CD Biết N6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có Bd1: 2x  y 2 0,Cd2:x  y 5 0 Hình chiếu của B lên

Bài toán 3: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể là n c iếu u ng

g c của lên iể ( ;3)9

  là trung điểm của HC Tìm tọa độ điểm C biếtB:x  y 7 0

5 Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể t uộc đư ng t ng :

y à điể ọi là điể n trên tia đối của tia a c là n

c iếu u ng g c của trên đư ng t ng T tọa độ các điể à iết ( 5 1; )

2 2



Bài toán 6: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể t uộc đư ng t ng

y à - ọi là điể đối ng của ua là n c iếu u ng g c của trên

đư ng t ng T tọa độ điể à iết r ng (5;-4)

Bài toán 7: Trong m t ph ng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho

3

 

MB MA iểm C thuộc đư ng th ng d x:   y 4 0 ư ng th ng đi ua DM c ư ng tr n

7x6y570 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B c àn độ âm

Bài toán 8: Trong m t ph ng tọa độ , cho hình chữ nhật có Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Trên tia đối của lấy điểm sao cho Biết ư ng tr n đư ng th ng và diện tích ABCD =6 Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật, biết c tung độ ư ng à ng trùng ới gốc tọa độ

Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ)

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật c đư ng phân giác trong góc ABC đi ua

trung điểm M của c n đư ng th ng c ư ng tr n x  y 2 0 điểm D n trên đư ng

th ng    :x y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉn c àn độ âm và

đư ng th ng đi ua E( 1, 2)

Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)

Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có Tam giác SAD là tam giác vuông cân t i đỉnh S và n m trên m t ph ng vuông góc với m t đáy Tín t ể tích khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữa ai đư ng th ng SA và BD

Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong m t ph ng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C

thuộc trục tung ư ng tr n đư ng chéo AC: 3x 4y 16 0    Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết r ng

án ín đư ng tròn nội tiếp tam giác ABC b ng 1

Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đ n CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành

x  y àn độ đỉnh C lớn n T tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Bài toán 13: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c iện tíc ng 2 2 ọi lần lượt là trung điể của à iết điể ư ng t ng c ư ng tr n là: 2 2 y-

T tọa độ điể

Bài toán 14: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c : 2x+y - điểm I(-3;2)

thuộc đ n BD sao cho IB=2ID Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết x D 0 và AD=2AB

Bài toán 15: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật iết c n à tiế c ới

Bài toán 16: Tr ng t ng ới ệ tọa độ y, cho n c ữ n ật c ọi à lần

lượt là trung điể các c n à là điể đối ng của ua T tọa độ các đỉn n c ữ

n ật iết - à t y- c tung độ ư ng

Bài toán 17: Xuân Trư ng Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi là điểm

đối x ng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD Tam giác BDM nột tiế đư ng tròn

(x4) (y1) 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết

ư ng tr n đư ng th ng CN là 3x4y170 đư ng th ng đi ua điểm E(7, 0) à điểm M có tung độ âm

Bài toán 18: RƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3

Trong m t ph ng với hệ to độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các c nh AD BC, Trên đư ng th ng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đ n th ng

MK Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , biết K5; 1  ư ng tr n đư ng th ng ch a c nh AC là

2x  y 3 0 à điểm A c tung độ ư ng

Bài toán 19: (VTED)

Trong m t ph ng to độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD Gọi là c n đư ng cao h t đỉnh A lên

BD và E, F lần lượt là trung điểm của à ư ng th ng đi ua F à uông góc với AE có

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4

ư ng tr n -4y+5=0 Tìm to độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đư ng th ng

∆:x + y – 1 = 0

Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)

Trong m t ph ng với hệ to độ y c n t i c t I à iểm M(0;1/3)

thuộc đư ng th ng AB, N(0;7) thuộc đư ng th ng CD Tìm to độ điểm P biết (BP) =5(BI) với điểm B

c tung độ ư ng

Bài toán 21: Trong m t ph ng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật c ư ng tr n đư ng th ng:

AB: x – y ư ng tr n đư ng th ng BD: x - 7y + 14 = 0 Viết ư ng tr n tổng quát của

đư ng th ng AC, biết đư ng th ng đi ua điểm M (2;1)

Bài toán 22: rường THPT Bố Hạ-Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3) Gọi là điểm thuộc c nh

3

điểm B

Bài toán 23: RƯỜNG THCS – Đ D – Lần 1

Tr ng t ng y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích b ng 15 ư ng th ng c ư ng tr n

Bài toán 24: RƯỜ SĨ Ê - Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD c điểm C thuộc đư ng th ng

: 2    5 0

d x y và A(4; 8) Gọi E là điể đối x ng với B qua C, F(5; 4) là hình chiếu vuông góc của

B trên đư ng th ng ED Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Bài toán 25: RƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của lên đư ng

5 5

H ; ,

  điểm M( ; )1 0 là trung điểm c n à ư ng tr n đư ng trung tuyến k t

A của ta giác c ư ng tr n là 7x y  3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A3;1 , C:x2y 5 0.Trên tia đối CD lấy điểm E sao cho CE=CD Biết N6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

x

AN NC

C y

Mặt khác AB//CE=> ANCE là hình bình hành => AC//BE

 

6; 20

2; 22; 2

B BN

B B

Ta đi chứng minh MN MC 2 Xét tam giác AHB có MN là đường trung bình lên MN//BH

Mặt khác BH AC => MNAC=> M thuộc đường tròn đường kính NC

Do KNBC là hình chữ nhật nên=> M thuộc đường tròn đường kính KB=>MBMK

N

C

D

=> tìm được tọa độ H là hình chiếu của B xuống MC

=> tìm được tọa độ A qua M là trung điểm của AH

=> tìm được tọa độ D (do AB DC )

Bài toán 3: Trong ma t pha ng to a đo y cho h nh chư nha t ABCD co đi m H ( 2 la h nh chi u

vuo ng go c cu a A l n BD i m M ( ;3)9

2 la trung đi m ca nh BC phương tr nh đươ ng trung tuy n tư

A cu a tam gia c ADH la +y- =0 i t phương tr nh ca nh BC

A

D

=> pt đường BM là (chính là pt đường BC): 2x+y-12 = 0

Cách 3: + Ta có 2 Tam tam giác : ABC và AHD đồng dạng

Lại có M và N lần lượt là trung điểm của 2 cạnh tương ứng BC và HD

Do đó ta cũng sẽ có tam giác ABM và AHN đồng dạng

Nên ANB AMB => tứ giác ABMN nội tiếp => AN vuông góc NM

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tạiA1;3 iểm D thuộc AB sao cho AB=3AD Hình chiếu của B

Tạo ra hình chữ nhật AEBF bằng cách: Kẻ đường thẳng d qua A

và //BC, CD giao với d tại F, E là trung điểm BC

Như vậy M thuộc đường tròn đường kính EF=>M thuộc đường

tròn đường kính AB (Do AEBF là hình chữ nhật)

5 Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co đi m C thuo c đươ ng tha ng d:

+ y+ =0 va đi m A( o i M la đi m na m tr n tia đo i cu a tia CB sao cho MC=2BC, N la h nh

chi u vuo ng go c cu a B tr n đươ ng tha ng MD T m to a đo ca c đi m B va C i t N ( 5 1; )

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 8

=>tìm được toạ độ điểm C(2;-3)

Bài toán 6: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co đi m C thuo c đươ ng tha ng

d:2 +y+ =0 va A(- o i M la đi m đo i ư ng cu a B qua C, N la h nh chi u vuo ng go c cu a B tr n đươ ng tha ng MD T m to a đo đi m B va C Bi t ra ng N(5;-4)

HD

Các bạn làm tương tự như bài tập 3

Điểm mấu chốt là ta đi chứng minh AN vuông góc với NC

Giải : Gọi tọa độ C(c;-5-2c)

Ta có BN vuông với ND

do đó N thuộc đường tròn đường kính BD

nên N thuộc đường tròn đường kính AC

=> AN vuông NC => 9.(c  5) 12.( 5 2   c 4)  0=>C(1;-7)

AC song song với NM, C là trung điểm của BM

Do đó AC đi qua trung điểm của BN

Lại có AC vuông với BN => N và B đối xứng nhau qua AC => B(-4;-7)

Yếu tố khoảng cách, vecto

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho

3

 

7x6y570 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B có hoành độ âm

Giải :

+) Gọi I là giao điểm của AC và DM

Do AM // DC nên áp dụng Ta – let ta được:

B

D

I A

B M

17 1717

B t

B t

Hướng dẫn:

Kẻ EFAD tại F và EF cắt BC tại K

1 1 0

E

+) Với a0, chọn b1 ta được phương trình AD y:  2 0

Suy ra phương trình AB: x0 Gọi B(0; )b AB với b0, hi đó:

S ABCD AD AB  6 2.b  2 b 5 hoặc b 1 (loại), suy ra B(0;5)

2

I 

 

+) Với b0, chọn a1 ta được phương trình AD x: 0

Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác trong góc ABC đi

đường thẳng    :x y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ

âm và đường thẳng AB đi qua E( 1, 2)

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A( 1, 4), ( 1,1), (5,1), B  C D(5, 4)

Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD 2AB 2a   Tam giác SAD là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

5

3 sin HCD sin(ACD ACH)

Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C

thuộc trục tung, phương trình đường chéo AC: 3x 4y 16 0    Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết rằng án ính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1

Hướng dẫn:

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12

*C là giao điểm của AC và Oy  C(0; 4)

*Gọi B(0, b)

* Phương trình AB: y b  ( do Ab vuông góc BC Oy) 

Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đoạn CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành

Vì K(9; 2) là trung điểm của CD và C(9; 4) suy ra D(9;0)

Gọi I là trung điểm của BD thì I(5; 2) và I là trung điểm của AC nên A(1;0)

Bài toán 13: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co di n t ch a ng 2 2 o i M, N

la n lươ t la trung đi m cu a BC va CD i t đi m M(0 ươ ng tha ng AN co phương tr nh la : 2 2 =0 T m to a đo đi m A

Bài toán 14: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co AD: 2x+y - =0, điểm I(-3;2)

thuộc đoạn BD sao cho IB=2ID Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết x D0 và AD=2AB

HD

2cos

5

AD ADB

N na m tr n tru c tung Xa c đi nh to a đo ca c đ nh cu a h nh chư nha t ABCD, i t đ nh A co hoa nh đo a m

va đi m D co hoa nh đo dương va tam gia c AND co di n t ch a ng 10

Phương trình AD, qua A4,5và tiếp xúc với (I) là y 5 ặt D x ,5

Bài toán 16: Trong ma t pha ng vơ i h to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co AB=2AD o i M va N

la n lươ t la trung đi m ca c ca nh AD va BC K la đi m đo i ư ng cu a M qua N T m to a đo ca c đ nh h nh chư nha t ABCD i t K( - va pt AC: 2 +y- =0, A co tung đo dương

B

D

C

=>Viết được phương trình đường thẳng MN qua K

5



(chú ý đoạn này ta sẽ có 2 pt đường MN, ta sẽ loại 1 trường hợp sau)

=> phương trình KI là x+4y=11 Toạ độ điểm ( ,1 13)

Bài toán 17: Xuân Trường Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là

điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD Tam giác BDM nột tiếp

(x4) (y1) 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là 3x4y170 đường thẳng BC đi qua điểm E(7, 0) và

điểm M có tung độ âm

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16

+ Do BACDA( 1,5)

Bài toán 18: TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của các cạnh AD BC, Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của

đoạn thẳng MK Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , biết K5; 1 , phương trình đường thẳng chứa cạnh

AClà 2x  y 3 0 và điểm A có tung độ dương

Từ đó AD: = hoặc 3x+4y+9=0

Với AD: x=1 Suy ra A(1;1) (thỏa mãn) Với AD: 3x+4y+9=0

5

A

DC: y=-3 Suy ra C(3;-3); CB: x=3 Suy ra B(3;1)

Bài toán 19: (VTED)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD Gọi H( 2 là chân đường cao hạ từ đỉnh A

lên BD và E, F lần lượt là trung điểm của DH và BH ường thẳng d đi qua F và vuông góc với AE có

phương trình -4y+5=0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đường thẳng

∆:x + y – 1 = 0

Lời giải:

Gọi M là chân đường vuông góc hạ AE

à K là trung điểm AH N=AH ⋂ FM và P = BK ⋂ AE

M A

D

K

Trong ∆ADH có

=> KE ⫽ AD => KE ⏊ AB Trong ∆ABE có => K là trực tâm ∆ABE

=> BK ⏊ AE mà FM ⏊ AE suy ra FM ⫽ BK hay FN ⫽ BK

Trong ∆HKB có => NK=NH hay N là trung điểm của HK

+) Gọi N(4a-5;a) d => K(8a-11;2a-2) =>A(16a-23;4a-6)

Mà A∊ d suy ra 16a – 23 + 4a – 6 – 1 = 0  a= => A(1;0)

ường thẳng AE đi qua A và vuông góc d có phương trình + y -4 = 0

ường thẳng BD đi qua H(1;2) và vuông góc với AH có phương trình là y – 2 = 0

Toạ độ điểm E là nghiệm cảu hệ –



=> E( ;2) => D(0;2) ường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AD có phương trình -2y-1=0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ  => B(5;2)

Ta có = => C(4;4)

Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)

thuộc đường thẳng AB, N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm toạ độ điểm P biết =5 với điểm B

Chọn a = và = ta được pt AB: 4x-3y-1=0

Chọn (m=2 và n=-1) hoặc (m=2 và n=- ta được PT BD: 2x-y-3=0 hoặc PT BD: 2x-11y+_7=0

xp yp

Bài toán 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng:

AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x - 7y + 14 = 0 Viết phương trình tổng quát của

đường thẳng AC, biết đường thẳng AC đi qua điểm M (2;1)

Lời giải

- VTCP của đường thẳng AB:v1= (2 ;1)

- VTCP của đường thẳng BD: v2 = (7 ;1)

- Gọi VTCP của đường thẳng AC là v3= (a ;b), với a2+ b2 0

Gọi I là giao điểm của AC và BD,suy ra tam giác ABI cân tại I

Suy ra Cos(BAI) = Cos(ABI) 

1 3

1

3

v v

v v

=

2 1

2

1

v v

v v



5

2

2 2

b a

b a





=

50.515

b a

7+ a = b ,suy ra một VTCP của đường thẳng AC: v'= (1;1)

PTCT của đt AC:

1

11



+ a = 7b, suy ra một VTCP của đường thẳng AC: v'= ( 7;1),suy ra không tồn tại phương trình

đường thẳng AC vì v'cùng phương với v2

Vậy PTTQ của AC: x – y -1 = 0

Bài toán 22: Trường THPT Bố Hạ-Lần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3) Gọi N là điểm thuộc cạnh

n a b a b  là v ctơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3),

+) Với 3a4b, chon a=4,b=3, PT BD:4x+3y-13=0

+) Với 3a4b, chon a=4,b=3, PT BD:4x+3y-13=0

Bài toán 23: TRƯỜNG THCS – THPT ĐÔNG DU – Lần 1

Trong ma t pha ng y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15 ường thẳng AB có phương trình x2y0 Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ 16 13;

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 20

Bài toán 24: TRƯỜNG THPT NGÔ SĨ LIÊN- Lần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng

: 2    5 0

B trên đường thẳng ED Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Lời giải

Ta có Cd: 2x  y 5 0 nên C(t; –2t – 5)

Ta chứng minh điểm A, B, C, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD Do tứ giác ABCD là

Từ giả thiết ta có AC // EF, BF ED nên BF AC, do C là trung điểm BE nên BF cắt và vuông góc với

AC tại trung điểm

Suy ra F đối xứng với B qua AC, suy ra ∆ABC = ∆AFC

S ABC S AFC S ABCD S AFC  (đvdt

Bài toán 25: TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần 2:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên

5 5

H ; ,

tuyến kẻ từ A của tam giác ADH có phương trình là 7x y  3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

H

M N K

Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn

Tham khảo thêm:

1 Chuyê đề hình oxy – Luyện thi THPT quốc g a 2016 (chuyê đề số 7)

2 Các tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2016 – thầy Nguyễn Bá Tuấn

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 1 -

2015 - 2016

H

ề

ệ

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 2 -

Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia v ược coi là

phần lấy iểm iểm 8 trong ề thi Với xu hướng ra ề của Bộ hiện nay ó l sự kết hợp các tính chất

hình học ặc trưng ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa ộ Oxy v o 1 b i toán Khi ó b i toán hình học

phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn v ể giải quyết ược bài toán thì nút thắt ó chính l nhìn nhận và

chứng minh tính chất ặc trưng Trong chương trình THCS ta ã ược học các tính chất của rất nhiều

loại hình quen thuộc như: tam giác, tứ giác và trong kỳ thi các năm trước các dạng toán xoay quanh

các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít Bởi vậy các b i toán dưới ây sẽ giúp các bạn nắm rõ

các tính chất cũng như các dạng toán liên quan tới tam giác

E D

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 3 -

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(1;0), N(4;-3) lần lượt l trung iểm các

cạnh AB, AC v D(2;6) l chân ường cao hạ từ ỉnh A xuống cạnh BC Tìm tọa ộ các ỉnh A, B, C

HD

+ Ta viết ược pt ường BC qua D và // với MN: x  y 8 0 =0

+ Tham số hoá toạ ộ iểm B (theo biến b) qua phương trình ường BC:

B(b;8 - b)

 Toạ ộ iểm A (theo biến b) do AM MB A2b b; 8

+ Viết ược phương trình ường thẳng AD qua D và vuông góc với BC

x  y

 Thế toạ ộ iểm A(theo biến b) v o phương trình AD, ta sẽ tìm ược b=7

 Tìm ược toạ ộ iểm: B(7;1);A(-5;-1);C(13;-5)

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tương ứng là chân

ường cao hạ từ ỉnh A, B, C của tam giác ABC Xác ịnh tọa ộ các ỉnh tam giác ABC

Viết pt t NB l phân giác góc MNP l x – y =0

Viết pt t AM l phân giác góc PMN là x + 2y = 0

Pt t BC vuông góc AM v i qua M l : 2x – y – 5 =0

Pt t AC i qua N v vuông góc BN l x + y – 4 = 0

Tọa ộ B l giao iểm NB và BC là B(5;5)

Tọa ộ iểm C là giao của AC và BC là C(3;1)

Tọa ộ iểm A l giao iểm của AC và AM là A(8;-4)

D

N M

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 4 -

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ường tròn (C): 2 2

+ Dựa v o IA =R=> tìm ược toạ ộ iểm A(-4;3)

 Viết ược phương trình ường AC qua A và C x3y 5 0

 Tham số hoá toạ ộ iểm C theo t C5 3 ; t t

 Dựa vào IC=R => toạ ộ C 0;5

3

 

 

 

M l giao iểm của MN và AC⇒M(-1;2)

Pt MB i qua M v vuông góc với AC là:

B l giao iểm của BM v tr (I)⇒B(-3;-4) (B;C cùng phía so với MN)

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2;-1) v phương trình ường phân giác

trong của góc B và C lần lượt là x-2y+1=0, x+y+3=0 Viết phương trình cạnh BC

HD

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc B ta ược iểm D thuộc BC

Pt AD là 2x  y 3 0 cắt phân giác góc B tại M

M l giao iểm của AD v t ó M(1;1)⇒D(0;3)

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc C ta ược iểm E thuộc BC

Pt AE làx  y 3 0.N l giao iểm của AE và phân giác góc C

⇒N(0;-3) => Viết ược phương trình ường BC qua E và D: x = 0

Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC ường cao AH, trung tuyến CM v ường

phân giác trong BD Biết iểm H(-4;1), M(4;-2) v phương trình ường thẳng BD là x+y-5=0 Tìm tọa

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 5 -

Lấy H’ ối xứng với H qua BD =>H’(4;9) thuộc AB

 Viết ược pt ường ường AB qua H’ v M: x = 4 Lấy M’ ối xứng với M qua BD => M’(7;1) thuộc BC

 Viết ược pt ường ường BC qua M’ v H: y=1

 B là giao AB và BC B(4;1)

 Toạ ộ A là giao giữa AB và AH A(4;3)

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ường thẳng phân giác trong

góc A là x-y=0, phương trình ường cao hạ từ ỉnh C là 2x+y+1=0, cạnh AC i qua iểm M(0;-1) và

AB=2AM Tìm tọa ộ các ỉnh tam giác ABC

+ Toạ ộ C là giao giữa AM và CH: C(0;-1)

Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có chân ường phân giác hạ từ ỉnh A l iểm

D(1;-1) Phương trình tiếp tuyến tại A của ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x+2y-7=0 Giả sử

H

A

H A

B

C

M M'

H

M D I

C B

A

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 6 -

Bài toán 9: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình ường trung

tuyến kẻ từ A v ường thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3x+5y-2=0 và x-y-2=0 Đường thẳng qua A

vuông góc với BC cắt ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại iểm thứ hai là D(2;-2) Tìm tọa ộ các

ỉnh của tam giác ABC, biết ỉnh B có tung ộ âm

+ Viết pt ường thẳng AD qua A và vuông góc với BC x y 0

 Toạ ộ A(-1;1) là giao giữa AM và AD + Viết pt ường IM qua M và vuông góc với BC x  y 1 0

 I l giao iểm của IM v ường trung trực của AD

Bài toán 10: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;-1), phương trình

ường thẳng chứa cạnh BC là y+4=0 Biết ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC i qua hai iểm

M(6;-2), N(3;-7) Tìm tọa ộ iểm A

HD

- Gọi I là tâm ngoại tiếp ABC

- D l iểm ối xứng của H Qua BC

- Dễ thấy D thuộc ường tròn ngoài tiếp (do có góc BDA= góc BHK=góc BCA)

=> xác ịnh ược toạ ộ iểm D

=> xác ịnh ược tâm I ường tròn ngoại tiếp ABC

D K H A

A

I

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 7 -

Gọi M, N, P lần lượt l trung iểm AC, BC, AB

 Tìm ược toạ ộ các iểm M, N, P theo a, b, c, d:

Bài toán 12 (KD-2011):Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có ỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1)

v ường thẳng chứa ường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 Tìm tọa ộ ỉnh A và C

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 8 -

Hướng dẫn giải

Gọi M l trung iểm của AC v E l iểm ối xứng

với B qua phân giác (AD)

x

C y

Bài toán 13 (KD-2010) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm

ường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác ịnh tạo ộ ỉnh C, biết C có ho nh ộ dương

Hướng dẫn giải

D I

E G

M A

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 9 -

B ối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3) Ta có :

+/ Phương trình (AH) : x=3 v BCAH suy ra (BC) có dạng y=a

( a 7) ví (BC) không qua A Do ó B,C thỏa mãn phương trình

Do C có ho nh ộ dương cho nên (1) :

I

M

H A

I

M

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 10 -

- Gọi D l giao iểm của AH với (C)=> D (3; 7)

- Gọi K l giao iểm của AD với BC

C x

Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, cho tam giác ABC có trung iểm cạnh BC là M(3,2),

trọng tâm v tâm ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

3 3) và I(1,-2) Xác ịnh tọa ộ ỉnh C

Gọi A(xA; yA) Có AG2GM A(-4; -2)

Đường thẳng BC i qua M nhận vec tơ IM l m vec tơ pháp tuyến nên có PT:

2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y) Có C  BC  x + 2y - 7 = 0

Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 11 -

1

x y

x y





 

Vậy có 2 iểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)

Bài toán 15: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1),B(1;2), trọng tâm G của tam

giác nằm trên ường thẳng xy20 Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5

G

G

a x

b y

Bài toán 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết

trực tâm H(1;0), chân ường cao hạ từ ỉnh B là K(0; 2), trung iểm cạnh AB là M(3;1)

Hướng dẫn giải