UNG DUNG TOA DO GIAI HH KHONG GIAN luyen thi Dai Hoc THPTQG

Chuẩn bị trước BT ở nhà theo hướng dẫn của Thầy, Cô. + Chú ý nghe Thầy, Cô sửa BT và ghi chép bài sửa đầy đủ để về nhà xem lại. + Chỗ nào chưa rõ hoặc không hiểu thì mạnh dạn hỏi ngay. Nếu không hỏi Thầy, Cô thì hỏi các bạn trong lớp hoặc lớp khác. + Giờ BT phải có đầy đủ dụng cụ học tập và giấy nháp. (để có tinh thần học tốt hơn) + Không nói chuyện, sao lãng hay làm việc khác khi đang sửa bài….

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Cao Văn Tuấn – 0975306275

1 Ph ng pháp

+ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng

đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho có ch a các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ.

+ Bước 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, điểm trên hệ trục tọa độ vừa ghép.

+ Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ không gian để giải quyết bài toán

2 Các bƠi toán ghép tr c t a đ th ờng g p vƠ cách suy ra t a đ các đỉnh

Đối với một số loại hình chóp, hình lăng trụ trong một số bài toán ta có thể sử dụng việc đặt một hệ

trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp thuần túy (mà việc này có thể gặp nhiều khó khăn trong dựng hình, tính toán với các em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ

Cách giải bài toán như vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa

Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán có thể sẽ dài dòng và ph c tạp hơn phương pháp hình học không gian thuần túy, tuy nhiên cách giải này thực sự rất hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững những phương pháp trong cách giải hình học không gian còn yếu hoặc những bài toán hình không gian về khoảng cách khó; về xác định GTLN, GTNN; các bài toán về quỹ tích điểm,

Để có thể làn tốt được các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì các em học sinh phải nắm chắc các kiến th c (cụ thể là các công th c tính) c a phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và những kiến th c cơ bản nhất c a hình học không gian

Sau đây thầy sẽ trình bày cụ thể phương pháp: “ ng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian”

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Hình chóp S.ABC có:

+ Đáy là tam giác vuông,

tam giác đều.

+ SA vuông góc với đáy.

Bình luận: Rõ ràng rằng việc tính thể tích c a khối chóp này là không quá khó khăn, chỉ cần các em nắm

được cách xác định góc giữa hai mặt phẳng là xác định được Vì vậy, ý tính thể tích thầy để các em tự suy nghĩ và thực hiện

Với câu hỏi tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng chéo nhau này, các em hoàn toàn có thể thực hiện theo hình tổng hợp đây chúng ta bàn luận về việc đặt hệ trục tọa độ để thực hiện ý th hai này

Trước hết các em cần lưu ý: Xác định chiều cao c a hình chóp này như thế nào?

Điều này là không quá khó: Vì sao? Hãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, trong mặt này dựng một đư ng thẳng vuông góc với giao tuyến thì đư ng thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia” Gắn vào hình chóp này: Ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến c a hai mặt phẳng này là AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, các em chỉ cần từ S dựng SH vuông góc với AB, (H AB) vì tam giác SAB cân tại S cho nên H là trung điểm AB T c là các em đã xác định được chiều cao

và chân đư ng vuông góc

Trên đây là một số dạng cơ bản c a một số loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một cách đơn giản Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ Chỉ cần chúng ta xác định được đư ng cao c a khối đa diện đó và thông thư ng trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân

đư ng cao c a khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đư ng cao, sau đó ta dựng hai tia còn lại Nhưng trong

thực hành giải toán chúng ta căn c tùy bài toán để đặt hệ trục miễn sao chúng ta có thể tìm các tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính có thể tìm được một cách dễ dàng hoặc không quá ph c tạp

Ví dụ như bài toán sau: (Các em hãy xem và suy nghĩ nên đặt hệ trục ra sao)

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

B

C S

Tính toán tọa độ các điểm (căn c vào phần trước), ta có:

Áp dụng công th c tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng chéo nhau: SA, BC ta có:

SA,BC SA,BC AB

, ta thu được kết quả cần tính

Kể ra thì cũng không quá ph c tạp đúng không các em Các em hãy suy nghĩ có cách đặt hệ trục tọa độ

nào khác không? mục số 4 Ví d minh h a, thầy sẽ trình bày thêm một số ví dụ cụ thể về các dạng toán để các em hiểu rõ hơn về phương pháp này

3 Sử d ng các kiến th c v t a đ đ gi i quyết bƠi toán

Cách 1: Cho đư ng thẳng  đi qua M, có một vectơ chỉ phương u và một điểm A Khoảng cách

từ A đến đư ng thẳng  được tính b i công th c:

 A, 

, AM

u d

+ Lập phương trình mặt phẳng    đi qua A và vuông góc với .

+ Tìm tọa độ giao điểm H c a    và .

d) Kho ng cách giữa hai m t phẳng song song

Đ nh nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì c a

mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

e) Kho ng cách giữa hai đ ờng thẳng chéo nhau

Cho hai đư ng thẳng chéo nhau 1 và 2, biết:

+ 1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương u1

+ 2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u2

Cách 1: Khoảng cách giữa hai đư ng thẳng 1 và 2 được tính bằng công th c:

,

u u d

f) Kh o ng cách giữa 2 đ ờng thẳng song song

K hoảng cách giữa 2 đư ng thẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đư ng thẳng này đến đư ng thẳng kia.

 quay về dạng toán khoảng cách từ 1 điểm đến đư ng thẳng .

g) Kho ng cách giữa đ ờng thẳng  vƠ m t phẳng    (v ới  //    )

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Ví d 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D    cạnh là a Gọi N là trung điểm c a B C 

a) Ch ng minh rằng: AC vuông góc với  A BD  

b) Tính thể tích khối t diện ANBD.

c) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AN và BD

c a mặt phẳng  A BD  

Ta thấy hai vrctơ AC' và A'B,A'D     cùng phương.

Vì thế ta có AC vuông góc với mặt phẳng  A BD  

Các em lưu ý, đây là một bài tính toán và ch ng minh các yếu tố liên quan đến hình lập phương, chúng ta

có thể thực hiện bằng phương pháp tổng hợp, thầy không trình bày phương pháp đó nữa, mà giải bài toán này theo phương pháp tọa độ hóa

Như đã nói phần trước, với hình lập phương và hình hộp chữ nhật thì việc chọn hệ trục tọa độ là rất dễ

dàng Thầy chọn hệ trục như sau (Các em hãy chọn hệ trục khác đi và giải nó theo cách của các em)

Khi đó ta có tọa độ các đỉnh c a hình lập phương như sau:

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Với a b, là các véc tơ chỉ phương c a đư ng thẳng a và b Đư ng thẳng a,b lần lượt đi qua hai

AN, BD

26

AN, BD

a d

Ví d 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D    có cạnh AB 1, AD 1, AA 2

a) Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng A C và BD.

b) Gọi   Q là mặt phẳng qua A vuông góc với A C Tính diện tích c a thiết diện c a hình chóp

Ta có thiết diện là t giác AMNP

Và diện tích c a t giác này là:

AMNP AMN ANP

2 2

3

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Ví d 3: Cho hình chóp t giác đều S.ABCD có cạnh BD 2 2  Mặt bên tạo với mặt đáy góc 0

60 a) Tính thể tích khối chóp, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SB và AC.

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SCD 

d) Gọi I là trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến các mặt phẳng  ABCD  và  SCD 

Sau đây chúng ta xét một số khối đa diện mà việc tọa độ và tính toán ph c tạp hơn

Ví d 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5 tâm O, SO vuông góc với đáy;

các cạnh bên SA2 3,SB3 Gọi M là trung điểm c a cạnh SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SA và BM.

b) Mặt phẳng  AMB  cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

A

D

B

J I

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

5 BƠi tập rèn luy n

BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, SA  a 2 Gọi M là trung

điểm c a AB Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SM và BC

ĐS:

6

a

d 

BƠi 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ điểm H c a cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết

góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt đáy bằng 600

a) Tính SH và khoảng cách từ H đến (SCD).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK) biết K là trung điểm c a cạnh AD.

BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân tại

S, và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy một góc  sao cho tan2 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, đư ng cao AB, BC = 2a, SA = a SA

vuông góc với đáy Biết SC vuông góc với BD

a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

2 D

2

a khi x a a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b) Gọi M là điểm di động trên cạnh AC sao cho AM = x,  0   x a 3  Tính khoảng cách từ S đến

BM theo a, x Tìm x để khoảng cách trên đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

BƠi 6 (ĐH ĐƠ N ng khối A năm 2001): Cho t diện S.ABC có SC CA AB    a 2 SC vuông góc

với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M, N lần lượt thuộc SA và BC sao cho AMCNt

với  0   t 2 a 

a) Tính độ dài đoạn MN, tìm t để độ dài đoạn MN nhỏ nhất.

b) Khi MN nhỏ nhất, ch ng minh rằng MN là đư ng vuông góc chung c a BC và SA.

BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên c a hình chóp bằng

nhau Biết khoảng cách từ S đến (ABC) là h Tìm điều kiện c a h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc Khi đó hãy tính thể tích khối chóp S.ABC

BƠi 8 (ĐH khối B năm 2002): Cho hình lập phương ABCD.A B C D1 1 1 1 cạnh là a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đư ng thẳng A B1 và B D 1

b) Gọi M, N, P theo th tự là trung điểm c a các cạnh BB ,CD, A D 1 1 1 Tính góc giữa MP và C N 1

BƠi 9 (ĐHSP TPHCM năm 1992): Cho hình lập phương ABCD.A B C D1 1 1 1 cạnh là a Gọi M, N theo

th tự là trung điểm c a AD và CD Lấy P trên cạnh BB1 sao cho BP = 3PB1 Xác định và tính diện tích thiết diện c a hình lập phương cắt b i mặt phẳng (MNP)

ĐS: S7a2 6

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

BƠi 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D1 1 1 1 có AB = a, AD = 2a, AA1= a

a) Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AD1và B1C.

b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM 3

MD Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

(AB1C).

c) Tính thể tích khối t diện AB1D1C.

BƠi 11: Cho lăng trụ đ ng ABC.A B C   có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , biết BA=a cạnh bên

AA '  a 2 Gọi M là trung điểm c a cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai

đư ng thẳng AM, B C

BƠi 12: Cho hình lăng trụ ABC.A B C   có độ dài cạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

ABa, AC  a 3 , hình chiếu vuông góc c a A lên (ABC) là trung điểm c a BC Tính theo a thể tích

khối chóp A ABC và tính cos c a góc giữa hai đư ng thẳng AA và B C 

BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =a, SBa 3 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm c a AB và BC Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và cos c a góc giữa hai đư ng thẳng SM và DN.

GI I BÀI TOÁN HÌNH HỌC KH4NG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài Cho hình lăng trụ đ ng “”C.“’”’C’, đ{y “”C l| tam gi{c vuông tại A, AB a,AC 2a,AA' b   Gọi M, N lần lượt l| trung điểm c a ””’ v| “”

a ởính theo a v| b thể tích c a t diện “’CMN

b ởính tỉ số b

a để B'C AC'

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi

qua cấc điểm ”, C, “’ Khi đó A 0;0;0 ,   B a;0;0 ,  

Bài Cho hai hình chữ nhật “”CD v| “”EF trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,

AB 2a,BC BE a   ởrên đư ng chéo “E lấy điểm M v| trên đư ng chéo ”D lất điểm N sao cho

AM BN k

AE BD  với k 0;1 ởính k để MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O , c{c tia Ox, Oy, Oz

lần lượt đi qua D, ”, F Khi đó A 0;0;0 , 

F

B M

N

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 2

Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ cạnh bằng a ởrên c{c cạnh ””’, CD, “’D’ lần lượt lấy c{c

điểm M, N, P sao cho B'M CN D'P x   , x 0;a .

a Ch ng minh AC'MNP

b X{c định vị trí c a M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé nhất

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi

qua c{c điểm ”, D, “’ Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,     C a;a;0 , 

D 0;a;0 , A' 0;0;a ,   B' a;0;a , 

C' a;a;a , D' 0;a;a , M a;0;a x , N a x;a;0 , P 0;a x;a     

a ởa có AC'a;a;a

ởam gi{c MNP l| tam gi{c đều có cạnh bằng 2 x2ax a 2

 khi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a c{c cạnh ””’, CD, “’D’

Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm c a AD

v| ””’ Ch ng minh AC'AB'D' v| tính thể tích c a khối t diện “’CMN

P

N

13

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có như hình v , ta có: A 0;0;0 , B a;0;0 ,    C a;a;0 , 

D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a

a ởa có A'Ca;a; a , AB'a;0;a, AD'0;a;a

Bài Cho t diện Ở“”C có SC CA AB a 2, SC   ABC, tam gi{c “”C vuông tại “ C{c điểm

M SA, N BC  sao cho AM CN t 0 t 2a      ởính t để MN ngắn nhất ởrong trư ng hợp n|y ch ngminh MN l| đoạn vuông góc chung c a ”C v| Ở“ đồng th i tính thể tích c a khối t diện ABMN

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O 0;0;0  , tia Ox ch a

AC, tia Oy ch a “” v| tia Oz cùng hướng với vec-t CS

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 4

V MH Ax H Ax    v| MK Az

K Az 

Vì tam gi{c ỞC“ vuông c}n C nên MH“K l| hình vuông có cạnh huyền bằng t

Vậy MN l| đư ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm

Bài Cho khối lăng trụ tam gi{c đều có cạnh đ{y bằng a v| AB' BC' ởính thể tích c a khối lăng trụ

Gi i

Gọi O l| trung điểm c a AC

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox đi qua “, tia Oy đi qua ”

z

x

t A C

S

M K

H

y

x t B

N J

I

15

a ởính góc giữa hai đư ng thẳng “C’ v| “’”.

b Ch ng minh AC'MNP v| tính thể tích c a khối t diện AMNP

Bài Cho hình chóp Ở.“”CD có đ{y “”CD l| hình vuông cạnh

a, mặt bên Ở“D l| tam gi{c đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a SB, BC, CD Ch ng minh rằng AM BP v| tính thể tích c a khối t diện CMNP

Gi i

z

y

x O

A'

B'

A C'

y

x

z

P N

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 6

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với “, tia Ox đi

qua ”, tia Oy đi qua D, tia Oz cùng hướng với vec-t HS

H l| trung điểm c a AD), khi đó A 0;0;0 ,   B a;0;0 , 

a X{c định đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C

b ởính thể tích c a khối t diện AIJK

Từ v| suy ra IO l| đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C

b Góc giữa cạnh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO 45 0

 ởam gi{c ỞOD vuông c}n tại O

a 2

OS OD

2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O trùng với t}m c a hình vuông

“”CD, tia Ox đi qua C, tia Oy đi qua D v| tia Oz đi qua Ở \

x

O

P N

K

O C

A

D B

S

17

Bài Cho khối lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a K l| trung điểm c a DD’ v| O l| t}m c a

hình vuông ““’”’” ởính thể tích c a khối t diện “IK“’ Ởuy ra khoảng c{ch từ “’ đ n mặt phẳng

“”’K

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A O , c{c tia Ox, Oy, Oz lần

lượt đi qua ”, D, “’ Khi đó A 0;0;0 , A' 0;0;a ,   

Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M l| trung điểm c a cạnh “D v| N l|

t}m c a hình vuông CC’D’D ởính b{n kính mặt cầu ngoại ti p t diện ”C’MN

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 8

Chọn hệ trục tọa độ “’xyz như hình v

ởa có A' 0;0;0 , B' a;0;0 , C' a;a;0 ,     

”{n kính mặt cầu nói trên l| R  α2 2 2δ

Mặt cầu Ở đi qua ”, C’, M, N nên:

Vậy b{n kính mặt cầu ngoại ti p t diện ”C’MN l|: R α2 2 2 δ a2 a2 a2 2a2 a 35

Bài Cho hình chóp t gi{c đều Ở.“”CD có cạnh đ{y bằng a v| chiều cao bằng h Gọi I l| trung điểm

c a cạnh bên ỞC ởính khoảng c{ch từ Ở đ n mặt phẳng (ABI)

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ l| t}m O c a hình

vuông “”CD, tia Ox ch a OA, tia Oy ch a O” v| tia Oz ch a

D'

B'

C' A'

z

y x

a ởính thể tích c a khối t diện SAMN

b Ch ng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt cầu t}m O v| ti p xúc với bốn mặt bên c a S.ABCD ởính thể tích c a khối cầu tạo b i mặt cầu nói trên

x E

M

D' C'

z

x

y M

N

O A

C

B

D

S

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 10

21

Dấu = xảy ra a2 b2 c2  hay a b c 11   

Vậy d O, ABC     đạt gi{ trị lớn nhất bằng 1

3 khi a b c 1   v| trong trư ng hợp n|y

a ởính khoảng c{ch từ “ đ n mp ”CM v| khoảng c{ch giữa hai đư ng thẳng Ở” v| CN

b ởính cô-sin góc giữa hai mặt phẳng ỞCD v| Ở”C

c ởính tỉ số thể tích giữa hai phần c a hình chóp Ở.“”CD chia b i mp(BCM)

24

C

B

S

Tr ần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 12

3 1

Từ v|  ”CMN l| hình thang có đư ng cao BM

Bài Cho hình hộp chữ nhật “”CD.“’”’C’D’ có AB AD a  , AA' b Gọi M l| trung điểm c a cạnh CC’

a ởính thể tích c a khối t diện ”D“’M

b ởìm tỉ số a

b để A'BD  MBD

Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần

lượt đi qua c{c điểm ”, D, “’ Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,   

D

B'

23