Quy tắc tính nhanh giúp học sinh luyện thi ĐHQGHN và thi THPT chỉ cần làm trong 5 giây, giải quyết nhanh các bài toán về tỉ số thể tích và các bài tính thể tích đơn giản, áp dụng trong luyện thi ĐHQGHN và luyện thi THPT
Trang 1Chương I : Hàm số và các dạng toán liên quan – 8 tính chất+ 5công thức
Đơn vị kiến
thức
Công thức và bài tập tự luyện
Đạo hàm : 3ct Đạo hàm cấp n của 1 số hàm số hay gặp
(n)
(n)
n (cos x) cos x ,n N
2 (sin x) sin x n ,n N
2
(n) n
n 1
1 ( 1) n!
x 1 (x 1) Cho hàm số y acosx bsin x Tìm mệnh đề đúng
A (3)
y' y 0
B y' y (3)
C (3)
D y' y (3) A.B
(Trang20-47 q17) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:yxex
A y' y ex B y'' y 2ex C y''' y 3ex D y'' y' y'''
Cực trị : 1ct Đường thẳng đi qua 2 điểm cưc trị
Ax + B với :
f(x) f '(x).G(x) (Ax B)
TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN BÁ TUẤN
Trang 2Cho hàm số yx3mx2 1 m 0 luôn tồn tại đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số và (d) có phương trình
A y 2mx 1
3 B y 2m2x 1
9
C y2mx 1
3 D y 2m2 x 1
9
Cho hàm số Tìm để đường thẳng đi qua cực đại cực
tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng
A m 6 B.m 2
C.m 3 D.m 4
Điểm uốn : 1ct + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm uốn
VD1: Cho hàm số 3 4 2 2
m 2
x
xứng của Cm lần lượt là
A (1,0) và (1,0)
B (1,0) và (-1,2)
C (-1,2) và (0,1)
D (-1,2) và (1,0)
Đồ thị hàm
phân thức : 8tc + Hàm phân thức có dạng
2
ax b ax bx c
;
cx d px q : điểm đối xứng của ĐTHS chính
là giao điểm hai đường tiệm cận
VD2: Cho hàm số
2
2x 7x 7
x 2 Tâm đối xứng của (H) là
A (2;1)
B (0,3)
C (1,-2)
D (2,5) VD3: Cho hàm số Cm :
2
y (m 1)x m
x m trong đó m1.Với giá trị nào của m thì tâm đối xứng của Cm nằm trên đường thẳng y 2x 1
m 1
* Cho đồ thị hàm phân thức ( bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất )
-Bài toán 1 : Tìm 2 điểm A,B trên 2 nhánh của đồ thị sao cho AB ngắn nhất?
Bài toán 2 : Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là ngắn nhất?
-Cách làm : A,B,M chính là giao điểm của đồ thị hàm số với phân giác của góc
Trang 3-Đặc biệt, với hàm
ax b
cx d ta có CT đặc biệt sau :
1 Phương trình đường thẳng là phân giác cặp góc tạo bởi 2 tiệm cận là
c
2 Độ dài AB là 2 2 ad bc
3 Điểm M sẽ có hoành độ thỏa mãn 2
M
(c.x d) ad bc c Sau khi xác định được tọa độ M(x ; y )M M thì
+ tổng khoảng cách từ M đến hai trục là : xM yM +tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là : 2 ad bc
c VD: Cho hàm số
2x 2 y
x 1 (C) Tìm trên 2 nhanh của (C) hai điểm A,B sao cho AB=min
A (1,0);( 3,4)
B (1,0);(3,2)
C ( 5,3);( 3,4)
D ( 5,3);(3,2)
VD2: Cho hàm số
2x 2
x 1 M thuộc nhánh phải của (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất.Tìm tọa độ của M :
A M(3,4) B M(3, 4)
C M( 3,4) D.M( 3, 4)
VD3: Cho hàm số
x
x 1 Điểm M trên (H) sao cho khoảng cách đến 2 tiệm cận min, khoảng cách đó là ?
A 2 B.1 C.3 D,4
+ Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm nhất biến, ta quy ước
chung là (C ) : 5.1.1 (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 5.1.2 (C ) nhận hai đường phân giác của các cặp góc tạo bỏi hai đường tiệm cận làm trục đối xứng
5.1.3 Tiếp tuyến của (C ) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần lượt là A và
B tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M, ngoài
ra M là trung điểm đoạn AB 5.1.4 : Nếu đường thẳng y=kx+m (k 0) cắt đồ thị (C ) tại hai điểm A,B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB,MN có cùng trung điểm
Trang 4Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm hữu tỉ, ta quy ước chung là (C ) :
5.2.1 (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 5.2.2 : (C ) nhận đường phân giác của góc tạo bỏi hai đường tiệm cận làm trục đối xứng
5.2.2 Tiếp tuyến của (C ) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần lượt là A và
B tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M, ngoài
ra M là trung điểm đoạn AB 5.2.3 : Nếu đường thẳng y=kx+m (k 0) cắt đồ thị (C ) tại hai điểm A,B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB,MN có cùng trung điểm
VD4: Đồ thị nào sau đây không có tâm đối xứng
2
2 2 2
2
A.y ln( x 1 x) B.y tan 5x
C.16x 9y 144
x 1 D
x 1
Đáp án D
Đường thẳng y= -x+m luôn cắt đồ thị
2x 1 y
x 1 tại hai điểm P và Q Để độ dài đoạn PQ ngắn nhất, gía trị thích hợp cho m là:
Cho hàm số
2x 1
x 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất :
A.(1 3,2 3) B.(1 3, 3)
C.( 3 1, 3) D.(1 3, 3) VD33 Cho hàm số y x 1
x Các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai :
A Hàm số có hai tiệm cận một tiệm cận xiên , một tiệm cận đứng
B Hàm số có tâm đối xứng I 1,1
C Hàm số có hai cực trị
D
x 0
lim f x
Max, min : 1ct
Hàm số asin x bcosx c có nghiệm
2 2
c
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2sin x cos x 1 y
sinx 2cos x 3
Trang 5A max y2,min y 1
2 B max y2,min y1
2
C.max y2,min y 2 D max y2,min y 2 2
Trang 6CHƯƠNG II Hình không gian Oxyz: 5ct
Đơn vị kiến thức Công thức va bài tập
S tam giác biết tọa độ 3
ABC
1
2
1.1.2 Hình bình hành: SABCD AB,AD
Câu 1 Dữ kiện sau dùng cho câu 2,3 : Trong không gian Oxyz cho
A(4,2,6),B(10, 2,4),C(4, 4,0),D( 2,0,2) Câu 2 Tìm kết luận đúng
A ABCD là hình thoi
B A,B,C,D không đồng phẳng
C A,B,C,D là hình thang
D ABCD là hình bình hành Câu 3 Tính diện tích của tứ giác ABCD
A.SABCD 12 19(dvdt) C.SABCD 24 19(dvdt)
B SABCD 6 38(dvdt) D
ABCD
S 12 38(dvdt)
*Dữ kiện sau dùng cho câu 4,5 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm đồng phẳng
2, ,1 , , ,0 , 5, ,3 , , ,4
Câu 4 Tìm dạng của tứ giác ABCD
Câu 5 Tính diện tích của tứ giác ABCD
A S5 5(dvdt)
4 B S25 5(dvdt)
4
D.S5 5(dvdt)
Thể tích tứ diện biết
tọa độ 4 đỉnh, thể tích
hình hộp biết tọa độ 4
đinh
1.1.3 Tứ diện: ABCD
1
6
1.1.4 Hình hộp: VABCD.A ' B' C ' D' AB,AD AA'
Câu 6 Cho tứ diện ABCD có A(2,3,1),B(4,1, 2),C(6,3,7),D(1, 2,2)
Độ dài đường cao AH của tứ diện là:
D 4 2
Trang 7Câu 18 Tính thể tích hình lập phương biết hai mặt nằm trên là hai mặt phẳng :x 2y 2z 4 0; :x 2y 2z 5 0
A V 27(dvdt) B.V 8(dvdt) C.V 125(dvdt)
D.V 64(dvdt)
Khoảng cách giữa 2 đt
chéo nhau
1.1.5 AB và CD (chéo nhau):
AB,CD BD d(AB,CD)
AB,CD
Câu 19 Cho 4 điểm A(1,2,3),B( 1,0,2),C(0,1,7),D(2,0,5) Tính khoảng cách giữa AB và CD
A
D.3
Dữ kiện sau dùng cho câu 20,21,22: Cho hình lập phương
ABCD.A' B'C' D' với A(0,0,0),D(0,a,0),A'(0,0,a),a 0 Câu 20 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và DC’
A 0
90
D 0
45
CHƯƠNG III Số phức : 2ct
3.1 Công thức De-moivre dạng 1 :
(cos isin ).(cos isin ) cos( ) isin( )
Lựa chọn phương án đúng
A
B (z1+ z2 )2 là số thực
C z12 - z22 là số thuần ảo
D z12 + z22 là số thuần ảo
Trang 82 Cho các số phức:
n
k
3 Tìm kết luận đúng :
A
B z1.z2 = z3
C z1 + z2 = 0
D
3.1 : Tìm căn bậc n của số phức
của số phức z là với k0; n 1
Thao tác bấm máy :
Pol(a,b) Rec( X ,Y : n) ( Y : n tương ứng với k=0 )
Bài 2 Câu 34 (Tr.194-Q.16) Các căn bậc 2 của z=-5+12i là:
a.2-3i,-2+3i b.3-2i,-3+2i c.2+3i,-2-3i d.3+2i,-3-2i
Câu 42(Tr.195-Q.16) Nghiệm của phương trình 2
z 2z 3 0trong tập C là kết quả nào sau đây?
a.1 i 2hay1 i 2 b.i 2hay i 2
c 1 i 2hay1 i 2 d.phương trình vô nghiệm
CHƯƠNG IV Tích phân (4ct )
Dạng 1 : Dùng bất đẳng thức để ước lượng
*Phương pháp chung :
m f(x) M m dx f(x)dx M dx m(a b) f(x)dx M(a b)
Trang 91/ Tính tích phân 1 2
x 0
e xdx
A.1(e 1)
3 C 1(e 1)
5
Giải : Áp dụng bdt : x 3
4 2/ (79-tr120-q15) Gọi
1 46 0
x 1
x 1 thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A I=0 B I=1 C I=
3 Nhận xét : I 1
Dạng 2 : Lớp các tích phân đặc biệt
Tính chất 1 : Nếu f (x) liên tục và là hàm lẻ trên [ -a ; a ] thì
a
a
f(x)dx 0
3/ Tính tích phân
1 2
1 2
1 x
I cos x.ln dx
1 x
Nhận xét :
1 x f(x) cos x.ln
1 x
Liên tục trên
1 1
;
2 2
f(x)+ f(-x)=0
Trang 10(Bổ sung ) Cho tích phân
a
a
1 x
I cos x.ln dx
1 x Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn I=0
A 1 B 2 C 0 D Vô số
4/ Tính tích phân
I (tan x cot 2x)dx
(Bổ sung) Cho tích phân a
b
I (tan x cot 2x)dx Cặp giá trị của a,b thỏa mãn đẳng thức I=0
A a ,b B a 2 ,b C a3, b
2 2 D a, b
5/ Tính tích phân
1
6/ Tính tích phân
sin 2x
x 1
7/ ( 87- 122- 15 ): Nếu gọi
1 2
1 2
x 1
x 1 thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A I=0 B.I=1 C.I=2 D I=3
(bổ sung ) Nếu gọi
1 2
a
x 1
x 1 Tìm a để I=0
A a 0 B.a=1 C a= 2 D.a 1
2
Tính chất 2 : Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì
f(x)
I dx f(x)dx với m 0, a R
Trang 118/ Tính tích phân
1
2 x 1 2
x x
e 1
A 23
16
9/ Tính tích phân
1
1 x
1 2
A.2
3
Tính chất 3 : Cho f(x) liên tục và f(a+b-x) = -f(x) thì :
b a
I f(x)dx f(x)dx 0 (mở rộng tính chất 1 )
Trang 1210/ Tính tích phân
2 0
1 sin x
1 cos x
11/ Tính tích phân 4
0
I ln(1 tgx)dx
CHƯƠNG V Cấp số: 6 ct
5.1 Cấp số cộng
Nếu 2 2
7 a ,(3 a) và 2
(5 a) lập thành một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng này là :
Trang 13Số hạng đầu của một cấp số cộng là u ,1 công sai d2u1 Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng này bằng :
a) 200u1 b) 300u1 c) 350u1 d) Đáp án khác
Một cấp số cộng có u13 8 và d 3, số hạng thứ ba của cập số cộng này là :
Một cấp số nhân có u1 4 và q 2 thì tổng tám số hạng đầu tiên của cấp số nhân này bằng :
Một cấp số nhân có u1 3 và u5 48. Nếu các số hạng liền kề có dấu trái nhau thì công bội q và
số hạng thứ ba là bằng :
a) 2 và 12 b) -2 và -24 c) -2 và -12 d) 2 và 24
Tìm x để cosx,cos2x,cos3x theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân biết x (0,2 ) :
