Bài giảng xử lý ảnh số chương 5 xử lý ảnh trong miền tần số

 Biến đổi Fourier có ứng dụng thực tế nhiều hơn so với chuỗi Fourier  Chuỗi và biến đổi Fourier làm nền tảng cho miền...  Khái niệm lọc filtering dễ dàng biểu thị tần số cao, tần số t

XỬ LÝ ẢNH TRONG

MIỀN TẦN SỐ

2. Biến đổi Fourier rời rạc hai chiều

 Trình bày tóm tắt biến đổi Fourier 2 chiều (DFT2D) rời rạc

 Ứng dụng DFT2D vào các bài toán cơ bản trong xử

lý ảnh

Fourier giới thiệu vào 1805

 Hàm tuần hoàn có thể biểu diễn là tổng có trọng số

của các hàm sin và/hoặc cosin  chuỗi Fourier

 Hàm không tuần hoàn có thể biển diễn thành tích

của của sin và/hoặc cosin nhân với hàm trọng số 

biến đổi Fourier

 Biến đổi Fourier có ứng dụng thực tế nhiều hơn so với chuỗi Fourier

 Chuỗi và biến đổi Fourier làm nền tảng cho miền

 Dữ liệu ảnh không thể hiện hết các tính chất cần thiết để thực hiện các xử lý cơ bản

 Bản thân dữ liệu chứa sóng (bất kể số chiều) Nếu không thì không chứa thông tin

 Biểu diễn trong miền tần số (Fourier transform)

số một chiều

 Mở rộng DFT2D cho xử lý ảnh là xu hướng tự nhiên

 Khái niệm lọc (filtering) dễ dàng biểu thị (tần số cao, tần số thấp, etc) hơn trong miền tần số

 Dễ dàng remove những tần số không cần thiết

 Phép toán “chập” trong miền tần số đễ thực hiện hơn trong miền không gian (ảnh lớn  chập lâu Trong khi miền giá trị trong miền tần số là xác định

 Minh họa giảm nhiễu thông qua DFt2D

 FT thuận được định nghĩa bởi

 f(x,y): biểu diễn biên độ

 e -j2(.): biểu diễn pha

 FT nghịch được biểu diễn bởi

)) (

2 sin(

)) (

2 cos(

) (

j

 Cho f(m,n) là ảnh rời rạc kích thước MxN trong

không gian hai chiều

 DFT thuận được định nghĩa bởi

 DFT nghịch (IDFT) được định nghĩa bởi

) 1 ,

, 1 , 0 1

, , 1 , 0 (

) , (

1 )

, (

M u

e y x

f MN

v u F

M m

N n

N

vn M

um j







) , ( )

, (

x f

M u

N v

N

vy M

ux j







Phần thực Phần ảo

 Amplitude spectrum

 Phase spectrum

2 / 1 2

2

)]

, ( )

, ( [

) ,

(

),

(tan

),

v u R

v u

I v

u



) , ( )

, ( )

, ( u v R u v i I u v

 Tính dịch chuyển (shift)

)()

())

()

((c1g t c2h t c1G f c2H f

)()

(

ˆ)

()

f e

h x

x f x

 Tính tỉ lệ tuyến tính:

|

|

) /

( )]

(

[

c

c f

G ct

g

 Tính chập

) ( 2 ]

( )

(

 Hiển thị ảnh power spectrum của ảnh Input

để thực hiện DFT và iDFT

 Độ phức tạp O(NlogN) so với O(N 2 ) của DFT

 Có nhiều thuật giải FFT (Bruun, Rader, Bluestein), phổ biến nhất là thuật giải Cooley-Tukey

 Tham khảo: Tukey_FFT_algorithm

http://en.wikipedia.org/wiki/Cooley- Mọi tín hiệu không gian hoặc thời gian đều có biểu diễn tần số tương đương

 Tần số thể hiện điều gì trong ảnh?

 Tần số cao ứng với các pixel có thay đổi đột ngột

trên ảnh (vd: chữ, vân, cạnh, etc.)

nhiều so với xử lý trong miền không gian

 Các bước chính:

T(u, v) với hàm lọc H(u,v)

1. Nhân ảnh đầu vào với (-1)x+y chuyển vào tâm

phép biến đổi Nghĩa là F(0, 0) cho vị trí u=M/2, v=N/2;

2. Thực hiện DFT F(u,v) cho ảnh ở bước 1

3. Nhân F(u,v) với lọc G(u,v)

4. Tính biến đổi DFT ngược h*(x,y)

5. Lấy phần thực của h(x,y) của bước 4

6. Nhân kết quả với (-1)x+y

Chú ý: lọc trong miền tần số không sử dụng nhân

chập và toán tử chập

Sử dụng các bộ lọc thông thấp như:

 Bộ lọc thông thấp lý tưởng (Ideal Low Pass Filter)

 Bộ lọc thông thấp Butterworth (Butterworth Lowpass Filters)

 Bộ lọc thông thấp Gaussian (Gaussian Lowpass Filters)

 Loại bỏ tất cả các thành phần tần số cao (power

spectrum) trong phạm vi bán kính D 0 tính từ gốc của ảnh đã biến đổi

, ( if

0

) , ( if

1 )

,

(

D v

u D

D v

u

D v

u H

2 / 1 2 2

] ) 2 / (

) 2 / [(

) ,

 Ảnh trên thể hiện phổ Fourier và các ideal low pass filters có bán kính 5, 15, 30, 80 và 230 chồng lên ảnh

đã biến đổi

Các ảnh và ví dụ lọc tần số cao/thấp lấy từ nguồn: Gonzalez &

Woods, Digital Image Processing (2002)

 Hàm biến đổi Butterworth low-pass filter bậc n nhằm loại bỏ tần số cao trong bán kính D 0 tính từ tâm ảnh đã biến đổi được xác định bởi:

n

D v

u D

v u

0] /

) , ( [

1

1 )

,

(





filter bậc 2 bán kính 5

Lọc với Butterworth filter bậc 2 bán kính 30 Lọc với Butterworth

filter bậc 2 bán kính 15

 Hàm biến đổi Gaussian low-pass filter được xác định bởi:

2 0

2

2 / ) , (

) ,

Ảnh gốc filter bán kính 5

Lọc với Gaussian

filter bán kính 15 Lọc với Gaussian

filter bán kính 30

Lọc ideal low pass

filter bán kính 15

Lọc Butterworth filter bậc 2 bán kính 15

Lọc Gaussian filter bán kính 15

filter

 Xét nhân Gaussian và ảnh đầu vào

1. Nhân ảnh với (-1) x+y

4 1

4 16 24

16 4

6 24 36

24 6

4 16 24

16 4

1 4 6

4 1

256 1

3. Nhân F(u, v) với bộ lọc Gaussian G(u, v)

4. Tính biến đổi inverse DFT h*(x,y)

5. Lấy phần thực của h(x,y) của bước 4

6. Nhân kết quả với (-1) x+y

nhằm giữ lại các tần số cao, và loại tần số thấp

 High pass filter là đảo ngược của low pass filter: nghĩa là

H hp (u, v) = 1 – H lp (u, v)

Các bộ lọc thông cao như:

 Bộ lọc thông cao lý tưởng (ideal high-pass filter)

 Bộ lọc thông cao Butterworth (Butterworth pass filter)

high-Hàm biến đổi cho ideal high pass filter được xác định bởi:

với D(u,v) được xác định bởi:

1

) , ( if

0 )

,

(

D v

u D

D v

u

D v

u H

2 / 1 2 2

] ) 2 / (

) 2 / [(

) ,

 Hàm biến đổi Butterworth low-pass filter bậc n

nhằm loại bỏ tần số thấp trong bán kính D 0 tính từ tâm ảnh đã biến đổi được xác định bởi:

n

v u D D

v u

[ 1

1 )

,

(





Butterworth

high pass

bậc 2,D 0 = 15

Butterworth high pass

bậc 2,D 0 = 80

 Hàm biến đổi Gaussian low-pass filter được xác định bởi

2 0

2

2 / ) , (1

) ,

high pass với

D 0 = 15

high pass với

D 0 = 80

Lọc ideal high pass Lọc Butterworth high Lọc Gaussian high pass

FFT của ảnh High-pass

FFT image

for i = 1:2*nx-1

for j =1:2*ny-1

dist = ((i-(nx+1))^2 + (j-(ny+1))^2)^.5;

% Use Butterworth high pass filter

% Update image with high frequencies

fil_micro = fftu + filter.*fftu;

http://public.cranfield.ac.uk/c5354/teaching/dip/opencv/lecture_demos/c++/butterworth_lowpass.cpp

 Spatial-domain Laplacian (đạo hàm bậc hai)

 Fourier transform

2

2 2

2 2

y

f x

f f

(

)

(

u F

ju x

),()

()

,()

(

),()

,(

2 2

2 2

2

2 2

2

v u F v

u

v u F jv

v u F

ju y

y x f x

y x f

2 2

2 2

y

f x

f f

0

frequency

 Xử lý ảnh trong miền tần số có nhiều thuận lợi so với

xử lý trong miền không gian Tần số cao ứng với các chi tiết mịn, tần số thấp ứng với các thành phần thô

 Lọc trong miền tần số đơn giản là nhân F(u,v) của ảnh với biến đổi lọc G(u,v)

 Các bộ lọc thông thấp và thông cao: ideal, Butterwort, Gaussian

 Laplacian trong miền tần số có dạng đơn giản

H(u,v) = -(u 2 +v 2 )

hiện các lọc trong miền tần số Hướng dẫn: tham

khảo liên kết trong slide 54 và các mã nguồn MATLAB

2. So sánh kết quả lọc trong miền tần số và lọc trong

miền không gian