Phương trình bậc hai và một số cách giải

Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

Phương trình bậc hai và một số cách giải

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

, với và là các số thực thoả mãn Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu

Số nghiệm của phương trình bậc hai

Đặt Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi , có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi và có nghiệm khi và chỉ khi Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của sau đó mới tính trong trường hợp hệ số này khác

Bài 1.1 Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Bài 1.2 Chứng minh rằng phương trình

vô nghiệm với và là độ dài ba cạnh của một tamgiác

Bài 1.3 Chứng minh rằng với mỗi một trong ba phương trình sau phải có

Bài 1.4 Cho là các số thực không đồng thời bằng Chứng minh rằng phương

Bài 1.11 Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai

và có các hệ số thoả mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm

Giải phương trình bậc hai có tham số

Đừng có tính của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của có thể bằng

Bài 2.1 Giải và biện luận phương trình

Bài 2.2 Giải và biện luận phương trình

Bài 2.3 Giải và biện luận phương trình

Phải xét trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện

Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ

Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1 Giải các phương trình

Bài 3.4 Giải các phương trình

trình có

a) nghiệm phân biệt

b) nghiệm phân biệt

c) nghiệm phân biệt

Nếu thì phương trình có các nghiệm

Bài 4.1.1 Giải các phương trình

Bài 4.1.2 Giải các phương trình

Bài 4.2.1 Tìm giá trị của để phương trình sau có nghiệm cùng dấu Khi đó hai

nghiệm mang dấu gì?

a)Một nghiệm;

b)Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c)Hai nghiệm âm phân biệt

a)Hai nghiệm cùng dấu;

b)Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Đúng một nghiệm dương

nghiệm không dương

Bài 4.2.5 Tìm để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm

Bài 4.2.6 Cho biểu thức

Tìm để có thoả mãn

Bài 4.2.7 Tìm để có sao

cho

Bài 4.2.8 Tìm để có sao cho

Tính giá trị của một biểu thức đối xứng của các nghiệm

Để tính giá trị của biểu thức với đối xứng, ta chuyển về biểu thức

Bài 4.3.1 Gọi là các nghiệm của phương trình

phương trình bậc hai có hai nghiệm là

Bài 4.3.2 Không giải phương trình hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm

lớn và nhỏ của phương trình bậc hai

Bài 4.3.3 Giả sử là nghiệm của phương trình và là nghiệm của phương trình Tính giá trị của biểu

Bài 4.3.4 Gỉa sử là các nghiệm của phương trình

Tính theo và tìm một đa thức bậc có hệ số nguyên

Bài 4.3.6 Cho các phương trình và Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba Chứng minh rằng

Bài 4.3.7 Gỉa sử phương trình có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng là một hợp số

nghiệm của phương trình, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

nghiệm của phương trình Chứng minh rằng

Dãy

Nhớ là ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp của dãy trên

Bài 4.4.1 Cho là các nghiệm của phương trình với là một số nguyên Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , số là một số nguyên không chia hết cho

Bài 4.4.2 Chứng minh rằng nếu các số thực thoả mãn

và là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 4.4.5 Tìm số dư khi chia cho

Bài 4.4.6 Gọi là các nghiệm của phương trình Kí

hiệu với là số nguyên dương

b)Tìm một hệ thức liên hệ với là số nguyên dương bất kì Từ đây

c)Chứng minh rằng là số nguyên dương với mỗi nguyên dương;

d)Tìm số dư khi chia cho

Bài 4.4.7 Cho và

b)Đặt Chứng minh rằng là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là ;

c)Tìm chữ số hàng đơn vị của

Bài 4.4.8 Tìm chữ số cuối cùng của

Tìm hai số biết tổng và tích

Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng

a)Tổng bằng , tích bằng ;

b)Tổng bằng , tích bằng

Hệ phương trình đối xứng kiểu 1

Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng với và là các biểu thức đối xứng của và Để giải hệ này ta dùng phép đặt và

Bài 4.6.1 Giải các hệ phương trình

Nếu đối xứng thì ta chuyển về , nếu trái lại ta có hai cách để làm Chuyển

phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp đối xứng Cả hai cách làm đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình

Bài 4.7.1 Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả

mãn

Bài 4.7.2 Xác định để các nghiệm của phương trình

Bài 4.7.3 Tìm để phương trình có hai

Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Bài 4.8.1 Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm là

Bài 4.8.2 Gọi là các nghiệm của phương trình Hãy lập

phương trình bậc hai có các nghiệm là và

Bài 4.8.5 Tìm các số sao cho phương trình có nghiệm

phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc

Nghiệm của hai phương trình bậc hai

Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phươngtrình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),…

Bài 5.1 Tìm các số thực sao cho và hai phương trình bậc

Bài 5.6 Xác định để phương trình có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình

a)Tìm để hai phương trình có nghiệm chung

b)Tìm để hai phương trình tương đương

Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung

Bài 5.10 Cho hai phương trình và Tìm để hai phương trình có nghiệm chung và bé nhất.

Phương trình bậc hai trên

Điều kiện cần để phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ là của nó phải là một bình phương đúng

Bài 6.1 Tìm tất cả các số nguyên để phương trình

có nghiệm nguyên

Bài 6.2 Với giá trị nguyên nào của thì phương trình

có các nghiệm là các số hữu tỷ

Bài 6.3 Gỉa sử là số nguyên tố Chứng minh rằng phương

trình không thể có nghiệm hữu tỷ

Lời giải Dùng phương pháp hiệu bình phương của Fermat.

Bài 6.4 Chứng minh rằng nếu và phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên

Bài 6.5 Chứng minh rằng nếu là các số nguyên lẻ thì phương

trình không thể có nghiệm hữu tỷ

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng và Parabol

Cho đường thẳng có phương trình và parabol có phương trình Khi đó số giao điểm của và đúng bằng số nghiệm khác nhau của phương trình , và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm của phương trình này

a)Xác định toạ độ các giao điểm của và ;

b)Tìm thuộc cung của để diện tích tam giác lớn nhất

xúc với Tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 7.3 Cho Tìm để tiếp tuyến tại của song song với

Bài 7.6 Cho Tìm để cắt theo một dây cung có

độ dài bé nhất

b)Xác định nếu đường thẳng tiếp xúc với tại song song với

để cắt tại hai điểm phân biệt , khi đó tìm toạ độ trung điểm của

Bài 7.9 Chứng minh rằng với mỗi , đường thẳng cắt

tại hai điểm phân biệt Gọi hai điểm nói trên là , tìm để diện tích của tam giác bằng

Bài 7.10 Tìm để tiếp xúc với tại điểm có hoành độbằng