ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN h-FEM, p-FEM CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG A REFINED FINITE ELEMENT METHOD h-FEM, p-FEM APPLIED TO FREE VIBRATION ANALYSIS OF STRUSS
Trang 1ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (h-FEM, p-FEM) CHO
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG
A REFINED FINITE ELEMENT METHOD (h-FEM, p-FEM) APPLIED TO FREE
VIBRATION ANALYSIS OF STRUSS STRUCTURES
Đỗ Văn Hiến
Khoa Cơ khí Chế tạo máy, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM
hiendv@hcmute.edu.vn
TÓM T ẮT
Trong bài báo này, hai phiên bản làm mịn h-FEM và p-FEM sẽ được áp dụng trong
phân tích dao động cho bài toán dàn phẳng Khác với phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn,
mỗi phần tử thanh sẽ có nhiều hơn hai nút và các nút này sẽ được chọn làm nút làm giàu Độ chính xác và hiệu quả của phương pháp sẽ được so sánh với các kết quả đã được công bố trong các công trình nghiên cứu trước đó (so sánh với phương pháp CEM và GFEM) qua các
ví dụ số Kết quả nghiên cứu này cũng chỉ ra rằng p-FEM cho kết quả hội tụ tốt hơn h-FEM
Từ khóa: dàn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử composite, dao
động tự do
ABSTRACT
In this paper, an application of h-version and p-version Finite Element Method (FEM)
to free vibration analysis of plane trusses is presented The h-FEM and p-FEM are developed
by enriching the standard Finite Element Method The frequencies obtained by this method
convege with previous publishes such as CEM and GFEM This research shows that p-FEM gives a better result than h-FEM
Keywords: Truss, FEM, p-FEM, h-FEM,CEM, GFEM, adaptive GFEM, free vbiration
1 GI ỚI THIỆU
Kết cấu kỹ thuật ngày càng cao hơn, mảnh hơn, nhẹ hơn và rẻ hơn Máy móc, xe hơi và máy bay được chế tạo với vật liệu nhẹ hơn và đáp ứng yêu cầu kỹ thuật cao hơn Ảnh hưởng động học ngày càng được chú ý và, trong hầu hết các trường hợp, phân tích dao động của kết
cấu rất cần thiết Có một vài phương pháp phân tích dao động có thể được tìm thấy trong các công trình nghiên cứu trước đó Phương pháp đầu tiên kể đến là phương pháp giải tích, với phương pháp này chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản [1] Tuy nhiên, với các kết cấu
phức tạp, phương pháp này không giải quyết được Để giải quyết các bài toán này, các nhà nghiên cứu dùng các phương pháp số khác nhau để giải quyết Trong thực tế, đa số các bài toán kỹ thuật được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn [2] Một số nhà nghiên cứu đã sử
dụng các phương pháp số khác nhau để nâng cao kết quả phân tích dao động cho kết dàn như: phương pháp phần tử kết hợp (CEM – Composite Element Method) [3-4], phương pháp thích nghi suy rộng phần tử hữu hạn (adaptive GFEM – adaptive Generalized Finite Element Method) [5] CEM được đề xuất bởi Zeng, phương pháp này là sự kết hợp linh hoạt giữa phương pháp phần tử hữu hạn với độ chính xác cao của lời giải lý thuyết Nghĩa là, lời giải
giải tích từ lý thuyết sẽ được thêm vào hàm dạng của FEM GFEM được đề xuất bởi Babuska
và đồng nghiệp [6-7], sử dụng hàm cơ sở PUM (Partion of Unity Method) bảo đảm chính xác
xấp xỉ giữa địa phương và toàn cục
Trang 2Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày cơ sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn sử
dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM và p-FEM cho bài toán dàn phẳng Tính hiệu quả và
độ hội tụ của cách tiếp cận này sẽ được kiểm chứng qua các ví dụ số
Bài báo này gồm các phần sau: Phần 2 trình bày về cơ sở lý thuyết và xây dựng công
thức dao động cho bài toán dàn phẳng Một số ứng dụng sẽ được giới thiệu trong phần 3 Cuối cùng, chúng tôi kết thúc bài báo với phần kết luận
2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN DÀN
Xét phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục Theo tư tưởng chủ đạo của phương pháp
phần tử hữu hạn (PPPTHH), hàm chuyển vị u e của phần tử sẽ được nội suy qua véctơ chuyển
vị nút { }qe
( ) ( )
e
Hay
1 ( ) ( )
n
i
=
Ở đây, N x i( ) là các hàm dạng bậc n-1; u i là chuyển vị dọc trục của nút thứ i thuộc phần tử và nó là bậc tự do q i của véctơ chuyển vị nút phần tử{ }qe
Đối với h-FEM, tác giả sử dụng hàm nội suy tuyến tính Còn p-FEM tác giả sử dụng
hàm nội suy bậc hai và ba trong phân tích dao động của dàn Đối với PPPTHH chuẩn, bài toán dàn mỗi phần tử có 2 nút và số bậc tự do cho mỗi nút 2 (bài toán dàn phẳng) và 3 (cho
bài toán dàn không gian) Khi áp dụng h-FEM và p-FEM thì mỗi phần tử thanh có nhiều hơn
2 nút và số bậc tự do mỗi nút cũng khác nhau Cụ thể, đối với bài toán dàn phẳng các nút biên
ở mỗi phần tử hình 1 sẽ có 2 bậc tự do (các nút q 1 và q 2), các nút bên trong chỉ có một bậc tự
do (các nút c 1 , c 2 , ), Do đó, theo cách tiếp cận này cần phải thay đổi vị trí các nút trên phần
tử và ma trận xoay
Hình 1: Các nút trong phần tử thanh
Tương tự như PPPTHH chuẩn, chúng ta cũng xây dựng ma trận độ cứng phần tử k và e
ma trận khối lượng m e
T e V
dV
=∫
T e
V
dV
ρ
=∫
Xây dựng ma trận chuyển cho phần tử dựa vào mối quan hệ giữa véctơ chuyển vị phần
tử địa phương và toàn cục
e
Ở đây, ue =[q c c1 1 2q2]Tvà ug = u v u v c c i i j j 1 2Tlà các véctơ chuyển vị của phần tử trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục
Trang 3Tương tự, ma trận độ cứng và khối lượng
Đối với trường hợp phẳng, ma trận xoay e
T được xây dựng như sau:
0
ij ij
e
ij ij
l m
l m
T
(8)
Hình 2 : Tọa độ phần tử dàn trong trường hợp 2D
Ở đây, l ij, m ij là các cosin chỉ phương của trục phần tử trong hệ tọa độ tổng và L là chiều dài của phần tử ij được tính bởi ( ) (2 )2
L= x −x + y − y
3 VÍ D Ụ SỐ
3.1 Dao động tự do của dàn phẳng gồm bảy thanh
Dao động tự do của dàn phẳng tạo thành từ bảy thanh sẽ được phân tích để minh họa
cho ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn dùng 2 phương pháp làm mịn h và p Bài
toán này đã được đề xuất đầu tiên bởi Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp (CEM) Thông số hình học và điều kiện biên của bài toán được trình bày như Hình 2 Tất cả
các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 và
mô đun đàn hồi của vật liệu E = 2.1 × 10 11 Nm-2
Hình 3 : Dàn phẳng gồm bảy thanh
Trang 4Sử dụng bảy phần tử thanh C0cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình học của dàn Tần số dao động tự do thu được sau khi phân tích được trình bày trong bảng 1
Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng, cả hai cách tiếp cận h-FEM và p-FEM hội tụ với lời giải
được giải bằng CEM và GFEM
Bảng 1: Tần số dao động tự do của dàn gồm bảy thanh
Mode
FEM
(ndof=6)
ω (rad/s)
CEM[3,8]
(ndof=13)
ω (rad/s)
GFEM[5,8]
(ndof=41)
ω (rad/s)
h-FEM
(ndof=20)
ω (rad/s)
h-FEM
(ndof=69)
ω (rad/s)
p-FEM
(ndof=13)
ω (rad/s)
p-FEM
(ndof=20)
ω (rad/s)
ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên
Các dạng mode của mô hình dàn gồm bảy thanh như hình 4 Ở các mode thấp thì PPPTHH chuẩn và p-FEM tương đối giống nhau, khác so với h-FEM Ở các mode cao hơn thì
sự khác nhau về dạng mode của FEM, h-FEM và p-FEM là rõ ràng
Hình 4: Các dạng mode 3.2 Dàn phẳng gồm 15 thanh
Dao động tự do của dàn phẳng tạo thành từ 15 thanh sẽ được phân tích để minh họa cho
ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn dùng 2 phương pháp làm mịn h và p Bài toán
này đã được đề xuất đầu tiên bởi Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp (CEM) Thông số hình học và điều kiện biên của bài toán được trình bày như Hình 5 Tất cả
các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 và
mô đun đàn hồi của vật liệu E = 2.1 × 10 11 Nm-2
Hình 5: Dàn phẳng gồm 15 thanh
Trang 5Sử dụng 15 phần tử thanh C0cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình học của dàn Tần số dao động tự do thu được sau khi phân tích được trình bày trong bảng
Bảng 2: Tần số dao động tự do của dàn gồm 15 thanh
Mode
FEM
(ndof=14)
ω (rad/s)
CEM[5]
(ndof=104)
ω (rad/s)
Adap GFEM[5]
(ndof=74)
ω (rad/s)
h-FEM
(ndof=44)
ω (rad/s)
h-FEM
(ndof=119)
ω (rad/s)
p-FEM
(ndof=29)
ω (rad/s)
p-FEM
(ndof=44)
ω (rad/s)
ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên
Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích dao động của dàn có thể được cải thiện bằng
cách áp dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM và p-FEM Kết quả phân tích cũng chỉ ra
rằng, cả hai cách tiếp cận này hội tụ với lời giải được giải bằng CEM và GFEM
Tương tự như ví dụ 1, các dạng mode của cũng tương tự giống nhau ở các mode thấp FEM, p-FEM và khác với h-FEM Ở các mode cao hơn thì sự khác biệt rõ ràng
Hình 6 : Các dạng mode KẾT LUẬN
Phân tích dao động tự do của dàn phẳng dùng h-FEM và p-FEM đã được trình bày trong
bài báo này Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng hai cách tiếp cận trên hội tụ so với các
Trang 6phương pháp CEM và GFEM đồng thời p-FEM cho lời giải chính xác hơn h-FEM, CEM và
GFEM do chi phí tính toán lớn hơn Do vậy có thể áp dụng p-FEM cho phân tích dao động tự
do của các kết cấu dàn phức tạp trong thực tế
REFERENCES
Book:
[1] D.J Inman, Engineering Vibration, Prentice-Hall, New Jersey, 1996
[2] K Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, New Jersey, 1996
Journal/Proceeding article:
[3] P Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part I: principle and C0 element (bar), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol 218 (4), p 619–658
[4] P Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part II:C1
element (beam), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol 218 (4), p 659–696
[5] M Arndt, R.D Machado, An adaptive generalized finite element method applied to free
vibration analysis of straight bars and trusses, Journal of Sound Vibration, 2010, Vol.329,
p 659–672
[6] J.M Melenk, I Babuska, The partition of unity finite element method: basic theory and
applications, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996, Vol 139,
p 289–314
[7] C.A Duarte, I Babuska, J.T Oden, Generalized finite element methods for
three-dimensional structural mechanics problems,Computers and Structures, 2000, Vol 77, p
215–232
Report from a university:
[8] Marcos Arndt, O Método Dos Elementos Finitos Generalizados Aplicado à Análise De Vibrações Livres De Estruturas Reticuladas, Curitiba, 2009
AUTHOR’S INFORMATION
Đỗ Văn Hiến Khoa Cơ khí Chế tạo máy, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM
Email: hiendv@hcmute.edu.vn Phone number: 0937572020
