PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM kép TRONG tối ưu bộ tắt CHẤN ĐỘNG lực CON QUAY để GIẢM DAO ĐỘNG của CABIN cáp TREO

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM KÉP TRONG TỐI ƯU BỘ TẮT CHẤN ĐỘNG LỰC CON QUAY ĐỂ GIẢM DAO ĐỘNG CỦA CABIN CÁP TREO DOUBLE ROOT METHOD TO OPTIMIZE THE GYROSCOPIC DYNAMIC VIBRATION ABSORBER TO SUPPRES

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM KÉP TRONG TỐI ƯU BỘ TẮT CHẤN ĐỘNG LỰC CON QUAY ĐỂ GIẢM DAO ĐỘNG CỦA CABIN CÁP TREO

DOUBLE ROOT METHOD TO OPTIMIZE THE GYROSCOPIC DYNAMIC VIBRATION ABSORBER TO SUPPRESS VIBRATION OF CABIN CABLE CAR

TS Lã Đức Việt

Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

laviet80@yahoo.com

TÓM TẮT

Bộ tắt chấn động lực (DVA) dạng con quay là một loại thiết bị có thể được sử dụng để giảm dao động của các cabin cáp treo do ảnh hưởng của gió Khi cabin (được mô tả bằng con lắc) dao động, dưới ảnh hưởng của lực con quay, khung con quay sẽ bị dao động kéo theo và

sự tiêu tán năng lượng của dao động kéo theo này sẽ giúp giảm dao động của con lắc Bài báo này giới thiệu cơ sở của việc tính toán tối ưu bộ DVA dạng con quay dựa trên phương pháp nghiệm kép Các tính toán số được thực hiện để minh họa cho phương pháp

Từ khóa: cabin cáp treo, kiểm soát dao động, bộ tắt chấn động lực

ABSTRACT

Gyroscopic dynamic vibration absorber is a type of device can be used to suppress wind induced vibration of a cabin cable car While the cabin (described by a pendulum) vibrates, under the influence of gyroscopic force, the gimbal also vibrates and the energy dissipation of this vibration can suppress the pendulum’s vibration This paper introduces the fundamentals

of the optimization of gyroscopic DVA based on the double root method The numerical

calculations are conducted to demonstrate the method

Keywords: cabin cable car, vibration control, dynamic vibration absorber

1 GIỚI THIỆU

Bộ hấp thụ động lực (Dynamic vibration absorber: DVA) bao gồm khối lượng, lò xo và

bộ cản được sử dụng rộng rãi để giảm dao động Các hệ thống dạng con lắc (với một khối rắn

và một điểm treo) có thể được sử dụng để mô tả một số kết cấu nổi như tàu, dàn khoan hoặc cần cẩu hoặc cabin cáp treo Dao động do gió tác động tới cabin cáp treo ảnh hưởng tới khả năng sử dụng, vận hành của ca bin Bộ hấp thụ động lực lắp vào kết cấu con lắc làm nảy sinh những hiện tượng gây ngạc nhiên và thú vị Những hiện tượng này không gặp trong các hệ thông thường Ví dụ bộ DVA được lắp tại vị trí dao động mạnh nhất (khối tâm của con lắc) thì lại có hiệu quả tồi nhất [1-4] Trong khi không dễ dàng sử dụng bộ DVA thông thường thì

sự lắc lư của con lắc lại cho phép sử dụng bộ DVA dạng con quay (Hình 1) [5] Bài báo trình bày một phương pháp gọi là Phương pháp nghiệm kép để tối ưu hóa các thông số của DVA con quay

Hình 1 Mô hình DVA con quay và ảnh chụp DVA con quay thí nghiệm [5]

2 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO

Để viết phương trình dao động, hình 2 cho thấy một số ký hiệu được sử dụng và bảng 1 giải thích ý nghĩa vật lý của chúng

Hình 2 Các ký hiệu được sử dụng để mô hình hóa hệ thống

Bảng 1 Mô tả các ký hiệu trên hình 2

Ký hiệu Mô tả

m,θ Khối lượng tập trung và góc xoay của con lắc

l Chiều dài giữa khối tâm và điểm treo

g Gia tốc trọng trường

m d Khối lượng của DVA

l d Khoảng cách giữa điểm treo và DVA trong trạng thái tĩnh

θg Góc xoay của khung con quay

k g , cg Hệ số lò xo xoắn và cản xoắn của khung con quay (không được thể hiện trên Hình 2)

Ω Vận tốc góc của rôto

I G , I R Mômen quán tính của khung và của rôto

θ Góc dao động ban đầu

y

x

θ

l d

G

m d

θg

Ω

rô to khung

Xét hệ tọa độ như trên hình 2, các vị trí của khối lượng con lắc (x, y) và của khối lượng DVA (x d , y d) có dạng

cos , sin , d d cos , d dsin

x=l θ y=l θ x =l θ y =l θ (1) Chọn dạng 3-2-1 của các góc Euler để biểu thị vectơ vận tốc góc của DVA dạng con quay Ba góc quay cơ sở được xác định theo thứ tự sau: (1) θ quanh trục Z, tạo ra hệ tọa độ X’Y’Z’; (2) θg quanh trục Y’, tạo ra hệ tọa độ X”Y”Z”; (3) Ωt quanh trục X”, tạo ra vị trí

cuối cùng của DVA con quay Vectơ vận tốc góc ω của rôto được biểu thị dạng động học ngược như sau [6]

sin g gcos t cos gsin t gsin t cos gcos t T

Động năng T, thế năng V và hàm tiêu tán năng lượng F có dạng:

1

T

T + diag I I I V mg l x θ m gl F θ

Phương trình Lagrange có dạng:

(T V) (T V) 0, ( , g)

q

dt∂ q− −∂ q− +∂q = =θ θ

Sử dụng (1), (2) và (3) vào (4) dẫn tới

2

sin cos

sin cos cos 0

ml m l I I



(5)

Với điều kiện ban đầu

( )0 0

Để tiện phân tích hơn, ta tiếp tục biến đổi các phương trình về dạng phi thứ nguyên Để làm được điều đó, xét các ký hiệu trên bảng 2

Bảng 2 Các ký hiệu được sử dụng để viết phương trình vi phân phi thứ nguyên

Ký hiệu Mô tả

ω = Tần số riêng của con lắc

s t

τ ω= Thời gian phi thứ nguyên với tỷ lệ ωs-1

d

m m

µ = Tỷ số khối lượng của DVA

d

l l

γ = Hệ số vị trí phi thứ nguyên

2

/ /

α = ω Bình phương của tỷ số tần số riêng của DVA

(2 )

ζ = ω Tỷ số cản của DVA

s

β = Ω ω Dạng phi thứ nguyên của vận tốc góc của rôto

,

γ = γ = Dạng phi thứ nguyên của các mômen quán tính

Dạng phi thứ nguyên của (5) là:

2

2

µγ γ θ γ θ θ γ γ θ θ θ µγ θ βγ θ θ

θ



trong đó dấu chấm ký hiệu đạo hàm theo thời gian phi thứ nguyên τ Phương trình phi tuyến này được sử dụng trong mô phỏng số

3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM KÉP

Phương pháp này tìm các tham số của DVA để tăng các đặc trưng cản của hệ Trước hết, phương trình (7) được tuyến tính hóa (sau khi giữ lại các thành phần bậc nhất) có dạng:

r

g

µγ γ θ µγ θ βγ θ

γ

θ ζ θ α θ βθ

γ

Xét nghiệm của phương trình có dạng

eλτ eλτ

Trong đó ˆ ˆθ θ là các biên độ phức Thay (9) vào (8) có: , g

2

r

g

λ µγ γ µγ θ λβγ θ

γ

λ λζ α θ λ βθ

γ

hay dưới dạng ma trận:

2

0

2

r

g

θ γ

γ

 

=

 

   

(10)

Để phương trình (10) có nghiệm không tầm thường thì:

( )

2

2

r

g

P λ λ aλ a λ a λ a

γ

γ

(11)

Trong đó ai (i=1, 4) là các hệ số thực Trong trường hợp thông thường, phương trình (11) có hai cặp nghiệm phức liên hợp Theo phương pháp nghiệm kép [3], hệ sẽ đạt độ ổn định lớn nhất nếu hai cặp nghiệm phức liên hợp này trùng nhau, tức là ta có

( ) ( ( )2 )2

2

Trong đó δ0 là phần thực và δ1 là phần ảo của cặp nghiệm phức kép liên hợp mà ta ký hiệu là λ1,2 = δ0 ± iδ1 và λ3,4 = δ0 ± iδ1 Trong trường hợp nghiệm kép thì tỷ số cản chung của

cả hệ được tính theo công thức:

0 0

Re

( 1, 4)

i i

i

ζ

Khai triển (12) và so sánh với (11), cân bằng các hệ số của phương trình bậc 4 sẽ dẫn tới

4 phương trình với 4 ẩn là δ0, δ1, αg và ζg Nghiệm của αg và ζgcủa hệ 4 phương trình này là

tỷ số tần số tối ưu và tỷ số cản tối ưu Bỏ qua các tính toán chi tiết ta thu được nghiệm có dạng giải tích như sau:

*

2

1 1

g

g

µγ α

µγ γ

+

=

*

2

1

r g

β γ ζ

γ µγ γ

=

và tỷ số cản chung của cả hệ trong trường hợp tối ưu

r g

γ µ

ζ β

γ µγ

=

Hai công thức (14) và (15) xác định lò xo và bộ cản tối ưu cho khung của con quay còn công thức (16) thể hiện hiệu quả của bộ DVA Vì các tỷ số µ và γg thường nhỏ so với 1 nên biểu thức tối ưu (14) cho thấy tỷ số tần số tối ưu *

g

α xấp xỉ bằng 1 Điều đó hàm nghĩa là tần

số riêng của DVA cần chỉnh đến gần tần số riêng của con lắc Ngoài ra ta thấy trong (16), tỷ

số cản chung của cả hệ tăng theo giá trị tuyệt đối của tốc độ phi thứ nguyên β, tức là nếu rôto càng quay nhanh thì DVA càng hiệu quả

4 MÔ PHỎNG SỐ

Bộ DVA sau được xem xét như là một ví dụ minh họa: µ = 5%, γ = 1.2 Rôto được giả

sử là một đĩa đồng chất với bán kính bằng 1/10 chiều dài con lắc Do đó, các tham số phi thứ nguyên γr và γg(trong bảng 2) sẽ được tính dạng:

2

1

2 10

r

µ

γ =    ,

2

r g

γ

γ =

Góc ban đầu θ0được xét bằng 20o Tốc độ quay phi thứ nguyên của rôto được thay đổi trong hai trường hợp trên bảng 3 để khảo sát So sánh dao động theo thời gian của góc dao động của con lắc được cho trên hình 3 Các giá trị lớn nhất được so sánh trên bảng 4

Kết quả mô phỏng cho thấy DVA có hiệu quả giảm dao động và khi tốc độ quay của rôto càng tăng thì hiệu quả giảm dao động càng tốt Điều này phù hợp với công thức (16) khi

tỷ số cản chung của hệ tỷ lệ thuận với tốc độ quay phi thứ nguyên β

Bảng 3 Các trường hợp mô phỏng

Trường hợp 1 Không có DVA Trường hợp 2 Có DVA, β=20 Trường hợp 3 Có DVA, β=40

Bảng 4 So sánh các giá trị cực đại

Trường hợp 1 Trường hợp 2 Trường hợp 3 Giá trị cực đại của θ sau 10 chu kỳ 20 12.16 6.17

-20 20

Hình 3 So sánh dao động trong các trường hợp

5 KẾT LUẬN

Bài báo này trình bày phương pháp nghiệm kép áp dụng để tìm lời giải giải tích cho các tham số tối ưu của lò xo và bộ cản của DVA dạng con quay áp dụng giảm dao động cho cabin cáp treo Lời giải đó thể hiện đặc tính của DVA con quay là tần số dao động riêng cần được chỉnh gần với tần số con lắc và hiệu quả của DVA tỷ lệ thuận với tốc độ quay Các tính toán

số được thực hiện để kiểm nghiệm các kết luận mà lời giải giải tích đưa ra

LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ quốc gia

(NAFOSTED) trong đề tài mã số “107.01-2013.18”

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H Matsuhisa and M Yasuda, Location effect of dynamic absorbers on rolling structures, Proc of Asia-Pacific Vibration Conference, Gold Coast, Australia, pp.439-444, (2003) [2] L.D Viet, N.D Anh and H Matsuhisa, Vibration control of a pendulum structure by dynamic vibration absorber moving in both normal and tangential directions, Proceedings

of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 225, 1087-1095, (2011)

[3] L.D.Viet, Sequential design of two orthogonal dynamic vibration absorbers in a pendulum based on stability maximization, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, vol 226, no 11,

2645-2655, (2012)

[4] H Janocha (Ed.), Adaptronics and Smart Structures: Basics Materials Design and Applications, Springer, (2007)

[5] Nishihara, O.; Matsuhisa, H and Sato, S., Vibration Damping Mechanisms with Gyroscopic Moments, JSME International Journal, Series III, vol 35, No 1, pp 50-55, (1992)

[6] Greenwood D T., Advanced Dynamics, Cambridge University Press, New York, USA, (2003)

THÔNG TIN TÁC GIẢ

TS Lã Đức Việt, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Email: laviet80@yahoo.com, ĐT: 0945689982