PHÂN TÍCH ỨNG xử TĨNH tấm SANDWICH có lõi tổ ONG STATIC ANALYSIS OF SANDWICH PLATES WITH HONEYCOMB CORES

Các đặc tính tương đương lõi tổ ong được tính toán dựa trên một phương pháp đồng nhất hóa vật liệu composite có tính tuần hoàn trong đó phần mềm Abaqus được sử dụng để mô hình ô thể tích

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ TĨNH TẤM SANDWICH CÓ LÕI TỔ ONG

STATIC ANALYSIS OF SANDWICH PLATES WITH HONEYCOMB CORES

Nguyễn Trung Kiên

Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TPHCM

kiennt@hcmute.edu.vn

Bài báo trình bày một phương pháp phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong Các đặc tính tương đương lõi tổ ong được tính toán dựa trên một phương pháp đồng nhất hóa vật liệu composite có tính tuần hoàn trong đó phần mềm Abaqus được sử dụng để mô hình ô thể tích đơn vị đặc trưng của lõi Lý thuyết tấm mỏng được sử dụng để phân tích các đáp ứng tấm sandwich lõi tổ ong

Từ khóa: kết cấu lõi tổ ong, phân tích tĩnh, đồng nhất hóa

ABSTRACT

This paper presents an approach for static analysis of sandwich plates with honeycomb cores The equivalent properties of honeycomb core is estimated by a homogenization method for periodic composite materials in which Abaqus software is used to model the localization elastic problem on a representative volume element of the core The classical plate theory is then used to investigate bending responses of honeycomb sandwich plates

Keywords: Honeycomb structures, Static analysis, Homogenization

Kết cấu sandwich là một loại kết cấu hỗn hợp bao gồm lớp lõi liên kết với hai lớp bề

mặt nhằm tạo ra một loại kết cấu có trọng lượng nhẹ, độ cứng lớn và có nhiều tính năng vượt

trội so với các vật liệu kết cấu truyền thống khác Loại kết cấu này đã được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ trong lĩnh vực hàng không, cơ khí, xây dựng, Các lớp bề mặt và lõi của

kết cấu sandwich có thể là nhôm, thép, bê tông, gỗ…., Lõi có thể được cấu tạo dạng rỗng với các dạng hình học khác nhau, trong đó kết cấu dạng tổ ong thông thường được sử dụng Kết

cấu tấm sandwich lõi tổ ong là dạng kết cấu tấm không đồng nhất với lõi là một loại vật liệu

trực hướng được phân bố có tính tuần hoàn theo hai phương Việc nghiên cứu ứng xử của loại

kết cấu này khó khăn ở việc xác định các đặc tính tương đương của lõi Do đó, một vấn đề quan trọng đặt ra từ các bài toán thiết kế là phát triển các phương pháp đánh giá các đặc tính

của kết cấu tổ ong Một số nghiên cứu đã được thực hiện trong chủ đề này nhằm xác định các

hằng số đàn hồi tương đương ([1-10]) Lược qua tình hình nghiên cứu có thể thấy rằng hầu

hết các nghiên cứu đã phát triển các mô hình với lời giải giải tích, tuy nhiên cách tiếp cận này đòi hỏi các giả thiết khi thiết lập và tương đối phức tạp Phương pháp này mang lại phương

thức đánh giá tường minh các mô đun đàn hồi và, do đó, dễ áp dụng trong thực tiễn Một số ít tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [11-13] phân tích các đặc tính đàn hồi kết cấu

tấm sandwich lõi tổ ong Hiện nay với sự phát triển của công nghệ máy tính, việc sử dụng phương pháp số mang lại hiệu quả lớn, do đó cần thiết phát triển một mô hình số tính toán các

hằng số đàn hồi tương đương lõi tổ ong trong đó phương pháp đồng nhất hóa vật liệu composite là một phương pháp hữu hiệu ([14-17])

Mục tiêu của bài báo này là đề xuất một mô hình số cho phép tính toán các hằng số đàn

hồi tương đương của lõi tổ ong và từ đó phân tích các đáp ứng tĩnh tấm sandwich lõi tổ ong

Cơ sở lý thuyết được dựa trên phương pháp đồng nhất hóa vật liệu không đồng nhất có tính

tuần hoàn theo hai phương trong mặt phẳng Các mô hình tính toán thiết lập trên ô thể tích đơn vị đặc trưng sẽ được phân tích dựa trên phần mềm Abaqus Các kết quả số nhận được sẽ được so sánh với các mô hình giải tích đã được phát triển

Xem xét tấm sandwich lõi tổ ong như Hình 1 Tấm có chiều dày h với lõi tổ ong có chiều dày h c

được hình thành từ ô đơn vị hình lục giác phân bố có tính tuần hoàn theo các

phương trong mặt phẳng tấm Tấm sandwich lõi dạng kết cấu tổ ong ứng xử như một kết cấu

có tính tuần hoàn theo các hướng x1 và x2 nên có thể tách ra một ô thể tích đơn vị Y

(2l1×2l2× ) với các biên hông ∂Yh c l, các biên trên và dưới ∂Y± Ô đơn vị thể tích Y có các biến dạng màng đồng nhất E, các trường biến dạng và ứng suất ε(x) và σ(x) bên trong Y Việc

tính toán các hằng số đàn hồi tương đương lõi tổ ong đòi hỏi biết trường lời giải bài toán đàn hồi trên ô thể tích đơn vị Ứng xử của kết cấu có tính chu kỳ này có thể được miêu tả bằng các phương trình sau:

( )

0,

grad # , -#

per

per s per

per



= +





=







trong đó # để chỉ đại lượng có tính tuần hoàn, per( )

u x là trường chuyển vị có tính tuần hoàn trên biên, ( per( ) )

e u x là các biến dạng ứng với per( )

h

l

30°

x2

x1

2l1

Hình 1: Hình học và ô thể tích đơn vị đặc trưng lõi tổ ong

Do chiều cao lõi lớn hơn nhiều so với kích thước ô tổ ong nên, để đơn giản trong tính toán, chúng ta giả thiết ô thể tích đơn vị của lõi tổ ong ứng xử như bài toán biến dạng phẳng,

do đó chúng ta chỉ khảo sát trong mặt phẳng và ma trận độ cứng đàn hồi tương đương cần tìm

có dạng như sau:

hom hom

11 12 hom hom hom

12 22

hom 66

0 0

C

Một khi trường lời giải của bài toán đàn hồi (1) nhận được thì các hằng số độ cứng tương đương có thể suy ra từ nguyên lý cân bằng năng lượng biến dạng vi mô – vĩ mô như sau:

Min

Y

W

∈

ε

trong đó ký hiệu KA dùng để chỉ trường khả dĩ động (trường biến dạng khả dĩ động là

trường biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên chuyển vị cưỡng bức), toán tử dùng để chỉ trung bình thể tích của đại lượng bên trong:

Y

S

trong đó S Y là diện tích mặt trung bình ô đơn vị Y Có thể thấy rằng các hằng số

hom hom hom hom

11 , 22 , 12 , 66

và năng lượng biến dạng trung bình trên ô Y, và từ đó các mô đun đàn hồi đồng nhất hóa

hom hom hom hom

1 , 2 , 12 , 12

( ) ( ) ( )

hom

Min

Y

C

∈

=

( ) ( ) ( )

hom

Min

Y

C

∈

=

( ) ( ) ( )

hom hom hom

11 22 12

1

2 2

1 Min 2

KA

Y

∈

=

(7)

( ) ( ) ( )

hom 66

1

2

KA

Y

C

∈

=

3 KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

3.1 Độ cứng đàn hồi đồng nhất hóa lõi tổ ong

Một số ví dụ số sẽ được thực hiện trong phần này nhằm kiểm tra lại tính chính xác của

mô hình đã phát triển Để thực hiện điều này, kết quả nhận được từ mô hình hiện tại sẽ được

so sánh với các mô hình giải tích Gibson và cộng sự [1] và Masters và Evans [2] Vật liệu hình thành kết cấu lõi được giả thiết đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính với các thông số vật liệu sau ([2]): E s = ν =1, s 0.3,l =h t, =0.1,θ =30o(Hình 2) Các mô hình hiện tại được mô phỏng

dựa trên phần mềm Abaqus trong đó phần tử biến dạng phẳng CPE4R được sử dụng Sự phân

bố ứng suất và dạng biến dạng của trường hợp 4 được thể hiện trên Hình 3

Hình 2: Kích thước ô tổ ong

Hình 3: Hình d ạng biến dạng và sự phân bố ứng suất Von-Mises cho trường hợp

E = E = E = (l t/ =10)

Bảng 1: So sánh các mô đun đàn hồi đồng nhất hóa của lõi tổ ong với l t/ =10

Các kết quả nhận được từ mô hình hiện tại (Present) được tổng hợp trong Bảng 1 cho 5

hằng số E E1, 2,ν ν12, 21,G12 và được so sánh với kết quả của các nghiên cứu Gibson và cộng sự [1] và Masters và Evans [2] Cũng cần chú ý rằng mô hình của [1] sẽ có khó khăn trong tính toán các hằng số độ cứng C ij vì ν12 =1 /ν21, trong khi đó đánh giá của [2] không gặp vấn đề này Bảng 1 cho thấy rằng các mô đun Young giữa các mô hình tương đồng với nhau, hệ số Poisson nhận được từ mô hình hiện tại phù hợp với nghiên cứu của [2], trong khi đó có sự khác biệt so với mô hình của [1] Mặt khác sự không tương thích giữa các mô hình về mô đun trượt G12 cũng được tìm thấy Để đánh giá hiệu ứng của tỉ số chiều dài cạnh và chiều dày của

ô tổ ong đến các mô đun đàn hồi của lõi, Hình 4, 5 và 6 biểu diễn sự biến thiên của mô đun Young E , h1 ệ số Poisson ν và mô đun trượt 12 G theo t12 ỉ số l t/ Kết quả được so sánh với các kết quả nhận được từ lời giải của [1] và [2] Các biểu đồ cho thấy rằng, lời giải từ mô hình

đề xuất tương đồng với mô hình của [2] cho tất cả các mô đun đàn hồi Đường cong cao nhất ứng với lời giải của [1], trong khi đường cong thấp nhất là lời giải của [2] Hình 4 và 6 cho

thấy rằng mô đun Young E 1 và mô đun trượt G gi12 ảm khi tỉ số l t/ tăng, bên cạnh đó Hình 5 cho thấy diễn biến ngược lại khi hệ số Poisson ν tăng với sự gia tăng của 12 l t/ Các quy luật

biến thiên này là hợp lý vì mật độ thể tích vật liệu lõi giảm khi l t/ tăng

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

l/t

hom 1

Gibson et al [1]

Masters and Evans [2]

Present

Hình 4: Sự biến thiên của mô đun đàn hồi đồng nhất hóa hom

1

E theo l t/

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

l/t

hom 12

Gibson et al [1]

Masters and Evans [2]

Present

Hình 5: Sự biến thiên của hệ số Poisson hom

12

ν theo l t/

4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

l/t

Gibson et al [1]

Masters and Evans [2]

Present

Hình 6: S ự biến thiên của mô đun trượt hom

12

G theo l t/

3.2 Phân tích độ võng tấm sandwich lõi tổ ong

q x y q

đề xuất và từ mô hình Masters và Evans [2] Các đặc tính hình học và vật liệu của lõi như ví

dụ trước Giả thiết hai lớp bề mặt cùng được làm bằng loại vật liệu đẳng hướng với

1 , 0.3

E= GPa ν = Sử dụng các tham số không thứ nguyên sau

3

0

100 ,

2 2

a b

u

q a

thuyết tấm mỏng Love-Kirchhoff được sử dụng để tính toán các đáp ứng của tấm

4 6 8 10 12 14 16 18 20 2.88

2.885 2.89 2.895 2.9 2.905 2.91 2.915 2.92

l/t

Masters and Evans (1996) Present

Hình 7: Hi ệu ứng tỉ số chiều dài và chiều dày cạnh l

t đến chuyển vị ngang lớn nhất u3

tấm vuông sandwich lõi tổ ong dưới tác dụng tải trọng hình sin

Hình 7 biểu diễn sự thay đổi của chuyển vị ngang tại tâm tấm không thứ nguyên theo tỉ

số l/t Có thể thấy rằng khi l/t tăng thì độ võng tăng và giá trị tính toán từ mô hình Master và

Evans [2] lớn hơn giá trị nhận được từ phương pháp đề xuất

Bài báo đã đề xuất một phương pháp phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong trong đó các đặc tính đàn hồi lõi tổ ong được tính toán dựa trên phương pháp đồng nhất hóa vật liệu

hỗn hợp có tính tuần hoàn Lý thuyết tấm mỏng Love-Kirchhoff được sử dụng để phân tích

đáp ứng tĩnh của tấm Phần mềm Abaqus đã được sử dụng nhằm mô phỏng bài toán đồng nhất hóa thiết lập trên ô thể tích đơn vị đặc trưng Các kết quả số được so sánh với các nghiên cứu trước cho thấy phương pháp đề xuất là đáng tin cậy, đơn giản và có tính ứng dụng cao trong phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Gibson, L J., Ashby, M F., Schajer G S., Robertson C I., The Mechanics of

Two-Dimensional Cellular Materials, Proceedings of the Royal Society, A 382 (1982)

[2] Masters, I G., Evans, K E., Models for the Elastic Deformation of Honeycomb,

Composite Structures, 35 (1996), 403-422

[3] Abd-el-Sayed, F., Burgess, I.W., Jones, R., A Theoretical Approach to the Deformation

of Honeycomb-Based Composite Materials, Composite, 209-214 (1979)

[4] Becker, W., Closed Form Analysis of the Thickness Effect of Regular Honeycomb Core

Material, Composite Structures, 48 (2000), 67-70

[5] Liu, Q., Zhao, Y., Effect of Soft Honeycomb Core on Flexural Vibration of Sandwich

Panel using Low Order and High Order Shear Deformation Models, Journal of Sandwich

Structures and Materials, 9 (2007), 95-108

[6] ShiM G., TongM P., Equivalent Transverse Shear Stiffness of Honeycomb Cores,

International Journal of Solids and Structures, 32 (1995), 1383-1393

[7] Grediac, M., A Finite Element Study of the Transverse Shear in Honeycomb Cores,

International Journal of Solids and Structures, 30 (1993), 1777-1788

[8] Zhang, J., Ashby, M F., The Out-of-Plane Properties of Honeycomb Core Material,

Composite Structures, 48 (2000), 475-489

[9] Nast, E., On Honeycomb-Type Core Moduli, AIAA/ASME/AHS Adaptive Structures

Forum, Apr 7-10, Collection of Technical Papers, Pt 2 (A97-24112 05-39) (1997)

[10] Burlayenko, V.N., Sadowski, T., Effective elastic properties of foam-filled honeycomb

cores of sandwich panels, Composites Structures, 92 (2010), 2890-2900

[11] Li, Y.M., Hoang, M.P., Abbes, B., Abbes, F., Guo, Y.Q., Analytical homogenization for stretch and bending of honeycomb sandwich plates with skin and height effects,

Composites Structures, 120 (2015), 406-416

[12] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of sandwich plates with honeycomb core Part I: homogenisation of core properties,

Composites Structures, 118 (2014), 664-676

[13] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of

sandwich plates with honeycomb core Part II: the optimisation strategy, Composites

Structures, 118 (2014), 667-690

[14] Michel J C., Moulinec H., Suquet P., Effective properties of composite materials with

periodic microstructure: a computational approach, Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering, 172 (1999), 109-143

[15] Moulinec H., Suquet P., A fast numerical method for computing the linear and nonlinear

properties of composites, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 318 (1994),

1417–1423

[16] Nguyen T K., Sab K., Bonnet G., Green’s operator for a periodic medium with traction-free boundary conditions and computations of the effective properties of thin plates,

International Journal of Solids and Structures, 45 (2008), 6518–6534

[17] Nguyen T K., Sab K., Bonnet G., Bounds for the effective properties of heterogeneous

plates, European Journal of Mechanics A/Solids, 28 (2009), 1051–1063