KHẢO sát ĐỘNG lực học của cơ cấu QUICK RETURN DYNAMIC ANALYSIS OF a QUICK RETURN MECHANISM

KH ẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CƠ CẤU QUICK-RETURN DYNAMIC ANALYSIS OF A QUICK RETURN MECHANISM Sanh Do1a, Phong Phan Dang2b, Khoa Do Dang 1c 1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Việt Nam a

KH ẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CƠ CẤU QUICK-RETURN

DYNAMIC ANALYSIS OF A QUICK RETURN MECHANISM

Sanh Do1a, Phong Phan Dang2b, Khoa Do Dang 1c

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Việt Nam

a dosanhbka@gmail.com; b phongpd@narime.gov.vn; c khoa.dodang@hust.edu.vn

thành lập phương trình chuyển động của nó thường sử dụng phương trình Lagrange dạng

đóng kín (tức chỉ sử dụng các biến pha mà không cần đưa thêm vào các biến nhân tử), đồng

động (vận tốc triệt tiêu) ứng với thời điểm thanh lắc đổi chiều chuyển động (khoảng chuyển

ti ếp), trong khoảng thời gian đó thanh trượt không chịu tải để đảm bảo độ êm dịu chuyển

động của cơ cấu khi qua thời điểm chuyển tiếp

Từ khóa: Nguyên lý phù hợp, Phương pháp ma trận truyền, Phương trình dạng ma

tr ận, Khoảng chuyển tiếp

ABSTRACT

In the paper, it is introduced to analyze the dynamics of a quick-return mechanism, a key part in many machine tools (for example: planers) Generally, the equations of motion of this mechanism, which is subject to highly complex constraints, are derived by the method of Lagrange with multipliers As known, this method adds the multiplier variables, beside the phase variables (generalized coordinates and velocities), to build the system’s equations of motion In other word, this method burdens the motion equation-solving process with more complexity and computation This paper presents a matrix-based method from the Principle of Compatibility to build a closed system of motion equations which depend only on the phase variables but not the multiplier variables As a result, this proposed method can easily be applied by the computational software such as Maple, Matlab, and Mathematica, etc to solve the system of motion equations In the paper, the planer cutting head’s appropriate working stages are also introduced in detail The timing of motion change from cutting to non-cutting stages due to the motion change of the rocker and slider cranks is considered to guarantee the smooth motion of the planer’s slider crank

Keywords: Principle of compatibility, Transfer-matrix method, Matrix-based equations

of motion, Timing of motion change

1 M Ở ĐẦU

Cơ cấu Quick-Return là bộ phận chủ yếu trong một số máy (ví dụ, máy bào) đang được

trình nghiên cứu động lực của loại cơ cấu này do quá trình động lực của nó khá phức tạp Để

động lực Lagrange dạng nhân tử [1-3] Cho đến giờ có thể nói đây là dạng phương trình phổ

do việc tăng thêm các nhân tử, làm tăng các thông số xác định trạng thái động lực của hệ, gồm

trình dạng ma trận đóng kín đối với các tọa độ suy rộng đã chọn [4]

Khảo sát hệ cơ học, được gọi tắt là cơ hệ, vị trí của nó được xác định bằng n tọa độ suy

rộng ( 1, )q i i = n Nếu giữa các tọa độ suy rộng độc lập không có các điều kiện ràng buộc

(được gọi là các liên kết) thì cơ hệ đó được gọi là cơ hệ tự do Đối với những cơ hệ như vậy,

để khảo sát chúng có thể sử dụng phương trình Lagrange loại 2 Tuy nhiên, nếu giữa chúng có

Để khảo sát loại cơ hệ khi các liên kết này là lý tưởng [1-3], phương pháp được sử dụng phổ

1

r i

f

d T T

α α α

λ

=

∂

Trong đó: T là biểu thức động năng của cơ hệ được tính theo các tọa độ suy rộng q và v i ận

tốc suy rộng ( 1, )q ii = n Đối với cơ hệ chịu liên kết dừng, biểu thức động năng có dạng sau:

, 1 0.5

n

ij i j

i j

T a q q

=

1 2

T

T = q Aq  (3)

q là ký hiệu ma trận các vận tốc suy rộng:

[q1 q2 q n]T

=

T nằm tại vị trí cao nhất ở góc phải biểu thức chỉ phép tính chuyển vị ma trận

A - ma trận quán tính, là ma trận vuông đối xứng, cỡ (n n× ), không suy biến, với các

yếu tố ( ,a i j ij =1, )n là hàm chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng ( 1, )q i i = n trong trường

hợp liên kết dừng

i

Q − lực suy rộng của các lực có thế và không có thế, ứng với tọa độ suy rộng q , i

chúng là các phần tử của ma trận lực suy rộng (ma trận cột) Q:

[Q1 Q2 Q n]T

=

Q (5)

Từ đây về sau ma trận được viết bằng chữ nét đậm và đồng nhất vectơ với ma trận cột (3x1)

Biểu thức fαtrong phương trình (1) là vế trái của phương trình liên kết, biểu diễn giải

tích mối ràng buộc giữa các tọa độ suy rộng

1 2

α

Như vậy, để xác định chuyển động của cơ hệ với k bậc tự do (k = n-r) cần xác định

(n+r) đại lượng{ , }, 1, ,q i λα i= nα =1,r, trong khi thực tế chỉ cần n đại lượng { }, 1, q i i= n để

xác định chuyển động cơ hệ Nói một cách khác, số đại lượng để xác định chuyển động cơ hệ

tăng thêm r đại lượng (λ αα =1, )r ,vượt số đại lượng cần thiết để xác định chuyển động của

cơ hệ được khảo sát Việc tăng thêm các đại lượng này làm tăng độ phức tạp của việc khảo sát

dụng (n+r) phương trình)

Để có thể xác định chuyển động cơ hệ với các liên kết đặt lên cơ hệ là lý tưởng chỉ qua n

tọa độ suy rộng ( 1, )q i i = n mà không cần sử dụng thêm r nhân tử Lagrange, ta sử dụng Nguyên

lý Phù h ợp, theo đó phương trình chuyển động cơ hệ được viết trong dạng ma trận [4-6]

Aq = Q + Q - Q + R (7) Trong đó:

Q - ma tr ận cỡ (nx1) của các lực suy rộng theo biểu thức (5)

lượng này cần tính ma trận ∂ A : i

1

2

1

n

n

i

a

a

∂

A (8)

Q :

0 1

2

T

Q = q ∂Aq (9)

Q được tính theo công thức:

Q* =∑∂iAq  (10) q i

R - ma tr ận cỡ (nx1) của các phản lực đáp ứng từ các liên kết đặt lên cơ hệ

Theo Nguyên lý phù hợp [3], phương trình chuyển động của cơ hệ được viết trong dạng sau:

−

DAq D Q + Q - Q = 0 (11)

Trong đó D là ma trận các hệ số khi biểu diễn tất cả các tọa độ suy rộng (không độc lập)

liên kết (6) Chú ý, nếu r phương trình liên kết (6) độc lập thì ma trận D có hạng k = n-r, tức

trình (6), tức có tất cả r+k = n phương trình mô tả chuyển động của cơ hệ

Bằng cách như vậy ta nhận được n phương trình mô tả chuyển động cơ hệ, tức chuyển

động của cơ hệ được mô tả chỉ cần n phương trình (6) và (11), do đó giảm được r phương

trình vi phân đại số (DAE) [7] Tuy nhiên, ở đây ta áp dụng một hướng khác: chuyển động

c ủa hệ được mô tả bằng n phương trình vi phân cấp hai (đúng bằng số tọa độ suy rộng được

đương bằng cách đạo hàm hai lần theo thời gian các phương trình liên kết Phương pháp như

vậy giúp xử lý bài toán chỉ nhờ hệ n phương trình vi phân cấp hai với 2n điều kiện đầu là các

vị trí đầu và vận tốc đầu của hệ n biến đã chọn

Đó là phương pháp rất quen thuộc đối với các cán bộ kỹ thuật, kỹ sư; đặc biệt hiện nay

phương trình này

được cân bằng tĩnh (trọng tâm tại

O), có mômen quán tính khối là J 1

1

dc

là các thông số của động cơ Cần

đối với trục quay B bằng J Con 2

trượt A được xem là chất điểm, có

khối lượng m , CD 1 là thanh đồng

chất có khối lượng m , chi3 ều dài

3

tâm I bằng J 3 Thanh trượt DE có

các tọa độ suy rộng là ϕ ϕ và x, 1, 2

trong đó ϕ ,1 ϕ2 lần lượt là các góc định vị của khâu OA, BC đối với phương ngang, x - thông

rộngϕ ϕ và x nhưng hệ chỉ có một bậc tự do Do đó, có hai phương trình liên kết Để viết 1, 2

D

u

−

1

0

x

(12)

•

•

•

0

A

B

C

D

E

F

M

2

ϕ

3

ϕ

1

ϕ

•

I

Hình 1 Cơ cấu Quick-return

Trong đó: u≡BA h; 1≡OE;ϕ − góc định vị của thanh CD đối với thanh BC, ,3 r r -O D

;

O D−

và D trong hệ tọa độ nền,h+ =h1 H Để thiết lập hai phương trình liên kết ta viết phương

trình xác định tọa độ của các điểm O và D trong hệ tọa độ nền (hệ tọa độ cố định)

(13)

Từ đây ta nhận được:

l ϕ +u ϕ = l ϕ +u ϕ − = (14) h

Khử đại lượng u trong hai phương trình (14) và khử ((ϕ ϕ2+ 3) trong hai phương trình

(15), ta nhận được hai phương trình liên kết đối với các tọa độ đã chọnϕ ϕ1, 2, x:

Chú ý: Các phương trình liên kết (16) có thể tìm trực tiếp từ:

(x D−x C)2+(y D−y C)2− =l32 0

Từ đây nhận được phương trình liên kết thứ hai từ (16) khi thay trực tiếp các biểu thức

, y , x , y

C

x tính qua các tọa độ suy rộng đã chọn ϕ ϕ1, 2, x

ma trận hàng cỡ (1 3)×

1

Để viết phương trình vi phân chuyển động ta tính ma trận quán tính A, ma trận lực suy

,

Q Q theo các công thức (9), (10)

1

T = Jω +J ω +Jω +m v +m v +mv (18)

Trong đó ω ω ω1, 2, 3 - v ận tốc góc của các khâu OA, BC và CD tương ứng, , ,v v v A I D− lần

lượt là vận tốc của con trượt A, khối tâm I của thanh CD và thanh trượt ED Dễ dàng nhận

được:

3

1

; ; v x v; I 0.5(x v Cx) 0.5(x l sin ); (x l 2 sinl x )

l

(19)

Khi thay (19) vào (18) ta nhận được:

2

l

A là ma trận vuông cở(3 3)× , có các yếu tố

2

3

3

J l

J

l

ϕ

(21)

Thế năng được tính theo biểu thức:

π =m gl1 1sinϕ1+0.5m gl3 2sinϕ2 (22)

Lực suy rộng Q trong (7) là ma trận cỡ(3 1)× , gồm lực không thế và lực có thế sẽ có

dạng

Q =M −aϕ −m gl ϕ ;Q2 = −0.5m gl3 2cosϕ2;Q3 = (23) F

,

Q Q được tính theo (8), (9), và (10)

3

3 3

2 3

J

l J

m l l

ϕ ϕ

−

(24)

3

0; (J 0.25 ) cos ; 0;

= = −  =

*

1 =0

T

Phương trình chuyển động của cơ cấu nhận được từ các phương trình liên kết (16) được

phương trình (11) với các số liệu từ (21) – (25) Cụ thể, hệ phương trình mô tả chuyển động

của cơ cấu gồm 3 phương trình vi phân cấp hai (phi tuyến) sau:

2

3

1

j

d a ϕ d a d a ϕ d a d a x d Q Q Q

=

Hệ ba phương trình (26) với các điều kiện đầu được cho:

1(0) 10; 2(0) 20; (0)x x0; 1(0) 10; 2(0) 20; (0)x x0

{ϕ1( ),t ϕ2( ), ( )}t x t (28)

Từ đây xác định đươc hành trình của thanh trượt DE,

x t D( )≡x t( ) (29)

hai trạng thái động lực có tải và không tải {M F, } sẽ mô tả được hành trình của thanh trượt DE [8]

và về Hành trình đi là quá trình ăn tải, còn về là quá trình thoát tải (không có tải hoặc chỉ

thắng loại tải không có ích, ví dụ, ma sát) Thời điểm chuyển tiếp giữa hai quá trình này cần

thanh trượt DE được dỡ tải (tức tại thời điểm này tải bằng không) Vì lý do đó trước và sau

điểm dừng (điểm chết) của cần lắc có một khoảng chuyển tiếp, trong đó tải được dỡ bỏ (F=0)

Ở đây đề xuất khoảng thời gian đó được tính từ khi tay quay OA từ vị trí nằm ngang (bên phải

và bên trái) quay đến vị trí thẳng góc với cần lắc (vị trí dừng của cần lắc BC) Cụ thể vị trí của thanh trượt DE trong hành trình của nó gồm 3 đoạn như sau (H.2):

− ≤ ≤

x ≤ ≤ x x

− ≤ ≤ −

x

ứng với vị trí xa nhất của thanh trượt DE bên phải (ứng với vị trí tay quay OAvuông góc với

thước đã cho (H.2) dễ dàng tính được:

x* =4.1227 , x0 =4.3327

Hình 2 Các giai đoạn làm việc của cơ cấu

B

0

A

0

C

0

D

*

C

*

D

*

x

0

x

E

* 2

ϕ

0 2

ϕ 0.5π

0.5π

Đồ thị hình 3 mô tả chuyển động của thanh trượt DE từ phương trình (23)

S ố liệu:

Giả thiết lực F có dạng sau:

F=150N khi {−4.1227≤x t( )≤4.1227}

F=0 khi−4.3325≤x t( )≤ −4.1227; 4.1227≤x t( )≤4.3325

2

m kg m kg m kg J kgm J kgm J kgm M Nm

F N g m s α Nms l m l m l m h m H m

Điều kiện đầu:

=



Th ời gian tính: 15 (s)

tra, kiểm định quá trình làm việc của cơ cấu mà còn giúp cho việc khảo sát quá trình động lực

toán ngược của động lực: tính toán, chọn tối ưu các thông số động cơ nhằm đáp ứng các yêu

[1] Lurie A.I., Analytical Mechanics, Spinger Berlin _Heidelber-NewYork, 1961

[2] Neimark Ju.I., and Fufaev N.A., Dynamics of Nonholonomic Systems, American

Mathematical SocietyProvidence, Rhode Island, 1972

[4] Javier Garcia de Jalon Educardo Bayo, Kinematic and Dynamics Simulation of Multibody

of Systems, Springer-Verlag, 1994

[5] Sanh Do, Khoa Do Dang, Method of Transmission Matrix Applying for Investigation of

Motion of Planar Mechanisms, Machine Dynamics Research, 2010, Vol.34, No 4, pp

5-22, Varsaw

[8] Do Sanh, Dinh Van Phong, Trieu Quoc Loc, Phan Dang Phong, Do Dang Khoa, Observation of Dynamic Reaction Forces in Controlled Mechanical Systems,

Proceedings of the International Symposium on Dynamics and Control, Hanoi,

September 19-21, 2013, Vietnam, pp.108-117

[9] Haug E.J., Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Vol I,

Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989