NGHIÊN cứu ổn ĐỊNH của tấm có cơ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU tác DỤNG của tải TRỌNG KHÍ ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS

NGHIÊN C ỨU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CH ỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS Lê Thúc Địn

NGHIÊN C ỨU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

CH ỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG KHÍ ĐỘNG

STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES

SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS

Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Tr ần Thị Hương3c 1,2 Học viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, Việt Nam

3Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam

a ledinhvhp@gmail.com; b vuquoctru@gmail.com; c khoinguyen020109@yahoo.com

TÓM T ẮT

Bài báo này trình bày nghiên cứu đáp ứng động của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính

biến thiên (FGM) chịu tác dụng của tải trọng khí động Theo đó, phương trình vi phân phi tuyến mô tả dao động của tấm có cơ tính biến thiên được giải bằng phương pháp tích phân

trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson Trên cơ sở thuật toán và chương trình tính xây dựng, khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm có cơ tính

biến thiên Kết quả bài báo làm cơ sở đề xuất các giải pháp nhằm tối ưu các kết cấu dạng tấm

bằng vật liệu FGM

Từ khóa: tấm, vật liệu có cơ tính biến thiên, ổn định, phi tuyến, tải trọng khí động

ABSTRACT

This paper study dynamic response of functionally graded material plates subject to aerodynamic loads Accordingly, the nonlinear differential equations describing vibrations of functionally graded material plates is solved using Newmark’s time integration method with Newton-Raphson iteration method Based on algorithms and programs have been formulated

to investigate some of factors affect to dynamic response of FGM plates Results paper is the basis to propose solutions to optimize the structure of FGM plates

Keywords: plates, functionally graded material, stability, nonlinear, aerodynamic load

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material được viết tắt là FGM) là loại

vật liệu mới hiện đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết cấu làm bằng vật

liệu FGM (đặc biệt là kết cấu dạng tấm, vỏ) đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Do vậy, nghiên cứu ổn định của tấm làm bằng vật

liệu FGM chịu tác dụng của lực khí động là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

2 XÂY DỰNG BÀI TOÁN

2.1 Mô hình vật liệu có cơ tính biến thiên

Vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng nhiều trong thực tế là loại hai thành

phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1) Trong đó, tỷ lệ thể tích

của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều dày z [1], [2]:

k

z 1

h 2

  với (0≤ ≤ ∞k ) (1) Trong đó: k là chỉ số tỷ lệ thể tích;V , V là tc m ỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim

loại tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu

-h/2

0

Bề mặt giàu gốm

Bề mặt giàu kim loại

z

x

x

Tấm FGM

U

O

α

a

b

h

Hình 1 Mô hình k ết cấu vật liệu FGM Hình 2 Mô hình bài toán

Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [1], [2]:

z 1

Trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy là hằng số vì ảnh hưởng của nó đến đáp ứng của kết cấu là không đáng kể, đã được

chỉ ra trong [3] và nhiều công trình nghiên cứu khác

Thuộc tính của vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo biểu thức sau [1], [2]:

P(T) P P T− 1 P T P T P T

−

Trong đó: P0, P-1, P1, P2, và P3 là các hệ số của nhiệt độ; T - nhiệt độ (K)

2.2 Mô hình bài toán và các giả thiết

Tấm vật liệu có cơ tính biến thiên, chịu tác dụng của lực khí động gây ra bởi dòng khí có

vận tốc U, chiều dọc trục Oy và hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước của tấm như hình

2 Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tấm có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner - Mindlin Tấm được rời rạc hoá bởi các phần tử đẳng tham số 4 nút, mỗi nút có 5 bậc tự (ui, vi,

wi, θxi, θyi), thể hiện như trên hình 3

x

y z

1

2

3 4

v1

w1

θx1

v2

w2

u3

w3

u4

v4

w4

θy1

θx2

θy2

v3

θx3

θy3

θx4

θy4

-1

1 s

r

a) Trong hệ tọa độ tổng thể b) Trong hệ tọa độ tham chiếu

Hình 3 Mô hình ph ần tử tấm FGM 2.3 Lực khí động

Khi chịu tác dụng của luồng gió, mỗi phần tử tấm phẳng chịu tác dụng của lực nâng phân bố lw và mômen uốn phân bố mθ, gọi chung là lực khí động Phương trình lực khí động tác dụng lên phần tử tấm phẳng được viết như sau [4]:

θ











Trong đó: ρ - mật độ không khí, U - vận tốc dòng khí, B - bề rộng phần tử theo phương gió tác dụng, K - tần số thu gọn:

w F B K U

ω

Các hàmA (K), H (K)*i *i với i = 1 ÷ 3, được xác định bởi [4]:

2

2G k

kG k

2k







với k = K/2, các hàm F(k), G(k) được xác định bởi:

( )

( )

0, 500502k 0, 512607k 0, 2104k 0, 021573

F k

k 1, 035378k 0, 251293k 0, 021508

0, 000146k 0,122397k 0, 327214k 0, 001995

G k

k 2, 481481k 0, 93453k 0, 089318

=







 = −



Với mô hình bài toán đang xét, dòng khí có phương bất kỳ nên có thể phân ra hai thành

phần: thành phần có vận tốc Ut = Ucosα tác dụng theo phương trùng với mặt phẳng trung bình và thành phần có vận tốc Un = Usinα tác dụng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng trung bình của tấm Do đó, biểu thức lực khí động lúc này có dạng:

* 1

w

KH (K)

U cos

B

θ

θ













(8)

Trong đó: C - hp ệ số áp lực gió;

a

ρ - khối lượng riêng của không khí

3 QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC

3.1 Quan hệ biến dạng và chuyển vị

Chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc tấm ở thời điểm t có dạng [5]:

0

u x, y, z, t u x, y, t z x, y, t

v x, y, z, t v x, y, t z x, y, t

w x, y, z, t w x, y, t







(9)

Trong đó: u, v và w tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z tại điểm thuộc tấm có tọa độ (x,y,z); u0, v0 và w0 tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y

và z của mặt trung bình; θx, θy lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt phẳng tấm quanh các trục x và y

Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình, các thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (9) theo biểu thức [5]:

x y xy yz xz

c c

z

 ε   ε + κ 

ε = ε ε γ γ γ =  = 

ε

Trong đó: { }εm , { }κ , { }εc là véctơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véctơ biến dạng trượt tương ứng và được xác định như sau:

2 0

2

u

x

 ∂  

∂

+

∂ ∂

(11)

Trong đó: { }L

m

ε - chuyển vị màng tuyến tính;

{ }N m

ε - chuyển vị màng phi tuyến

y xy

κ 

  ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ 

 

κ = κ  = − − 

κ 

 

 

(12)

c

yz

x

w x w y

∂

 + θ 

γ

  ∂

ε =  = 

∂ γ

 

   − θ 

∂

(13)

3.2 Quan hệ ứng suất và biến dạng

Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (σz = 0), quan hệ ứng suất và biến

dạng của tấm FGM được viết dưới dạng sau [5]:

66

44

55

VớiQ ,ij C là các hkl ệ số độ cứng, các hệ số trượt được xác định như sau:

( )

3.3 Các thành phần nội lực

Theo [5], quan hệ giữa các thành phần nội lực và biến dạng được biểu diễn như sau:

{ } { } { }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { }

{ }

{ }

m

c

Q

 ε 

(16)

x y xy

N = N , N , N - véctơ lực màng; { } { }T

x y xy

M = M , M , M - véctơ mômen uốn và xoắn; { } { }T

x y

Q = Q , Q - véctơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng - uốn - xoắn, ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2

h / 2 p

h / 2

0 1

2 1

−









∫

(17)

với [ ]E là ma trận các hệ số đàn hồi:

[ ] E z( )2 1 0

1

1

0 0

2

− ν  − ν

(18)

E(z) là mô đun đàn hồi của vật liệu FGM:

p

k là hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy kp =5 / 6)

4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [6], ta có:

Trong đó: T , e Ue, We lần lượt là động năng, năng lượng biến dạng đàn hồi, công gây

ra bởi lực khí động, xác định theo các biểu thức sau:

{ } ( ) [ ] [ ] { }

e

V

1

2

{ } [ ] { }

e

T T

A

Thay (21), (22), (23) vào (20) và biến đổi ta được phương trình sau:

a [M ]{q } [C ]{q } [K ]{q } {F } +  + = (24) Trong đó:

e

[M ] - ma trận khối lượng của phần tử:

e

20 20 A

[M ] I [N ] [N ] I [Nθ ] [Nθ ] [Nθ ] [Nθ ] dA

×

với ( ) h / 2 ( ) ( )

2

0 2

h / 2

−

z

ρ = ρ − ρ  +  + ρ

e

[K ] , [C ]e là ma trận độ cứng kết cấu và ma trận cản của phần tử:

20 20

×

   

=  + 

20 20

×

với e

L

K

  , KeN

  là ma trận độ cứng tuyến tính và ma trận độ cứng phi tuyến của phần

tử; α β , là hệ số cản Rayleigh;

Véctơ chuyển vị nút phần tử:

1 1 1 x1 y1 4 4 4 x4 y4 e

q = u v w θ θ u v w θ θ (27)

e

a

{F }- véctơ lực khí động phần tử được xác định bởi [4]:



T y

N

x

θ

θ

×

∂

∂

Thay (8) vào (28), sau khi biến đổi ta nhận được:

Trong đó:

e

a

[K ]- ma trận độ cứng khí động của phần tử:

S

N

x

θ

e

a

[C ]- ma trận cản khí động của phần tử:

( )

e

e

A e

A

θ

θ

∫

∫

(31)

e

2

A

1

2

Thay (29) vào (24) và chuyển vế ta được phương trình:

[M ]{q } + [C ] [C ] {q }+  + [K ] [K ] {q } {F }+ = (33)

Sau khi tập hợp các ma trận và véctơ phần tử theo thuật toán của phương pháp PTHH ta được các ma trận và véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động của tấm FGM

chịu tác dụng của tải trọng khí động có dạng như sau:

[M]{q} + [C] [C ] {q}+  + [K] [K ] {q} {F }+ = (34) Phương trình (34) là phương trình vi phân phi tuyến, do đó tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải

5 TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN

5.1 Ví dụ số

Xét tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần là nhôm và nhôm ôxít

với các thuộc tính vật liệu là: 10 2

m

E =7.10 N / m , Ec =38.1010N / m2, υ = υ =m c 0.3,

k=3 Kích thước tấm: chiều dài a = 0,38m, chiều rộng b = 0,305m, chiều dày h = 0,005m,

chịu liên kết ngàm cứng một cạnh ngắn Vận tốc gió U = 15m/s, tác dụng theo phương oy và

hợp với mặt phẳng xOy góc α = 300 Sử dụng chương trình tính đã lập giải bài toán, ta nhận được đáp ứng khí động tại điểm giữa của tấm như sau:

Hình 4 Đáp ứng độ võng theo thời gian Hình 5 Đáp ứng ứng suất theo phương x

* Nhận xét: Với giá trị vận tốc gió tính toán, lực khí động chưa đủ lớn nên độ võng và ứng suất đều có xu hướng giảm dần theo thời gian Dao động của tấm có xu hướng tắt dần,

tấm ở trạng thái ổn định

5.2 Kh ảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm

5.2.1 Ảnh hưởng của vận tốc gió

Để xem xét ảnh hưởng của vận tốc gió đến đáp ứng khí động của tấm FGM, tác giả

khảo sát bài toán cho 3 trường hợp vận tốc gió khác nhau: U = 15m/s, U = 20m/s và U =

30m/s Kết quả được thể hiện trên đồ thị hình 6

Hình 6 Ảnh hưởng của vận tốc gió đến độ

võng của tấm Hình 7 đến độ võng của tấm Ảnh hưởng của chỉ số mũ k

* Nhận xét: Từ đồ thị hình 6 ta nhận thấy ảnh hưởng của vận tốc gió đến dao động của

tấm là khá lớn, cụ thể: Với vận tốc gió U = 15m/s dao động của tấm có xu hướng tắt dần, độ

võng lớn nhất Wmax = 0,052x10-3m, tấm ở trạng thái ổn định Với vận tốc gió U = 20m/s,

tấm có xu hướng dao động với biên độ không đổi theo thời gian và có W = 0,26x10-3m

Trường hợp vận tốc gió U = 30m/s, độ võng của điểm tính tăng theo thời gian, tấm có dấu

hiệu bị mất ổn định Như vậy U = 20m/s chính là giá trị tới hạn (Uth) của vận tốc gió trong bài

toán đang xét

5.2.2 Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích

Xét 3 trường hợp: k = 0, k = 3, k = ∞ Đáp ứng độ võng được biểu diễn trên đồ thị hình 7

* Nhận xét: Từ đồ thị khảo sát thấy rằng chỉ số mũ tỉ lệ thể tích của vật liệu FGM có ảnh

hưởng đáng kể đến đáp ứng động của tấm Trong đó: với trường hợp k = 0 (tấm nhôm oxit

thuần túy) giá trị độ võng là nhỏ nhất, k = ∞ (tấm nhôm thuần túy) có độ võng là lớn nhất, với

k = 3 (tấm là vật liệu FGM) thì độ võng có giá trị lớn hơn tấm nhôm oxit và nhỏ hơn trường

hợp tấm nhôm Điều này là hoàn toàn phù hợp với quy luật cơ học của vật liệu FGM

5.2.3 Ảnh hưởng của tỉ số a/b

Khảo sát với tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tấm (a/b) trong khoảng từ 0,5 – 2,0,

thu được đồ thị đáp ứng độ võng của tấm tương ứng với các giá trị của a/b như hình 8

Hình 8 Ảnh hưởng của tỉ số a/b đến độ võng của tấm

* Nhận xét: Căn cứ vào đồ thị ta thấy khi tỉ số a/b tăng thì độ võng của tấm cũng tăng theo, trong đó độ võng tăng mạnh và có xu hướng tăng theo thời gian; khi tỉ số a/b = 2, tấm có

dấu hiệu bị mất ổn định Do đó, với kết cấu tấm như khảo sát nên lựa chọn kích thước sao cho

thỏa mãn tỉ số a/b nhỏ hơn 2

6 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng thuật toán PTHH giải bài toán động lực học phi tuyến của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng khí động, xây dựng chương trình tính trong môi trường matlab và tiến hành khảo sát số

Nghiên cứu một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng khí động của tấm FGM: ảnh hưởng

của vận tốc gió, chỉ số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số a/b Từ các kết quả có được về đáp ứng độ võng theo thời gian rút ra kết luận về tính chất ổn định của tấm theo tiêu chuẩn ổn định động của Budiansky - Roth [7]

Thông qua các kết quả số, đưa ra những nhận xét có tính chất định hướng cho việc lựa

chọn các giải pháp hợp lý cho kết cấu tấm FGM

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lee S L., Kim J H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally

graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures

(91), pp 205-211

[2] Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load,

World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp 60 - 65

[3] Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án

tiến sĩ cơ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015

[4] Simiu E., Scanlan R H., Wind effects on structures, 2nd ed, John Wiley & Sons, 1986

[5] Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite Cơ học và tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994.

[6] Yuan K H., Qiu Z P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in

supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol 3 No 2, pp 336 - 344 [7] Budiansky B., Roth R S (1962), Axisymmetric dynamic bucking of clamped shallow spherical shells, In: colleted paper on instability of shell structures, NASA TND – 1510

1 Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167

2 Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, vuquoctru@gmail.com, 0983.577.999

3 Tr ần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, khoinguyen020109@yahoo.com,

0988100633