aXác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu S.. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ.. Gọi M là trung điểm của CD.. Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a và khoản
Trang 1SỞ GD & ĐT LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẢO YÊN
ĐỀ THI 8 TUẦN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015- 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đề 2
Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1
2
x y x
+
=
−
Câu 2(1,0 điểm).Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốy x +3x = 3 2 trên − − 3; 1.
Câu 3(1,0 điểm).
a) Cho số phức z = + 3 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w iz z= −
b) Giải phương trình: 25x− 2.5x− = 15 0
Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân ( + )
=
+
∫
2 1
2 0
ln 4 4
x x
x
Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0
a)Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu (S)
b)Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M(1; 1; - 1)
Câu 6(1,0 điểm).
a) Giải phương trình (1 sin2 cos sin+ x) ( x− x) = −1 2sin2 x
b) Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam Cô giáo chọn ra 5 học sinh để lập một tốp ca chào mừng 20 - 11 Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ
Câu 7(1,0 điểm) Cho hình chóp đều A.BCD có AB a= 3;BC a= Gọi M là trung điểm của
CD Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD
Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I( 1; - 2 )là
tâm đường tròn ngoại tiếp và ·AIC= 90 0 Hình chiếu vuông góc của A trên BC là D( - 1; - 1) Điểm K( 4; - 1 ) thuộc đường thẳng AB Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết điểm A có tung độ dương
¡
2
;
x y
Câu 10(1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=
+ +
3
3a 3b 25c 2
M
a b c
************ Hết ************
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
• TXĐ: D= ¡ \ 2{ }
• Sự biến thiên
- Chiều biến thiên: ( )2
5 0 2
x
′ = − < ∀ ∈
−
0.25
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ;2) và (2; +∞)
- Hàm số đã cho không có cực trị
- Tiệm cận xlim→±∞y= ⇒2 TCN y: =2
2
lim
+
2
lim
−
0.25
• Bảng biến thiên
0.25
• Đồ thị
0.25
Câu
2
f(x) xác định và liên tục trên − − 3; 1, y ' 3x = 2 + 6x 0.25
y ' 0 = ⇔ = x 0 (loại)hoặc x = − 2.(nhận) 0.25
Ta có: f ( )− = 3 0, f ( )− = 2 4, f ( )− = 1 2 0.25
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên − −3; 1lần lượt là 4 và 0 0.25
3a z = − 3 2i
(3 2 ) (3 2 )
5 5
= − +
i
0.25
x y' y
-2
2
- ∞ + ∞
Trang 3Phần thực là -5
3b
( )2
25x− 2.5x− = ⇔ 15 0 5x − 2.5x− = 15 0 (*)
Đặt t= 5x > 0
2 15 0
3 (loai)
t
t t
t
=
t= ⇔ = ⇔ =x
Vậy phương trình có nghiệm: x= 1
0.25
4
Đặt ln(x2 + = 4) u ( ( 2 ) )
2
2
ln 4
4
x
x
+
x=0 thì u=ln4
x=1 thì u=ln5
0.25 0.25
ln 4
ln 5
1 1. 1(ln 5 ln 4)
2 2 2 ln 4 4
u
5
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là: IMr = (0;3; 4) − 0.25
6a
PT ⇔ (sinx+cosx) (cos2 x−sin2x) = cos2x
0.25
cos2 0
sin cos 1
x
=
⇔
©
ªª
ª«
2 2
1 sin
x
π π π
= +
⇔
+ =
÷
© ªª ªª ªª ªª«
( )
2
4 4
2
4 4
π
= +
©
ª«
0.25
6b
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: 5 =
48 1712304
C
Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ"
thì A là biến cố " chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh nữ "
0.25
Ta có số kết quả thuận lợi cho A là: 5 =
21 20349
C ⇒ ( ) = 215 =
5 48
20349 1712304
C
P A
C
( )
⇒ = − 1 20349 =1691955
1712304 1712304
P A
0.25
Trang 4Gọi O là tâm tam giác đều BCD cạnh a
Do A.BCD là chóp đều nên
AO⊥ BCD ⇒AO là đường cao
của hình chóp
Có 1 . .sin 600 2 3
BCD
a
S∆ = BC BD =
3
a
OB=
0.25
Trong ∆AOB có:
3
a
AO= AB −BO =
( )
∆
.
a
0.25
Gọi N, I, J lần lượt là trung điểm của AC, CO, OM
Có: AD MN/ / ⇒AD/ /(BMN)⇒d BM AD( ; ) =d AD BMN( ;( ) )
( ; ) ( ;( ) ) 2 ( ;( ) )
d D BMN d C BMN d I BMN
lại có: BM IJ BM ( ) (IJN BMN) ( )IJN
BM NI
⊥
Trong mp(IJN) kẻ IK NJ⊥ ⇒IK ⊥(BMN)⇒d I BMN( ;( ) )=IK
0.25
* Xét ∆IJNcó: 12 12 12 162 32 352
IK = IJ +IN =a + a = a
70 35
a IK
Vậy ( ; ) 2 ( ;( ) ) 2 70
35
a
d BM AD = d I BMN =
0.25
8
0 0
0
45 90
135
ABC AIC
ABC
=
=
© ªª ªª«
· 45 0
ABD
⇒ = nên ∆ADB vuông cân tại D
do đó DA = DB Lại có: IA = IB
DI AB
8 Nên đường thẳng AB đi qua K ( 4; - 1 ) và vuông góc với DI có phương
trình 2x y− − =9 0 Gọi A a a( ;2 − ∈ 9) AB, do DA= 2d D AB( ; )= 2 10
0.25
A
K
C
I
A
B
C
D
N
I
Trang 5( ) (2 )2
2 6 5 0
a a
( ) ( )
1; 7 1
5 5;1 /
A loại a
−
=
=
©
Phương trình DB đi qua D cĩ VTPT uuurAD x y: 3 + + = 4 0
0.25
( ; 3 4)
C DB∈ ⇒C c − −c Do ∆IAC vuơng cân tại I nên
IA IC= ⇔ c− − c+ = ⇔ = −c
uur uur
( 2;2)
C
9
ĐK:
1 2
x
≥
Từ pt (1) ⇒ dể pt cĩ nghiệm thì y≥0 0.25
1 ⇔ 2 2x− 1 − 2 2 2x− 1 + 4 2 2x− = − 1 y 2y + 4y (*)
Xét hàm số f t( ) = −t3 2t2 + 4 t t( ≥ 0) cĩ
f t′ = t − + =t t + −t > ∀ ≥t nên f(t) luơn đồng biến
0.25
Từ pt (*) ⇒ f(2 2x− = 1) f y( ) ⇔ 2 2x− = 1 y
Thay vào pt ( 2 ) ta được pt y3 + 2(y+ 2) y+ = 2 3y y( + 2)
0.25
Đặt z= y+ 2 ta được pt
=
© ªª ªª«
/
y z loại
y z yz y z y yz z
y z t m
Với y = z ta được y= y+ ⇒ = ⇒ = 2 y 2 x 1 ( / )t m
0.25
10 - Áp dụng BĐT Cơ - Si ta cĩ: 2a4 +(a4 + ≥ 1 2) a4 + 2a2 ≥ 4a3 hay
3a + ≥ 1 4a
- Tương tự 3b4 + ≥ 1 4b3 ⇒ ≥ ( ++ ++)
3
4a 4b 25c M
a b c
0.25
Mà ( ) (2 ) ( 3 3) ( )3
0 4
a b− a b+ ≥ ⇒ a +b ≥ +a b
+ +
3
25
25
M
a b c
Đặt t c 0( t 1)
a b c
+ +
0.25
Xét hàm số f t( ) ( )= − 1 t 3+ 25 0t3 ( < <t 1)
cĩ: ′( )= − ( ) ( )− −
f t t t , ′( ) = ⇔ =
= −
© ªª ªª ªª ª«
1 6 0
1 4
t
f t
t
0.25
Trang 6Bảng biến thiên
Vậy ( ) = ÷=
1 25
6 36
Min f t f khi 1
6
36
Min M = = =1, =2
5
a b c
0.25
t f'(t)
f(t)
1
1
60
25 36
