“PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỷ được xem là một trong những phần kiến thức khá quan trọng ở chương trình toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, cũng như trong c

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

( NĂM HOC 2014 – 2015 ) TÊN ĐỀ TÀI

“PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ”

 Giáo viên thực hiện: Trần Minh Tuấn

 Đơn vị: Tổ Toán _ THPT Bà Rịa

2 Cơ sở thực tiễn:

Phương trình vô tỷ được xem là một trong những phần kiến thức khá quan trọng ở chương trình toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, cũng như trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Hơn thế nữa, đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi các em học sinh phải thực sự am hiểu và có sự tinh tế trong việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán đặt ra

Qua quá trình giảng dạy ở trường, cũng như khảo sát kết quả trong các đợt thi tuyển sinh đại học, cao đẳng những năm gần đây, tôi nhận thấy đa số các em học sinh còn gặp nhiều khó khăn,

và thường mất điểm khi tiếp xúc với những bài toán về giải phương trình vô tỷ, chính vì vậy, tôi mạnh dạn viết đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh hiểu rõ hơn, và giảm bớt lúng túng khi đối diện với một số dạng toán về giải phương trình vô tỷ

II Mục đích và phương pháp nghiên cứu:

1 Mục đích nghiên cứu:

* Giúp các em học sinh hiểu sâu hơn các kiến thức về phương trình vô tỷ Từ đó, các em cảm thấy hứng thú và yêu thích việc khám phá bộ môn Toán phổ thông

* Giúp các em học sinh có thêm công cụ để giải quyết một số các bài toán về phương trình vô tỷ

xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao Đẳng

* Nguồn tài liệu để quý thầy, cô giáo phát triển, nâng cao kiến thức cho đối tượng là các em học sinh khá, giỏi

2 Phương pháp nghiên cứu: Đề tài được thực hiện chủ yếu dựa trên:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

III Giới hạn của đề tài:

Đề tài chỉ khai thác một phương pháp trong số các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Hơn thế nữa, đề tài không trình bày toàn bộ các kiến thức lý thuyết mà chỉ tổng hợp một số kỹ năng thông qua những bài toán cụ thể

Những nội dung kiến thức được trình bày trong Đề tài là những nội dung được mở rộng, mang tính chất chuyên sâu, phù hợp với đối tượng là các học sinh khá, giỏi, Ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng

IV Các giả thiết nghiên cứu:

Tổng hợp và hệ thống hóa những kiến thức, kỹ năng cơ bản nhất Trên cơ sở đó, đưa ra những nhận định và phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán

Bên cạnh đó, tập hợp, sắp xếp các bài toán, các đề thi trong những năm gần đây một cách logic nhằm rèn luyện các kỹ năng vận dụng cho học sinh

Các giả thuyết, cũng như các ứng dụng trong chuyên đề được tổng hợp và kiến tạo từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau

V Kế hoạch thực hiện:

- Lựa chọn đề tài

- Xây dựng đề cương chi tiết

- Hoàn thiện nội dung đề tài

- Tiến hành giảng dạy và khảo sát kết quả ở một số lớp của khối 10 trường THPT Bà Rịa

- Nghiệm thu đề tài

B PHẦN NỘI DUNG

I Thực trạng và những mâu thuẫn:

Trong các đề thi Đại học, Cao Đẳng những năm gần đây, thường xuất hiện mảng kiến thức về phương trình, bất phương trình, hệ vô tỷ, và các thí sinh gặp không ít khó khăn trong những bài toán này, bởi nó đòi hỏi học sinh phải biết tư duy nhanh và thành thạo những kỷ năng nhất định Những kiến thức, kỷ năng mà học sinh thu nhận được trong SGK là những kiến thức, kỷ năng rất cơ bản Vì thế, để đạt điểm cao trong các kỳ thi, hay để trở thành những học sinh giỏi Toán, thực sự đam mê môn học thì đòi hỏi học sinh phải biết tìm tòi, sáng tạo thông qua nhiều nguồn tài liệu khác Hiện nay, trên thị trường có quá nhiều nguồn tài liệu, sách tham khảo gây không ít khó khăn cho các em trong việc sàng lọc, tiếp thu

Đứng trước những thực trạng trên, tôi viết đề tài này với mong muốn đóng góp một tài liệu thiết thực giúp các em học sinh có thêm nguồn tham khảo

II Các biện pháp giải quyết:

- Nhận diện kiến thức, kỷ năng giải các dạng toán

- Đưa ra một số ví dụ mẫu để hiểu rõ hơn về kỹ năng giải

- Hệ thống bài tập tương tự để thực hành

III Hiệu quả áp dụng:

IV Sơ lƣợc nội dung:

Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà khi ta biến đổi tương đương sẽ dẫn đến một phương trình phức tạp, khó nhận ra được hướng giải

Việc đặt ẩn phụ thích hợp nhằm chuyển phương trình ban đầu về một phương trình đơn giản hơn và giải được nó một cách dễ dàng hơn là một trong những phương pháp hữu hiệu trong các bài toán giải phương trình vô tỷ

Chuyên đề này muốn giới thiệu đến các bạn một số dạng phương trình vô tỷ mà việc giải

nó dựa trên phương pháp đặt ẩn phụ

Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

Đây là bước quan trọng nhất vì việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ quyết định đến toàn bộ lời giải của bài toán

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình theo biến mới (ẩn phụ)

và tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn giá trị của ẩn phụ

Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ thông dụng mà chuyên đề này muốn nêu ra, đó là:

 Phương pháp đặt ẩn phụ triệt để

 Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để

 Phương pháp đặt ẩn phụ biến đổi về dạng tích

 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về dạng hệ phương trình

Phương pháp đặt ẩn phụ triệt để:

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý điều kiện

của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t , và quan trọng hơn là ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “triệt để”

Một vài lưu ý:

 Nếu bài toán có chứa f x và   f x( ) khi đó đặt t  f x  

 Nếu bài toán có chứa f x ; g x , và  f x  g x k (với k là hằng số) khi đó

 Nếu bài toán có chứa 2 2

x a thì đặt

sin

a x

A BÀI TOÁN MẪU

Bài toán 1: Giải phương trình sau: 2 2

Nhận xét:

 Việc chọn đƣợc lƣợng ẩn phụ trong bài toán trên nhờ vào nhận xét

 Nếu bình phương hai vế sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 khá cồng kềnh

 Trong bài toán này để nhận ra lượng chọn làm ẩn phụ t ta cần phân tích

71

2 2

x x

x x

71

2

x x

x

3



x là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Trong bài toán này, việc chọn được lượng làm ẩn phụ thích hợp nhờ nhận xét:

t 2x 3 x 1 t 3x 2 2x 3 x 1 4

Từ đây ta có thể tổng quát hóa phương trình:

Bài toán 6: Giải phương trình: 3 2

Lời giải: Điều kiện : x1

Ta có: Pt 5 (x 1 )(x2x 1 )  2 (x2x 1 )  2 (x 1 )

021

15

x x

2 0

2 5

2 2

t

t t

354

11

12

x t

 

Qua đó chọn được lượng ẩn phụ thích hợp

Bài toán 7: (THTT 3-2005) Giải phương trình: x2004 x 1 1 x2

Lời giải: Điều kiện: 0 x 1

Đặt y 1 x Ta có phương trình  2 2 

2 1y y  y 1002   0 y 1Tiếp tục giải ta có nghiệm của phương trình ban đầu là x = 0

Bài toán 8: Giải phương trình:  3

x  1 x x 22x (1) Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là : 2 1 2 2 1

Nhận xét x 1

3

  không thỏa phương trình 1)

Viết lại phương trình 1): 3x x23  

x tan ; x tan ; x tan

cos t sin 2t sin 4t cos t 2sin t 2sin t.cos2t



Qua các ví dụ trên ta thấy việc chọn biểu thức nào làm ẩn phụ là mấu chốt của bài toán Để chọn được biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp thì sau khi đặt ta phải biểu diễn được các biểu thức chứa x khác trong phương trình đ cho qua ẩn phụ vừa đặt

Phương pháp: Đặt ẩn phụ không triệt để

Trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diễn hết các biểu thức chứa x có mặt trong phương trình qua ẩn phụ được Lúc này chúng ta tạm chấp nhận sự có mặt của hai ẩn trong phương trình Việc đặt ẩn phụ trong trường hợp này là không triệt để

Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để là một phương pháp hay trong giải phương trình

vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn, tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng    2  2 

ax b cx +dx+e px qx t Với dạng phương trình này chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải

Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn, có biệt thức Δ

là một biểu thức chính phương

A BÀI TOÁN MẪU Bài toán 1: Giải phương trình: 2    2 

3x x 3 (8x 3) 2x +1 0 Lời giải :

Điều cốt lõi trong lời giải trên là việc dẫn đến t chính phương

Trong lời giải trên, để t chính phương chúng ta đ chọn hệ số của 2

t là 3 Và thắc mắc đặt ra là : dựa trên cơ sở nào ? ngoài số 3 liệu còn số nào khác để t chính phương

không ?

Bây giờ chúng ta cùng lý giải về sự xuất hiện của số 3 trong lời giải trên

Ta giả sử hệ số đó là m, khi đó phương trình trở thành

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm m=3, từ đó suy ra cách biến đổi phương trình

để có lời giải như trên

Bây giờ chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm một vài ví dụ minh họa về kỹ năng này

Việc lý giải để dẫn đến t chính phương xin được dành cho bạn đọc

Bài toán 2: Giải phương trình: 2 2

02

12

x x

x x

x x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 6

Bài toán 3: Giải phương trình:     2 

2 2x 4 4 2 x 9x 16 (1) Lời giải:

4t  16t  x  8x  0

Giải phương trình trên với ẩn t ta tìm được : x

t 2



Bài toán 4: Giải phương trình:    3   3  

4x 1 x 1 2x 2x 1 (1) Lời giải :

Bài toán 6: Giải phương trình:  2       2  

Phương pháp: Đặt ẩn phụ biến đổi về dạng tích

Rất nhiều phương trinh vô tỷ giải được nhờ biến đổi về dạng tích

Việc sử dụng ẩn phụ trong các bài toán dạng này giúp biến đổi phương trình đ cho trở nên đơn giản hơn, và dễ dàng biến đổi về phương trình tích hơn

A VÍ DỤ MẪU

Bài toán 1: Giải phương trình: 3  2    3 

x 3x 2 x 2 6x (1) Lời giải:

Bài toán 2: Giải phương trình: 3     

4x x x 1 2x 1 0 (1) Lời giải:

ĐK: x 1

2

  Viết lại PT (1) : 3    3

x  3x x  2  2 x  2  0 Đặt t x2 t0 Ta có: x33xt22t3 0

  ta có tập nghiệm của phương trình 1) là: S 2

Bài toán 3: Giải phương trình: 2       2

Nhận xét:

Cần khéo léo phân tích biểu thức 2      2   2 

Bài toán 7: Giải phương trình:      7  2  

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S    1

Bài toán 8: Giải phương trình:  

Bài toán 10: Giải phương trình:      7  2  

Kết hợp với điều kiện x  0 ta có tập nghiệm của phương trình 1) là: S 1

Bài toán 11: Giải phương trình: 3 7x 1  3 x2    x 8 3 x2 8x 1   2 (1)

Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về dạng hệ phương trình

a) Dạng thông thường: Đặt u  x v,   x và tìm mối quan hệ giữa   x và   x từ

đó tìm được hệ theo u,v

Chẳng hạn, đối với phương trình: m a f x m b f x  c ta có thể đặt:  

Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban

đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn ;  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : n n ' '

     là chọn được

c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba:

 3 3

Bài toán 1: Giải phương trình: 4 57 x 4 x40 5 (1)

Giải hệ trên ta được x; y    2;3 và x; y   3;2

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là: x 2;3

Bài toán 3: Giải phương trình: x 5 x 1 6 (1)

Lời giải:

ĐK: x 1  Đặt a  x 1; b   5  x 1   a  0;b  0 

Bài toán 5: Giải phương trình: x 3  1 2 2x 1 3  (1)

Lời giải:

ĐK: x  R Đặt t 3 2x 1  t3 2x 1

Từ đó ta có hệ:

3 3

3

2 2

3 3 3

thu được hệ phương trình mà việc giải hệ này là quá khó khăn

và hệ thu được là hệ đối xứng hoặc gần đối xứng Cụ thể: Ta viết hệ đ cho thành:

2 1 2

Vậy phương trình có 3 nghiệm 1 5 1 5

25 373289

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN:

……….…

……….…

……….…

………

………

……….…

……….…

……….…

………

………

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC: ……….…

……….…

……….…

………

………

……….…

……….…

……….…

………

………