SKKN:Giải pháp giúp học sinh hoc tốt Đại số tổ hợp MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : ........................................................ 1. Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh học tốt Đại số tổ hợp”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn toán. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Đại số tổ hợp là một trong những nội dung toán học hay và quan trọng của chương trình toán học THPT, nội dung này luôn có mặt trong các đề thi Đại học các năm và gần đây nhất là đề thi Tốt nghiệp THQG. Thế nhưng nhiều học sinh không mấy “mặn mồi” với nội dung này. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường nhằm lẫn giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, đặc biệt học sinh hay nhằm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân. Và từ những điều đó các em thường lúng túng trong việc tìm lời giải của bài toán. Thế là những học sinh yếu, trung bình thì thụ động ngồi đợi bạn giải xong chép vào, còn những học sinh khá hơn thì rập khuôn trong lời giải, có em lại không tự tin vào lời giải riêng của mình, tiết học trở nên căng thẳng, nặng nề… làm cho các em không thích học toán tổ hợp. Do đó, việc tìm ra “giải pháp” giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên và làm cho tiết học trở nên sinh động, hào hứng, phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh, làm cho các em có niềm tin vào bản thân, khơi dậy hứng thú học tập của các em xua tan bầu không khí “căng thẳng” của tiết học là vấn đề cần thiết. Điều này cũng góp phần đạt được kết quả cao khi giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong học toán nói chung. Và ở đây tôi chủ yếu nghiên cứu toán tổ hợp của Đại số và Giải tích 11. 3.2. Nội dung đề nghị công nhận là sáng kiến: Mục đích của giải pháp: Giúp cho học sinh biết nắm vững và hiểu rõ kiến thức của toán tổ hợp hơn, và biết vận dụng kiến thức vào giải toán, giúp các em linh hoạt hơn khi lựa chọn phương pháp giải bởi các bài toán giải bằng nhiều cách, giúp cho học sinh mạnh dạn và tự tin hơn khi giải toán. Từ đó làm cho học sinh thích học toán tổ hợp hơn góp phần nâng cao kết quả học tập. Nội dung giải pháp: Điểm mới của sáng kiến : SKKN này giúp giáo viên khơi gợi hứng thú học tập của học sinh thông qua một số bài toán thực tế trong cuộc sống thường ngày. SKKN này giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng kiến thức vào giải toán bằng cách so sánh các khái niệm. SKKN này hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng toán tổ hợp từ cơ bản đến nâng cao và nêu một vài sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải toán tổ hợp. Cách thức thực hiện: + Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học toán tổ hợp của lớp trực tiếp giảng dạy và một số học sinh lớp khác. + Trao đổi với đồng nghiệp. + Nghiên cứu một số tài liệu về toán tổ hợp. Các bước thực hiện của giải pháp: a. Tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp. b. Giúp học sinh nắm vững kiến thức và biết cách vận dụng kiến thức để giải toán bằng cách hướng dẫn học sinh phân biệt các khái niệm tổ hợp: c. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán tổ hợp thường gặp. 3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp :
Trang 1CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số :
1 Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh học tốt Đại số tổ hợp”.
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn toán.
3 Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Đại số tổ hợp là một trong những nội dung toán học hay và quan trọng của chương trình toán học THPT, nội dung này luôn có mặt trong các đề thi Đại học các năm và gần đây nhất là đề thi Tốt nghiệp THQG Thế nhưng nhiều học sinh không mấy “mặn mồi” với nội dung này
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường nhằm lẫn giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, đặc biệt học sinh hay nhằm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân Và từ những điều đó các em thường lúng túng trong việc tìm lời giải của bài toán Thế
là những học sinh yếu, trung bình thì thụ động ngồi đợi bạn giải xong chép vào, còn những học sinh khá hơn thì rập khuôn trong lời giải, có em lại không tự tin vào lời giải riêng của mình, tiết học trở nên căng thẳng, nặng nề… làm cho các em không thích học toán tổ hợp
Do đó, việc tìm ra “giải pháp” giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên
và làm cho tiết học trở nên sinh động, hào hứng, phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh, làm cho các em có niềm tin vào bản thân, khơi dậy hứng thú học tập của các em xua tan bầu không khí “căng thẳng” của tiết học là vấn đề cần thiết Điều này cũng góp phần đạt được kết quả cao khi giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong học toán nói chung Và ở đây tôi chủ yếu nghiên cứu toán tổ hợp của Đại số và Giải tích 11
3.2 Nội dung đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp:
Giúp cho học sinh biết nắm vững và hiểu rõ kiến thức của toán tổ hợp hơn, và biết vận dụng kiến thức vào giải toán, giúp các em linh hoạt hơn khi lựa chọn phương pháp giải bởi các bài toán
Trang 2giải bằng nhiều cách, giúp cho học sinh mạnh dạn và tự tin hơn khi giải toán Từ đó làm cho học sinh thích học toán tổ hợp hơn góp phần nâng cao kết quả học tập
- Nội dung giải pháp:
* Điểm mới của sáng kiến :
SKKN này giúp giáo viên khơi gợi hứng thú học tập của học sinh thông qua một số bài toán thực tế trong cuộc sống thường ngày
SKKN này giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng kiến thức vào giải toán bằng cách so sánh các khái niệm
SKKN này hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng toán tổ hợp từ cơ bản đến nâng cao và nêu một vài sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải toán tổ hợp
* Cách thức thực hiện:
+ Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học toán tổ hợp của lớp trực tiếp giảng dạy và một số học sinh lớp khác
+ Trao đổi với đồng nghiệp
+ Nghiên cứu một số tài liệu về toán tổ hợp
* Các bước thực hiện của giải pháp:
a Tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp.
Khi làm bất cứ việc gì dù có khó khăn bao nhiêu đi nữa nhưng nếu “yêu thích” có “đam mê” thì chúng ta sẽ làm được, trong học tập cũng vậy Nên để tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp Tôi lồng vào bài học các bài toán thực tế bằng các câu hỏi có vấn đề Từ đó kích thích sự tò mò, muốn khám phá, muốn giải quyết vấn đề của học sinh Nhờ đó các em tiếp thu bài một cách chủ động, hào hứng và dễ dàng hơn tạo cho các em có được niềm tin, niềm vui trong học tập và điều này cũng làm cho tiết học nhẹ nhàng, sinh động hơn
Do đó, để hình thành quy tắc cộng và quy tắc nhân cho học sinh Giáo viên có thể yêu cầu
học sinh trả lời một vài câu hỏi mà học sinh thường gặp trong cuộc sống Chẳng hạn như: “ Một quán nước có 5 loại sinh tố và 6 loại nước ngọt Bạn A muốn chọn một loại thức uống Hỏi bạn A
Trang 3có mấy cách chọn? ” hay “ Bạn A có 3 áo sơmi khác nhau và 2 quần tây khác nhau Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn một bộ đồ ? ”…
Câu hỏi quá quen nên học sinh hào hứng, tích cực trả lời Giáo viên nhận xét câu trả lời và giới thiệu quy tắc cộng và quy tắc nhân Sau đó hướng dẫn học sinh sử dụng 2 quy tắc trên trả lời các câu hỏi như sau:
Câu hỏi 1:
- Chọn thức uống là sinh tố có 5 cách chọn
- Chọn thức uống là nước ngọt có 6 cách chọn
Nên theo quy tắc cộng có 5 6 11 + = cách chon một loại thức uống
Câu hỏi 2: Chọn một bộ đồ gồm 2 bước:
Bước 1 : Chọn áo có 3 cách chọn.
Bước 2 : Chọn quần có 2 cách chọn.
Vậy bạn A có 3 2 6 × = cách chọn một bộ quần áo
Tuỳ từng đặc điểm của mỗi lớp mà giáo viên có thể lồng ghép, dẵn dắt học sinh vào bài học một cách tự nhiên, khơi dậy được niềm đam mê học tập ở các em, kích thích các em khám phá kiến thức Chẳng hạn, để nêu khái niệm Hoán vị giáo viên có thể đặt câu hỏi cho lớp như sau: “ Có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu cho buổi học 5 tiết gồm: Toán, Lí, Hoá, Văn, Sinh? ”
Vấn đề đặt ra gần gủi với học sinh nên các em phấn khởi trả lời Thật nhẹ nhàng giáo viên đưa khái niệm Hoán vị vào bài học Khi học sinh đã hiểu rõ khái niệm Hoán vị, giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi trên ngắn gọn hơn là xếp 5 môn học cho một buổi học có P5 = =5! 120
cách
Lúc này, các em thấy được sử dụng kiến thức Hoán vị có thể giải đáp nhanh gọn câu hỏi và học sinh thấy được ứng dụng của Toán học vào đời sống Khi đó, giáo viên có thể cho học sinh làm thêm một vài ví dụ về bài toán Hoán vị
Tiếp theo để đưa khái niệm “Chỉnh hợp” vào bài học giáo viên có thể hỏi lớp: “Cô có 3 món quà Cô có bao nhiêu cách phát 3 món quà này cho 2 bạn A và B?”
Trang 4Lớp hào hứng trả lời, vậy là khái niệm “Chỉnh hợp” được đưa vào bài học một cách tự nhiên Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức “ Chỉnh hợp” trình bày ngắn gọn lời giải bài toán như sau:
Mỗi cách chọn 2 món quà từ 3 món quà để phát cho 2 bạn A và B là một “chỉnh hợp” chập
2 của 3 Nên có 23 ( )
3!
3 2 !
− cách phát.
Qua đây giúp các em thấy được rằng kiến thức này thật cần thiết để giúp các em giải quyết được những bài toán thực tế thật nhanh, chính xác
Cuối cùng để đưa khái niệm “ Tổ hợp” vào bài học thì giáo viên có thể hỏi lớp “Tổ 1 của lớp 11A9 có 3 nam và 7 nữ Vậy có bao nhiêu cách để tổ trưởng lập 1 nhóm trực nhật gồm 3 người?
Bài toán đặt ra đúng với thực tế của lớp nên các em trao đổi sôi nổi, hào hứng trả lời Tuy chưa có đáp án đúng nhưng các em thật sự quan tâm đến vấn đề đặt ra Thế là khái niệm “Tổ hợp” được đưa vào bài học Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi bằng kiến thức “Tổ hợp” như sau: Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử Nên có 3
10
C =120cách
b Giúp học sinh nắm vững kiến thức và biết cách vận dụng kiến thức để giải
toán bằng cách hướng dẫn học sinh phân biệt các khái niệm tổ hợp:
b 1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Bước 1: Nêu hai quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Qui tắc cộng “ Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành
động này có n cách thực hiện, hành động kia có m cách thực hiệnkhông trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhât thì công việc đó có n + m cách thực hiện ”
Qui tắc nhân ““ Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.”
Bước 2: Giải thích rõ ràng 2 cụm từ “ một trong hai hành động ” và “ hai hành động liên
tiếp ”như sau:
Trang 5“ Nếu thực hiện hành động thứ nhất hoàn thành công việc mà không cần thực hiện hành động thứ hai thì ta sử dụng quy tắc cộng để đếm số cách hoàn thành công việc”
“Để hoàn thành công việc ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động không được bỏ qua hành động nào cả thì ta sử dụng quy tắc nhân để đếm số cách thực hiện công việc”
b 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Bước 1: Phân tích và so sánh các khái niệm.
“Tổ hợp” là không kể đến “thứ tự” của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới Còn “ Chỉnh hợp” thì ngược lại, nó kể đến “thứ tự” của các phần tử được chọn ra, việc thay đổi “thứ tự” của các phần tử sẽ sinh ra cách mới, “ chỉnh hợp ” chính
là “ tổ hợp’’ rồi “ hoán vị ” “Mỗi hoán vị của n phần tử ” cũng chính là “ chỉnh hợp chập n của n
phần tử đó”
Khi đó ta có thể lập bảng tổng hợp sau:
Công thức Pn =n!
( )
k n
n!
A
n k !
=
n!
C k! n k !
=
−
Bản chất Đổi chỗ các phần
tử ảnh hưởng đến kết quả
Đổi chỗ các phần
tử ảnh hưởng đến kết quả
Đổi chỗ các phần tử không ảnh hưởng đến
kêt quả
Bài tập phân
biệt
Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn thành một hàng ngang
Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ
4 học sinh để xếp các hạng I, II, III
Có bao nhiêu cách 3 học sinh từ 4 học sinh
để quét lớp
Đáp án Số cách sắp xếp 4
bạn là số các hoán
vị của 4 phần tử
Nên có P4 =4!
( )
3 4
4!
4 3 !
4!
3! 4 3 !
−
Bước 2: Sử dụng câu hỏi phân loại:
Để giúp học sinh biết khi nào dùng hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp và khi nào kết hợp hoán
vị, chỉnh hợp, tổ hợp (thường áp dụng với bài toán kết hợp) vào giải toán Tôi dùng câu hỏi phân loại như sau:
Trang 6Câu hỏi phân loại Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
1/ Có sắp xếp thứ
tự hay không?
2/ Nếu sắp xếp thì
sắp xếp bao nhiêu
phần tử?
Tất cả( n phần tử) Chỉ k phần tử trong n
phần tử
Với câu hỏi đầu cho ta được tổ hợp, với câu hỏi 2 ta nhận được hoán vị và chỉnh hợp.
c Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán tổ hợp thường gặp.
Dạng 1: Sắp xếp các số không có chữ số 0.
- Đối với dạng toán này tuỳ theo yêu cầu bài toán mà ta áp dụng “hoán vị”, “chỉnh hợp” hay “tổ hợp
Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 5 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau
b) Có 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau
c) Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ
những số đã cho
Giải :
a) Số các số tự nhiên cần tìm là số các hoán vị của 5 số đã cho
Nên có P5 = =5! 120(số).
b) Số các số tự nhiên cần tìm là số các tổ hợp chập 3 của 5 số đã cho
Nên có 35 ( )
5!
5 3 !
c) Số các tập hợp cần tìm là số các tổ hợp chập 3 của 5 số đã cho
Nên có 35 ( )
5!
3! 5 3 !
− ( tập hợp).
Dạng 2: Sắp xếp các số có chữ số 0.
Trang 7- Đối với dạng này ta có thể áp dụng “quy tắc nhân” để chọn từ từ hoặc áp dung “chỉnh hợp” Và cần lưu ý một điều là “các số có chữ số đầu tiên phải khác chữ số 0”
Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một
khác nhau
Giải :
Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân:
Gọi số cần tìm là n abcde=
Chọn a: có 5 cách( vì a#0)
Chọn b : có 5 cách ( bỏ đi chữ số a) Chọn c: có 4 cách ( bỏ đi chữ số a, b)
Chọn d : có 3 cách chọn ( bỏ đi chữ số a, b, c)
Chọn e : có 2 cách ( bỏ đi chữ số a, b, c, d)
Nên theo quy tắc nhân có 5 5 4 3 2 600× × × × = (số)
Ngoài ra ta có thể giải gọn bằng bảng sau:
a b c d e
Số cách chọn 5 5 4 3 2 Vậy theo quy tắc nhân có 5 5 4 3 2 600× × × × = (số)
Cách 2: Sử dụng chỉnh hợp.
Vì a # 0 nên chọn a có : 5 cách ( trừ số 0)
Chọn bcde có 45 ( )
5!
5 4 !
Vậy số phải tìm có 5.A45 =600(số)
Dạng 3: Sắp xếp các số có điều kiện kèm theo.
Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số :
a) Số chẵn có 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau
b) Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chữ số hàng đơn vị là 5
Trang 8Gọi số cần tìm là n abc=
a) Vì n chẵn Vì n chẵn ⇒c chẵn ⇒ ∈c { }2,4 nên chọn c : có 2 cách
Chọn ab : có A24 cách
Theo quy tắc nhân có 2.A24 =24số.
b) Chọn c =5 có : 1 cách chọn
Chọn ab : có A24 cách
Theo quy tắc nhân có 1.A24 =12(số).
- Đối với dạng toán này cần nhắc học sinh lưu ý : Để lập số lẻ, chẵn, chia hết cho 5 thì ta chọn chữ số tận cùng trước, kế tiếp chọn chữ số đầu tiên ( nếu có chữ số 0) rồi mới chọn các chữ số còn lại Trong trường hợp lập số chẵn từ một tập hợp số nào đó có chữ số 0 thì phải chia 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Chữ số tận cùng bằng 0
Trường hợp 2 : Chữ số tận cùng khác 0
Ví dụ : Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số với
các chữ số đôi một khác nhau
Giải :
- Gọi số cần tìm là n abcde=
Vì n chẵn ⇒e chẵn ⇒ ∈e {0,2,4,6}
- Có 2 trường hợp:
Trường hợp 1:
+ Nếu e 0 = thì có 1 cách chọn e
+ Chọn 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại (bỏ 1 số 0 đã chọn) rồi xếp vào 4 vị trí a, b, c, d
có A46 cách.
Theo quy tắc nhân có 1.A46 =360số.
Trang 9Trường hợp 2:
+ Nếu e 0≠ thì e∈{2,4,6} nên có 3 cách chọn chữ số e.
+ Chọn a có 5 cách chọn (vì a 0,a e≠ ≠ )
+ Chọn 3 chữ số trong 5 chữ còn lại để xếp vào 3 vị trí bcb có A35 cách
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.A35 =900số.
Tổng cộng 2 trường hợp ta có : 360 900 1260 + = số
Dạng 5: Sắp xếp vị trí theo hàng.
- Đối với dạng này ta sử dụng hoán vị để giải
Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp 10 học sinh thành một hàng dọc?
Giải :
Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là 1 hoán vị của 10 phần tử Nên có 10
P =10! cách xếp.
Và ở đây cũng cần lưu ý học sinh là xếp theo hàng ngang làm tương tự
Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn.
- Để xếp n phần tử theo vòng tròn ta làm như sau:
Bước 1: Ta lấy cố định 1 phần tử đầu tiên.
Bước 2: Kế tiếp xếp n-1 phần tử còn lại vào n-1 vị trí còn lại giống như sắp xếp theo hàng
có Pn 1− cách xếp.
Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi quanh một bàn tròn?
Giải :
- Lấy cố đinh người đầu tiên
- Như vậy còn 9 người sắp xếp vào 9 vị trí còn lại có P9 cách xếp
Vậy số cách sắp xếp 10 người quanh bàn tròn là P9 =9! cách.
Dạng 7 : Đếm số các tổ hợp, các chỉnh hợp.
Trang 10- Đối với dạng toán này tôi hướng dẫn học sinh 2 phương pháp đếm cơ bản: “đếm trực tiếp” và “đếm gián tiếp”.
“ Phương pháp đếm trực tiếp” là phương pháp đi thẳng vào bài toán đặt ra nói nôm na là
“hỏi gì, đếm này” và công cụ chủ yếu để hỗ trợ cho phương pháp này là quy tắc cộng và quy tắc nhân
Ví dụ : Lớp 11A9 có 45 học sinh, cần chọn 1 ban chấp hành đoàn của lớp gồm 1 bí thư, 1 phó
bí thư, 2 uỷ viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải :
Bước 1: Chọn 2 học sinh từ 45 học sinh để làm 1 làm bí thư, 1 làm phó bí thư có 2 =
45
cách chọn
Bước 2: Chọn 2 học sinh trong 43 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này “không có thứ
tự” nên số cách chọn là 2 =
43
C 903 cách chọn
Vậy số cách chọn ban chấp hành lớp là : 1980.903 = 1787940 cách chọn
Đứng trước một bài toán phức tạp ta không đếm ngay được thì ta hướng dẫn học sinh phận chia bài toán đưa bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản dễ đếm hơn.Tuy nhiên để phân chia đúng thì ngoài việc học sinh phải nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân còn phải đảm bảo chia đủ các trường hợp và các trường hợp độc lập với nhau Nên thường trong quá trình phân chia học sinh
thường vi phạm tính “đầy đủ” hoặc “độc lập” dẫn đến giải sai.
Ví dụ : Đội thanh nhiên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên
Lời giải sai 1 :
+ Trường hợp 1 : Chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B có C49 cách.
+ Trường hợp 2 : Chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp C có C48 cách.
+ Trường hợp 3 : Chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C có C47 cách.
Vậy có C48 +C48+C47 =231cách
Trang 11Lời giải “sai” do đã tính lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ
chọn 4 học sinh lớp B
Lời giải sai 2 :
+ Trường hợp 1 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có 1 3 + 1 3 =
5 4 5 3
+ Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B hoặc C có 2 2+ 2 2=
5 4 5 3
+ Trường hợp 3 : Chọn 3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B hoặc C có 3 1+ 3 1 =
5 4 5 3
+ Trường hợp 4 : Chọn 1 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C có 1 3 =
4 3
+ Trường hợp 5 : Chọn 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có 2 2 =
4 3
+ Trường hợp 6 : Chọn 3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 3 1 =
4 3
+ Trường hợp 7 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có 1 3 + 1 3 =
5 4 5 3
Theo quy tắc cộng có 25 + 90 + 70 + 4 + 18 + 12 + 25 = 219 cách
Lời giải “sai” do chia thiếu trường hợp chọn 4 học sinh toàn lớp A hoặc toàn là lớp B.
Lời giải đúng :
+ Trường hợp 1 : Chọn 4 học sinh cùng một lớp có 4+ 4 =
5 4
+ Trường hợp 2 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp B có 1 3+ 2 2+ 3 1 =
5 4 5 4 5 4
+ Trường hợp 3 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp C có 1 3+ 2 2+ 3 1 =
5 3 5 3 5 3
+ Trường hợp 4 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp B và lớp C có 1 3+ 2 2+ 3 1 =
4 3 4 3 4 3
Theo quy tắc cộng có : 6 + 120 + 65 + 34 = 225 cách
“ Phương pháp đếm gián tiếp” là “đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần đếm” Phương pháp thường áp dụng cho các bài toán tìm số cách chọn thoả “ tính chất P nào đó” có quá nhiều trường hợp, mà số cách chọn “không thoả tính chất P” lại ít trường hợp hơn và làm như sau :
“ Số cách chọn thoả P = Số cách chọn tuỳ ý – Số cách chọn không thoả P”
Nên ở đây ta có thể giải bài toán có lời giải sai trên bằng cách “đếm gián tiếp” như sau :