áp dụng nguyên lí i nhiệt động lực học cho một số quá trình biến đổi trạng thái của khí lí tưởng

CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO MỘT SỐ QUÁ TRÌNH BIẾN ĐỔI TRẠNG THÁI CỦA KHÍ LÝ TƯỞNG MÃ: L16 A.. Nội dung này có khá nhiều bài tập phức tạp về các quá trình bi

CHUYÊN ĐỀ

ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ I NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO MỘT SỐ QUÁ

TRÌNH BIẾN ĐỔI TRẠNG THÁI CỦA KHÍ LÝ TƯỞNG

MÃ: L16

A MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Nhiệt học là một mảng lớn trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi Nội dung này có khá nhiều bài tập phức tạp về các quá trình biến đổi trạng thái của khí lí tưởng cần sử dụng kiến thức về nguyên lí I nhiệt động lực học (NĐLH) (định luật bảo toàn năng lượng áp dụng cho quá trình nhiệt)

Trong quá trình vận dụng nguyên lí I NĐLH học sinh thường gặp nhiều khó khăn

vì nguyên lí được phát biểu đơn giản nhưng muốn giải quyết bài toán cần có khả năng phân tích hiện tượng tốt và biết kết hợp nhiều kiến thức

Các tài liệu tham khảo về nguyên lí I NĐLH cũng khá nhiều Tuy nhiên các em vẫn còn nhiều bỡ ngỡ khi gặp các bài toán dạng này mà nguyên nhân cơ bản là do khả năng tổng hợp kiến thức còn hạn chế Để khắc phục tình trạng trên theo tôi cần tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức và xây dựng hệ thống bài tập áp dụng thì kí năng giải quyết các bài tập sẽ được nâng cao Đó chính là lí do tôi chọn chuyên đề “ Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học cho một số quá trình biến đổi trạng thái của khí lí tưởng”

II Mục đích của đề tài

- Hệ thống kiến thức về nguyên lí I NĐLH và áp dụng cho các qúa trình biến đổi trạng thái của khí lí tưởng

- Cung cấp một số bài tập cơ nhiệt điển hình và lời giải có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh

B NỘI DUNG

I Nguyên lí I nhiệt động lực học

1 Nội năng

1.1 Khái niệm:

Nội năng của hệ là năng lượng trung bình chuyển động hỗn loạn của các phân tử bao gồm tổng động năng trung bình của chuyển động nhiệt và thế năng tương tác của các phân tử tạo thành hệ U= Eđ+ Et

Eđ phụ thuộc vào T của hệ, Et phụ thuộc vào khoảng cách giữa các phân tử hay phụ thuộc vào thể tích V Vậy nội năng phụ thuộc vào nhiệt độ và thể tích U

=U(T,V)

1.2 Nội năng của khí lí tưởng

Đối với khí lí tưởng bỏ qua tương tác giữa các phân tử nên U = Eđ =U(T)

Nội năng của một phân tử: U=

Nội năng của 1 mol khí lí tưởng : U=NA KT

Độ biến thiên nội năng của khí lí tưởng giữa hai trạng thái

(i là số bậc tự do Đối với khí đơn nguyên tử i=3, khí lưỡng nguyên tử i=5, khí đa nguyên tử thì i=6)

2 Nhiệt lượng và công

2.1 Nhiệt lượng mà hệ nhận

Nhiệt lượng là năng lượng chuyển giữa một hệ và môi trường quanh nó khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa chúng

Nhiệt lượng mà hệ nhận được trong quá trình cân bằng

Khi hệ biến đổi từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) ta có

lần lượt là số mol, khối lượng của hệ

Trong quá trình đẳng nhiệt thì nhiệt mà hệ nhận được tính bằng công thức khác

2.2 Công mà hệ nhận

Một hệ có thể trao đổi năng lượng với môi trường bằng cách thực hiện công Khi một hệ biến đổi theo một quá trình cân bằng vô cùng nhỏ có biến thiên thể tích dV và

áp suất p thì hệ nhận công

Khi hệ biến đổi từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) ta có

Môi trường (TE)

Ts = TE

Hệ (T s )

Q Môi trường (TE)

Ts < TE

Hệ (T s )

Q’

Môi trường

(TE)

Ts > TE

Hệ (T s )

A=

Khi tính tích phân phải viết biểu thức của áp suất dưới dạng một hàm của V: p = p(V)

* Chú ý:

Độ lớn công mà hệ nhận được hay sinh ra

trong quá trình biến đổi bằng diện tích hình

M, N biểu diễn trạng thái 1, 2 Nếu chiều biến đổi

của quá trình theo chiều từ trái qua phải

khí thực hiện công (A<0) Chiều của quá trình ngược lại khí nhận công (A>0)

Khi một vật không sinh công hoặc nhận công mà nhận một nhiệt lượng Q thì vật sẽ tăng nhiệt độ hoặc biến đổi trạng thái ví dụ như quá trình nóng chảy thì nhiệt dung của vât C được định nghĩa là nhiệt lượng Q truyền cho một vật làm cho nhiệt độ của vật tăng lên dT C =

T

Q





Xét một vật có khối lượng đơn vị, c =

dT Q



gọi là nhiệt dung riêng của chất tạo nên

vật Nếu vật có lượng chất là 1 mol thì C =

dT Q



gọi là nhiệt dung mol của chất cấu tạo nên vật

Ngoài ra tỉ số

dT Q



còn phụ tuộc vào quá trình biến đổi của hệ:

 Đẳng tích

dT Q



=CV.

 Đẳng áp

dT Q



= CP.

3 Nguyên lí I nhiệt động lực học

Tổng đại số nhiệt lượng và công (Q+A) mà hệ nhận được trong quá trình biến đổi bằng độ biến thiên nội năng của hệ

Đối với một quá trình hữu hạn ta có:

Q và A là các giá trị đại số: Q > 0 nếu hệ nhận nhiệt

Q < 0 nếu hệ nhả nhiệt

A > 0 nếu hệ nhận công

A < 0 nếu hệ sinh công

Độ biến thiên nội năng chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối của quá trình

P M(1) N(2)

0 V1 V2

V

Khi xét một quá trình vô cùng nhỏ thì ta có :

các đại lượng vô cùng nhỏ nhưng chưa hẳn là vi phân của một hàm nào đấy (gọi là vi phân toàn chỉnh)

dU là độ tăng nội năng U, cũng vô cùng nhỏ Nó cũng là một hàm vi phân

4 Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học

Nguyên lí I nhiệt động lực học áp dụng các quá trình biến đổi của một lượng khí xác định với các trường hợp đặc biệt

4.1 Quá trình đẳng tích (V=hs, phương trình trạng thái )

Công A mà vật nhận được bằng không (A=0) vì thể tích không đổi

Theo nguyên lí I ta có:

Trong đó nhiệt lượng Q nhận được Q= nCv( =

Độ biến thiên nội năng của khí:

(vậy là nhiệt dung mol đẳng tích của chất cấu tạo nên vật)

4.2 Quá trình đẳng áp ( p= hs, phương trình trạng thái )

A=

Mà U=

Nhiệt lượng trao đổi

=>

Mà

4.3 quá trình đẳng nhiệt (T=hs, phương trình trang thái PV= hs)

Công mà hệ nhận

A=

Trong quá trình đẳng nhiệt T= hs =>

Nhiệt mà hệ nhận được

4.4 Quá trình đoạn nhiệt (hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài, Q= 0)

Xét trong quá trình biến đổi nhỏ ta có Q 0 nên dU=

Với A pdV và dU=

Theo phương trình trạng thái:RT  pV(1) =>

V

dV T

dT R

Mà

1







R

C V

=>

V

dV T

dT  

 1

1



<=>  (  1 )  0

V

dV T

dT 

Tích phân 2 vế ta được:

lnT+(  1 ) lnV C => TV  1 conste

( 2)

Vậy trong quá trình đoạn nhiệt ta có: PV conste

,

conset

Tp 







1

Công mà hệ nhận A=dU

=> A=

=

4.5 Quá trình kín - Chu trình

Chu trình là quá trình biến đổi mà trạng thái cuối trùng với trạng thái đầu

nên

Công mà hệ sinh ra trong cả chu trình A’ = hay

=A’

4.6 Quá trình dãn tự do

Quá trình dãn tự do là quá trình đoạn nhiệt trong đó không có công thực hiện trên hệ

hay bởi hệ Q=A=

II MỘT SỐ BÀI TẬP

Trong chương trình phổ thông những bài tập áp dụng nguyên lí I thường là những bài tập liên quan đến quá trình biến đổi trạng thái gồm các đẳng quá trình và các bài tập kết hợp kiến thức cơ nhiệt với lượng khí lí tưởng giam trong xi lanh Ví dụ

Bài 1:

Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1

Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

1 Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4

2 Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình

nào Vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V và trên giản

đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của

chu trình)

3 Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn

của chu trình

Bài giải:

1) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4 Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:

1 1 1

m

 , suy ra:

1 1

1

RT m V

P





Thay số: m = 1g; = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta được:

3 3

1 8,31.300

3,12.10

4 2.10

2) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:

1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;

3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và giản đồ V-T (hình 3)

P

T

0

3

4

2T0

P0

Hình 1

3)

Để tính công , trướ

c hết

sử dụng phư ơng trình trạng thái ta tính được các thể tích: V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 =

12,48.10 – 3 m3

Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:

3

23 2 2

2

V



41 0

A  vì đây là quá trình đẳng tích

Bài 2: (HSGQG năm 2007)

Một mol khí lý tưởng thực hiện chu trình thuận nghịch 1231 được biểu diễn trên hình vẽ Biết:

- Nội năng Ucủa một mol khí lý tưởng có biểu thức UkRT Trong đó k là hệ số

có giá trị tùy thuộc vào loại khí lý tưởng (k  1,5 với khí đơn nguyên tử; k2,5 với khí lưỡng nguyên tử); R là hằng số khí; T là nhiệt độ tuyệt đối

- Công mà khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 gấp n lần công mà ngoại lực thực hiện để nén khí trong quá trình đoạn nhiệt 3-1

a Tìm hệ thức giữa n, k và hiệu suất h của chu trình

b Cho biết khí nói trên là khí lưỡng nguyên tử và

hiệu suất h = 25% Hãy tính n

c Giả sử khối khí lưỡng nguyên tử trên thực hiện

một quá trình thuận nghịch nào đó được biểu diễn trong

mặt phẳng pV bằng một đoạn thẳng có đường kéo dài

đi qua gốc tọa độ Tính nhiệt dung của khối khí trong

quá trình đó

3

2

1

p2

p

p1

V

P(105P

a)

Hình a

V(l)

3

4

12,4

8

1

6,24

V(l)

Hình b

T(K

)

0

3,12

1

2

3

4

12,4

8

6,24

150

Bài giải

a) Công mà khí thực hiện được trong quá trình đẳng áp 1-2:

A12 = p1(V2-V1) = R(T2-T1)

Công trong quá trình đẳng tích 2-3: A23 = 0

Theo đề bài, công trong quá trình đoạn nhiệt 3-1 là: A31 = A 12

n

 Công thực hiện trong toàn chu trình:

A = A12 + A23 + A31 = (1 - 1

n )A12 = (1 - 1

n )R(T2-T1)

Ta lại có Q31 = 0 (quá trình đoạn nhiệt) Trong quá trình

đẳng tích 2-3

Q23= A23 + U23 = U23 = kR(T3-T2) < 0 vì T3 < T2

Như vậy khí chỉ nhận nhiệt trong quá trình 1-2:

Q = Q12 = A12 + U12 = (k+1)R(T2-T1)

Hiệu suất của quá trình

1 1

b) Thay vào (1) các giá trị: k 5; h 25% 0, 25;

2

c) Phương trình đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng: p const (2)

Ngoài ra ta còn có phương trình trạng thái: pV=RT (3)

Xét quá trình nguyên tố:

dQ dA dU pdV 5RdT (4)

2

Từ (2) và (3): pdV-Vdp = 0; pdV + Vdp = RdT  pdV 1RdT

2



Thay kết quả này vào (4): dQ 1RdT 5RdT 3RdT

Từ đó tính được nhiệt dung: C dQ 3R

dT

Bài 3:

1 mol chất khí lí tưởng thực hiện chu trình biến đổi như sau: từ trạng thái 1 với

áp suất p1= 105Pa, nhiệt độ T1=600K, dãn nở đẳng nhiệt đến trạng thái 2 có p2=

2,5.104 Pa, rồi bị nén đẳng áp đến trạng thái 3 có T3= 300K, rồi bị nén đẳng nhiệt đến

trạng thái 4 và trở về trạng thái 1 bằng quá trình đẳng tích

3

2

1

p2

p

p1

V

1

4

3

2

p

V

a) Tính các thể tích V1¸, V2, V3 và áp suất p4 Vẽ đồ thị chu trình trong toạ độ p, V (trục hoành là V, trục tung P)

b) Chât khí nhận hay sinh bao nhiêu công, nhận hay toả bao nhiêu nhiệt lượng trong mỗi quá trình và trong cả chu trình? Cho biết R=8,31 J/mol.K, nhiệt dung mol

2

v

R

C  , công 1 mol khí sinh ra trong quá trình dãn nở đẳng nhiệt từu thể

1

.lnV

V



Bài giải

1 0, 05

3

2 0, 2

3 0,1

4 5.10

b) Quá trình 1-2 : đẳng nhiệt:  U 0 hệ nhận nhiệt

bằng công sinh ra :

2

V

Khí nhận công A2:

Q=

Quá trình 3-4: U3  0 Khí nhận công và toả nhiệt:

1728J Quá trình 4-1: Q4  U4 C V  T 6232,5J

Vậy trong cả chu trình: khí nhận nhiệt Q=

Khí sinh công A=

Bài 4:

Một xylanh cách nhiệt kín hai đầu đặt nằm ngang, bên trong có pittông Bên trái pittông chứa một mol khí hyđrô, bên phải là chân không, lò xo một đầu gắn với pittông, đầu kia gắn vào thành của xylanh như hình vẽ Lúc đầu giữ pitông để lò xo không biến dạng, khí hyđrô có thể tích V1, áp suất p1, nhiệt độ T1 Thả pittông nó chuyển động tự do và sau đó dừng lại, lúc này thể tích của hyđrô là V2 =2V1 Xác định T2 và p2 lúc này Bỏ qua nhiệt dung riêng của xylanh và pittông

Bài giải

Do xylanh cách nhiệt : Q=0 nên U = A = - 1

2kx2 (1) Trong đó U =5/2 R (T2 -T1) (2)

Lò xo bị nén một đoạn x : Các lực tác dụng lên pitông : lực đàn hồi F1= Kx

Áp lực của khí trong xy lanh tác dụng lên pittông : F2 =P2 S

Phương trình trạng thái cho một mol khí hydrô: P2V2 =R.T2 và V2=2V1 =2S.x Suy ra F2 = 2

2

R x

T

Pittông đứng yên :F1=F2 kx = 2

2

R T

x hay 1

2kx2 = 2

4

R T

(3)

Thay (2) ,(3) vào (1) được : T2 =10

11T1 Phương trình cho 2 trạng thái : P1 V1 =R.T1 và P2.V2 =P2.2V1=RT2

Suy ra : P2 = 5

11P1

Bài 5:

Một bình cách nhiệt bởi 1 pittong không dãn, pittong có thể dịch chuyển trong bình không ma sát Bên trái bình có chứa 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử Bên phải

là chân không Pittong được gắn với lò xo có chiều dài tự nhiên bằng chiều dài bình

Bỏ qua nhiệt dung của pittong Xác định nhiệt dung của hệ

Bài giải :

Giả sử truyền cho khí 1 nhiệt lượng dQ

=.> thể tích khi tăng dV lò xo nén thêm

đoạn dx

Theo nguyên lí I ta có: dU= dQ+ dA

Ta có: A’= Wt = kx2 - k(x+dx)2

Xét trạng thái ban đầu của khí khi có nhiệt độ T ta có:

PV = RT hay PSx = RT => pittong cân bằng PS= Kx

Tương tự xét trạng thái sau của khí khi có nhiệt độ T +dT ta có

P’S(x+dx) = R(T+dT) => P’S= k(x+dx)

 PS( x+ dx) = R (T+dT) +P'SK( x+ dx)

 dA= - kx2+ k(x+dx)2= RT + K(x+dx)(x-dx)

= RT + R(T+dT) = RdT

<=> dU= iRT/2 = 3/2 RdT

=> dQ = dU-dA =2RdT => C=dQ/dT=2R

Bài 6:

Một xilanh cách nhiệt nằm ngang có thể tích V1+V2=Vo=80(l), được chia làm 2 phần ngăn cách nhau bởi 1 pittong cách nhiệt có thể chuyển động không ma sát Mỗi

x

phần xi lanh chứa 1 mol khí đơn nguyên tử Ban đầu pittong đứng yên, nhiệt độ 2 phần khác nhau Cho dòng điện qua maixo để truyền cho khí Q= 120 J

a) Nhiệt độ phần bên phải cũng tăng tại sao ?

b) Khi đó cân bằng áp xuất mới trong xi lanh thì P đó lớn hơn P đầu bao nhiêu?

Bài giải

a) Khi phần I được truyền nhiệt lượng Q thì khí sẽ giãn nở => pittong dịch chuyển sang trái Nên khí phần II tăng nhiệt độ

Mà khí nhận công A > 0 => U >0 nhiệt độ tăng

b) Xét khí khi ở trạng thái ban đầu:

pittong cân bằng nên P1=P2=P

Ta có PV1=RT1 và PV2 =RT2 => PVo= R(T1+T2) (1)

Khi cân bằng ở trạng thái mới:

Ta có P'V1= RT1' và P'V2' = RT2' => P'Vo=R( T1'+T2' ) (2)

Áp dụng nguyên lí I

Q =

 Q= 3/2 R( T1'+T2'-T1-T2) (3)

(P' – Po) = 2Q/3Vo hay P'=P + 1000 ( Pa)

Bài 7 ( HSGQG 2006)

Một bình hình trụ thành mỏng, diện tích tiết diện ngang S, đặt

thẳng đứng Trong bình có một pittông, khối lượng M, bề dày không

đáng kể Pittông được nối với mặt trên của bình bằng một lò xo có độ

cứng k (hěnh vẽ) Trong běnh vŕ ở phía dưới pittông có một lượng khí

lí tưởng đơn nguyên tử, khối lượng m, khối lượng mol là Lúc đầu

nhiệt độ của khí trong bình là T1 Biết rằng chiều dài của lò xo khi

không biến dạng vừa bằng chiều cao của bình, phía trên pittông là chân không Bỏ qua khối lượng của lò xo và ma sát giữa pittông với thành bình Bình và pittông làm bằng các vật liệu cách nhiệt lý tưởng

Người ta nung nóng khí trong bình đến nhiệt độ T2 ( T2 > T1) sao cho pittông dịch chuyển thật chậm

1 Tìm độ dịch chuyển của pittông

2 Tính nhiệt lượng đã truyền cho khối khí

3 Chứng minh rằng trong một giới hạn cho phép (độ biến dạng của lò xo không quá lớn để lực đàn hồi của lò xo vẫn còn tỷ lệ với độ biến dạng của nó) thì nhiệt dung

