Ngày tháng năm 2007 A- Mục tiêu: HS cần nắm chắc đợc: - định nghĩa phân thức, tính chất cơ bản của phân thức?. - Cách rút gọn phân thức; chứng minh đẳng thức.. - HS: + Ôn tập định nghĩa
Trang 1Ngày 3/ 7/ 2007
Ôn tập hè 2007
(Lớp 8 lên 9)
bài 1: Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của
nó A- Ôn tập về phân tích đa thức thành nhân tử
I- Kiến thức cần nhớ:
Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
- Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử
- Phơng pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ)
- Phơng pháp nhẩm nghiệm của đa thức
II- Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ 36 – 12x + x2
b/ xy + xz + 3y + 3z
c/ x2 – 16 – 4xy + 4y2
d/ x2 – 5x – 14 (ĐS: 7; 2)
Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử.
Ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x nh sau:
+ Bớc 1: Tìm tích ac
+ Bớc 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách
+ Bớc 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b Hai thừa số đó chính là b1; b2
Ví dụ: ở câu d, trên b1 = 2; b2 = -7
x2 – 5x – 14 = x2 + 2x – 7x – 14 = x(x +2) – 7(x + 2) = (x + 2) (x – 7)
áp dụng:
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x2 + 2x – 15 (ĐS: 3; -5)
b/ 3x2 - 5x – 2 (ĐS: 1/3; 2)
c/ 2x2 – 6x + 4 (ĐS: 4; 2)
d/ x2 - x – 2004 2005 (ĐS: 2004; 2005)
e/ 5x2 + 6xy + y2 (ĐS: 3y; 2y)
* áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ớc của hạng tử tự do)
Bớc 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:
F(x) = (x – a) P(x)
Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a
Bớc 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc, sau đó viết kết quả cho hợp lý
Trang 2Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x – x – 4
Giải:
Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0
Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) x – 2
Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thơng khi chia F(x) cho x – 2
- 1 -1 0 - 4
Vậy F(x) = (x – 2)(x2 + x + 2)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x3 – 5x2 + 3x + 9
(ĐS: (x + 1)(x – 3)2 )
Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :
a/ (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8
b/ n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6
Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích:
a/ x7 + x5 + 1 = x7 + x6 –x6 + x5 +1 = … = (x = (x2 + x + 1)(x5 +x4 – x3 – 1) = … = (x=
= (x + 1)2(x – 1)(x3 + x2 + x – 1)
b/ x11 + x + 1 = x11 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x9 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x9 – x8 + x6 – x5 + x3 – x2 + 1)
B- Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong
giải toán
I – Chứng minh quan hệ chia hết:
Bài 1: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 với mọi n N
Giải:
Phân tích thành nhân tử A = n(n3 + 6n2 +11n + 6)
Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n3 + 6n2 +11n + 6 thành nhân tử
A = n(n + 1)( n2 +5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)
Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;
n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4 A 8
Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A 3
Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A 3.8 hay A 24
Bài 2: Chứng minh rằng: A = 2222 + 5555 7
Giải:
Cách 1: A = (2222 – 122) + (5555 + 155)
= (22 – 1)(22 21 + 2220 + … = (x + 1 ) (55 + 1)(55 54 – 5553 + … = (x + 1)
M N
= 21M + 56 N
Mà 21M 7 ; 56N 7 A 7
Cách 2: Dùng đồng d:
Ta đã biết :
Mặt khác
Hay 2222 + 5555 7
56 0(mod 7)
55 1(mod 7)
1 1(mod 7)
22 1(mod 7)
22 55 0(mod 7)
55 1(mod 7)
Trang 3Bài 3: Chứng minh rằng A = a + b + c – 3abc chia hết cho a + b + c
Giải:
áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Thay biểu thức này vào A ta đợc :
A = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= [ ( a + b)3 + c3 ] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [ (a + b)2 – (a + b)c + c2- 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c A chia hết cho a + b + c
II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức:
Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:
A =
Giải:
*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:
x3 – x2 – 10x – 8 = (x + 1)(x + 2)(x – 4)
Vậy ĐKXĐ: x - 1; x – 2; x 4
*Phân tích thành nhân tử:
x3 – 5x2 – 2x + 24 = (x + 2)(x - 3)(x – 4)
Rút gọn A =
Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau
đó rút gọn phân thức sau:
A = Giải:
B =
ĐKXĐ: x 1
Rút gọn: B =
Bài 6: Chứng minh A = n3 + 6n2 + 8n 24
với mọi n N chẵn
Giải:
A = n(n + 2)(n + 4)
Thay n=2k A=8k (k+1)(k+2)
Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp 3
ƯCLN (8,3) = 1 A 24
Bài 7 : cho a+b+c = 0 chứng minh a3 +b3+c3 = 3abc
Giải:
Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0
a3 +b3+c3 – 3abc = 0
a3 +b3+c3 = 3abc
Bài 8: Rút gọn các phân thức:
a/ (ĐS: )
b/ (ĐS : )
III – Giải ph ơng trình, bất ph ơng trình :
Bài 9: (Bài 1 - đề thi cấp 3 năm 2007)
1/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1
2/ Giải phơng trình: x2 – 3x + 2 = 0
Bài 10: Giải phơng trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192
Giải:
Biến đổi phơng trình đã cho đợc: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
(x + 1)2(x – 1)(x + 3) = 192
(x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192
Đặt x2 + 2x – 1 = y
3 2
10 8
3 2
x x x
x x
2 2
( 3) ( 3) ( 1)
x x
2
( 3)( 1)( 1)
( 1)
x x
2
(x 3)(x 1)
x
Trang 4Phơng trình đã cho thành: (y + 2) (y – 2) = 192 … = (x y = 14
Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5
Với y = - 14 giải ra vô nghiệm
Vậy S =
Bài 11: Giải bất phơng trình sau: x2 – 2x – 8 < 0
Giải:
Biến đổi bất phơng trình đã cho về bất phơng trình tích:
x2 – 2x – 8 < 0 x2 – 4x + 2x – 8 < 0 (x – 2)(x + 2) < 0
Lập bảng xét dấu:
x + 2 - 0 + +
(x+2)(x- 4) + 0 - 0 + Vậy nghiệm của bất phơng trình là: - 2 < x < 4
Bài tập về nhà: Làm bài 80 – 88(42, 43) ÔTĐ8.
Ngày tháng năm 2007
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Cánh chia các đa thức bằng các phơng pháp khác nhau
- Nội dung và cách vận dụng định lý Bơdu
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính
bỏ túi
- HS: + Ôn tập về phép chia các đa thức
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
GV kiểm tra việc làm bài 80 – 88(42, 43)
ÔTĐ8 của HS Chữa bài
Nêu cách chia hai đa thức đã sắp xếp
theo lũy thừa giảm dần của biến?
HS: Mở vở bài tập của mình để xem lại
… = (x
Nêu cách chia hai đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến?
3; 5
Trang 5Hoạt động 2: Luyện tập
I - Định lý Bơdu:
D trong phép chia đa thức F(x) cho nhị thức
x – a là một hằng số bằng F(a)
Bài 1: Tìm d trong phép chia đa thức:
F(x) = x 2005 + x 10 + x cho x – 1
Bài 2: Tìm số a để đa thức
F(x) = x 3 +3x 2 +5x + a chia hết cho
x + 3
H? Còn cách nào khác không?
II – Tìm đa thức thơng:
1 Chia thông thờng: (SGK)
2 Phơng pháp hệ số bất định:
Dựa vào mệnh đề: Nếu hai đa thức P(x)
= Q(x) Các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức
phải có hệ số bằng nhau
Ví dụ: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = 2x2 - 4x – c
Nếu P(x) = Q(x) a = 2; b = - 4;
c=- 1
Bài 3: Với giá trị nào của a, b thì đa thức:
F(x) = 3x 3 +ax 2 +bx + 9 chia hết cho g(x) =
x 2– 9 Hãy giải bài toán bằng 2 cách khác
nhau.
H? Còn cách làm nào khác không?
Cách 3: (PP xét giá trị riêng)
Gọi thơng của phép chia đa thức F(x) cho
G(x) là P(x)
Ta có: 3x3 +ax2 +bx + 9
= P(x).(x + 3)(x – 3) (1)
Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên lần lợt
cho x = 3 và x = - 3, ta có:
III –
Tìm
kết quả khi chia đa thức F(x) cho nhị thức
x – a bằng sơ đồ Hoocne
(Nhà toán học Anh thế kỷ 18)
Nếu đa thức bị chia là F(x) = a0x3 + a1x2 +
a2x + a3 ; đa thức chia là
G(x) = x – a ta đợc thơng là
Q(x) = b0x2 + b1x + b2 ; Đa thức d là r
Ta có sơ đồ Hooc ne để tìm hệ số b0; b1 ; b2
của đa thức thơng nh sau:
HS: Ghi vào vở của mình
HS làm bài 1:
Theo định lý Bơdu phần d trong phép chia F(x) cho x – 1 là F(1)
F(1) = 12005 + 110 + 1 = 3 Bài 2:
Theo định lý Bơdu thì F(x) (x + 3) khi F( -3)
= 0 Hay (- 3)3 +3(- 3)2 +5(- 3) + a = 0 a = 15 HS: cách 2: thực hiện phép chia thông th-ờng, d là a – 15 = 0 a = 15
HS ghi bài … = (x
HS làm bài 3:
Cách 1: Chia đa thức F(x) cho G(x) bằng cách
chia thông thờng đợc d là (b + 27)x + (9 + 9a)
Để F(x) G(x) thì (b + 27)x + (9 + 9a) = 0 với mọi x
Đáp số: a
= 1; b =
-27
Cách 2: ta thấy F(x) bậc 3; G(x) bậc hai nên
th-ơng là một đa thức có dạng mx+ n (mx + n)(x2 – 9) =3x3 +ax2 +bx + 9
mx3 +nx2–9mx – 9n =3x3+ax2 +bx + 9
HS làm bài 4:
Chia các đa thức:
a (x 3– 5x 2 +8x – 4) : (x – 2)
b (x 3– 9x 2 +6x + 10) : (x + 1)
c (x 3– 7x + 6) : (x + 3)
Đáp số:
1
m b a
Trang 6a0 a1 a2 a3
a b0
=a0
b1
= ab0+a1
b2
= ab1+a2
r=
ab2+a3
a x - 3x + 2
b x2 - 10x +16 d - 6
c x2 -3x + 2
Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa
- Làm bài tập 80, 81, 84 tr 27 NCCĐ
Ngày tháng năm 2007
A- Mục tiêu:
HS cần nắm chắc đợc:
- định nghĩa phân thức, tính chất cơ bản của phân thức
- Cách rút gọn phân thức; chứng minh đẳng thức
- Vận dụng làm tốt các bài tập liên quan
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập đại 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính bỏ túi
- HS: + Ôn tập định nghĩa phân thức, tính chất cơ bản của phân thức; cách rút gọn phân thức; chứng minh đẳng thức
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập đại 8; máy tính bỏ túi
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
GV: Chữa các bài tập đã ra ở tiết trớc.
H? Nêu định nghĩa; tính chất cơ bản
của phân thức?
H? Nêu cách rút gọn phân thức?
HS: Chữa bài tập đã ra ở tiết trớc … = (x HS:
Nêu định nghĩa; tính chất cơ bản của phân thức.
Nêu cách rút gọn phân thức … = (x
Trang 7Hoạt động 2: Luyện tập
GV cho HS củng cố lại kiến thức đã
học trong năm học bằng cách nêu
những câu hỏi … = (x
I – Kiến thức cần nhớ:
H? Để c/m đẳng thức ta làm thế nào?
GV kết luận:
Để c/m đẳng thức nên biến đổi vế phức tạp để
có kết quả so sánh với vế còn lại và kết luận,
hoặc đồng thời biến đổi 2 vế và so sánh kết
quả nhận đợc
II – Bài tập:
Bài 1: Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng
nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng
thức sau:
Bài 2:
a, Chứng minh:
với x >
y > 0
b So sánh:
và
Bài 3: Rút gọn các phân thức:
Bài 4: (Bài 12(59) ÔTĐ8)
Tìm x biết:
a a 2 x + 4x = 3a 4– 48
I – Kiến thức cần nhớ:
1 ĐN: Phân thức đại số là biểu thức dạng , trong đó A, B là các đa thức;
B 0
2 Hai phân thức nếu A D = B C 3.Tính chất cơ bản của phân thức: (M 0)
(N là nhân tử chung)
4 Rút gọn phân thức:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)
để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
5 Để c/m đẳng thức … = (x
HS làm bài tập 1:
a A(3x – 1) = (3x + 1)(9x2 – 6x + 1) A(3x – 1) = (3x + 1)(3x - 1)2
A = 9x2 – 1
b A(x2 + 4x +4) = (x2 – 4)(x2 + 3x + 2) hay A(x + 2)2 = (x + 2)2(x – 2)(x + 1)
A = (x – 2)(x + 1) = x2 – x – 2
Bài 2:
Bài 3: HS làm và đa ra đáp số nh sau:
2
2
/
/
4
a
b
A x
2 2
2 2
x y x y
x y x y
2005 2004
2005 2004
M
2005 2004
2005 2004
N
yz xz xy A
x y z
A B
A C
B D
A A M
B B N
: :
A A N
B B N
2 2
5 (1 2 )
6 3( 3)
1 4 2
y x a
x x b x x c x
Trang 8b a x + 5ax + 25 = a
Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa
- Làm bài tập sau:
Bài 1: Rút gọn phân thức:
Bài 2: Cho Tính ( Gợi ý: áp dụng
kết quả: Cho a + b + c = 0 suy ra a3 +
b3 + c3= 3abc )
Ngày tháng năm 2007
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Tìm điều kiện xác định của phân thức
- Chứng minh đẳng thức, rút gọn phân thức
- Tính giá trị của biểu thức … = (x
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính
bỏ túi
- HS: + Ôn tập về việc tìm điều kiện xác định của phân thức; chứng minh đẳng thức, rút gọn phân thức
+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
GV kiểm tra việc làm bài tập của HS.
Chữa bài tập đã ra … = (x HS đọc cách làm các bài tập về nhà
4
1
a
x b
x x x
0
x2y z2 2
yz xz xy A
x y z
Trang 9H? Phân thức
Đ xác định khi nào?
H? Phân thức M bằng 0 khi nào?
Hoạt động 2: Luyện tập
GV cho HS ghi lại các kiến thức cần
ghi nhớ:
Bài 1: Cho biểu thức:
a Tìm
điều kiện của x để giá trị của biểu thức A
đ-ợc xác định.
b Rút gọn A.
c Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A
bằng 2.
Bài 2 (B53(26)- SBT8)
Tìm giá trị
của x để giá
trị của phân
thức bằng 0
Hớng dẫn: Phân thức xác định khi
x 0; x 2
Đáp số: Không có giá trị nào thỏa mãn
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a tại x = - 8
b tại x =
1000 001
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để tại
đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số
nguyên:
HS ghi:
Xét phân thức của biến x: Đ
+ Phân thức xác
định khi B(x) 0, từ đó suy ra x = … = (x
+ Phân thức M =
0 khi + Phân thức M có giá trị dơng khi A(x); B(x) cùng dấu
+ Phân thức M có giá trị âm khi A(x) và B(x) trái dấu
HS giải TT bài 1:
a
b
c
(thỏa mãn ĐK của ẩn)
Vậy A = 2
*HS làm bài 3:
a ĐS: Rút gọn đợc phân thức (ĐK: x1/
3 ; ĐS: 8/ 25 )
b ĐS : (ĐK: x- 2; x 1)
*HS làm bài 4 và đa ra ĐS:
a
c C = 3x2 + 8x + 33 +
131 là số nguyên tố
*HS làm
( ) ( )
A x M
B x
2 3
4
x A
x x
x x
2
x x x
x x
2 2
3
x x
x x
2
x x
x x x
( ) ( )
A x M
B x
( ) 0 ( ) 0
A x
B x
x x x
6 ( 2)( 2)
x A
x x
6
(x 2)(x 2) x
1
x
3 1
x
x
1 1
x
1; 2; 4;5
x
131 4
x
(31) 1; 131 3;5; 127;135
U x
Trang 10Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
GV hớng dẫn
HS làm: A = 1
-
bài 5 và đa ra ĐS:
GV hớng dẫn HS làm: A = 1 -
Đặt = y A = y2 – 4y + 1 = (y- 2)2 –
3 - 3 minA = - 3 y = 2 hay
x = 1/ 2
Hoạt động 3: Hớng dẫn về nhà
- Nắm vững cách làm và cách trình bày các bài tập đã chữa
- Làm bài tập sau:
Bài 1: Tìm giá trị của x để giá trị của
phân thức bằng 0.
Bài 2: Tìm giá trị nguyên của biến x để
tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:
(b ĐS : ; d ĐS: x = - 1 )
Bài 3: Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
(ĐS: Amin = 3/ 4 x = 3 )
Ngày tháng năm 2007
A- Mục tiêu:
HS cần nắm đợc:
- Vận dụng tốt tính chất của phân thức để thực hiện các phép tính về phân thức
- Làm thành thạo bài tập chứng minh đẳng thức
- Làm bài tập tổng hợp liên quan đến giá trị phân thức
B- Chuẩn bị của GV và HS:
- GV: Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; Bảng phụ ghi sẵn câu hỏi, bài tập, máy tính
bỏ túi
- HS: + Ôn tập về tính chất của phân thức, các phép tính về phân thức
x x x
2
4 1
x x
2 2
4 1
x x A
x
2
4 1
x1x x
2 2
x x
x x
2
x x
1; 3; 5
x
2 2
x x A
x x
Trang 11+ Sách nâng cao chuyên đề; sách ôn tập hình 8; máy tính bỏ túi.
C- Tiến trình tiết dạy- học:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
H? Nêu thứ tự thực hiện các phép tính
về phân thức?
H? Nêu cách chứng minh đẳng thức?
HS: … = (x làm trong ngoặc tr ớc, rồi đến nhân chia, đến cộng trừ.
Hoạt động 2: Luyện tập
GV cho HS làm một số bài tập sau:
Bài 1: B41(89) ÔT
Thực hiện phép tính:
Đ
Bài 2:
Bài 3: Cho a + b + c = 0 (1); abc 0 (2)
HS:
Làm bài 1 và đa ra đáp số:
HS làm bài 2: Biến đổi vế trái để đợc kết quả là vế phải
HS làm bài tập 3: Sử dụng biểu thức (1)a2
= b2 + c2 + 2bc Thế vào mẫu thứ nhất ta đợc – 2bc Thế vào mẫu thứ hai ta đợc – 2ac Thế vào mẫu thứ ba ta đợc – 2ab
Tiếp theo, tính tổng 3 phân thức sẽ suy ra kết quả
HS làm bài 5 và đa ra đáp số:
a
b x > 1
2
2
2
/
/
x
a A
x x
b B
x
d D
2 2
2
/
1 :
4
/
:
4
3
a
a
b
x
x
/ 4( 2) / 2 1 / 2
1 /
( 1)( 2)
a x b c x
x d
x x
1 1
A x
