SKKN sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên

Từ những lý do trên, sáng kiến kinh nghiệm được chọn với đề tài : “Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác trong hình phẳn

SỞ GD & ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT BÌNH MINH

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

1 Đinh Hồng Chinh

Chức vụ: Giáo viên

Học vị: Cử nhân sư phạm Toán

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình

Số điện thoại: 0936850333

2 Đỗ Thị Lan

Chức vụ: Giáo viên

Học vị: Cử nhân sư phạm Toán

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình

Số điện thoại: 0919222356

3 Nguyễn Thị Lan Hương

Chức vụ: Giáo viên

Học vị: Cử nhân sư phạm Toán

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình

Số điện thoại: 01668607570

PHẦN MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Giả thuyết khoa học 3

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Ý nghĩa của đề tài 4

7 Cấu trúc của đề tài 4

NỘI DUNG 5

CHUYÊN ĐỀ 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 5

1 Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng 5

2 Bài tập về phương trình đường thẳng 8

CHUYÊN ĐỀ 2 XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC 59

1 Giải tam giác khi biết tính chất các đường trong tam giác 59

2 Một số bài toán giải tam giác khi biết các tính chất của tam giác: 79

CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC 87

BÀI TOÁN: HÌNH BÌNH HÀNH 87

BÀI TOÁN: HÌNH THANG 98

BÀI TOÁN: HÌNH THOI 113

BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT 120

BÀI TOÁN: HÌNH VUÔNG 132

KẾT LUẬN 149

PHỤ LỤC 150

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò rất quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong toán học phổ thông, các bài toán hình học phẳng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán các cấp, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng… và thường xuất hiện dưới dạng là bài toán khó trong đề Đề bài của bài toán hình học phẳng tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải Trước những vấn đề trên chúng tôi nhận thấy cần đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải quyết các vấn đề của các bài toán đó

Hình học phẳng là một trong những nội dung cơ bản và rất hay của Toán phổ

thông, cũng là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Tuy vậy,

tài liệu tham khảo đầy đủ về dạng bài tập này còn ít, chủ yếu nằm rải rác ở nhiều tài liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải Việc sử dụng phương pháp nào cho một bài toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung của bài toán và kinh nghiệm của người giải Chúng tôi nhận thấy cần phải có hệ thống cơ sở lý thuyết, phương pháp, cũng như bài tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp các em dễ dàng và chủ động rèn luyện kĩ năng cho bản thân Có như vậy mới có thể vừa tích cực hóa được việc học của người học, vừa rèn luyện được tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời

bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh

Từ những lý do trên, sáng kiến kinh nghiệm được chọn với đề tài : “Sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác,

tứ giác trong hình phẳng”

2 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học phẳng, tạo nguồn tài liệu đầy đủ và dễ hiểu nhất cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán

Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tổng hợp và phân dạng các bài tập hình học phẳng

- Chỉ ra từng phương pháp, hướng đi cho các dạng bài tập

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán hình học phẳng ở trường trung học phổ thông trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán thường gặp về hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu, phân tích và tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho các bài toán

6 Ý nghĩa của đề tài

Tạo nguồn tài liệu khá đầy đủ và chi tiết cho học sinh, cũng như giáo viên tham khảo, trong quá trình dạy và học Nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán, nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT nói chung và bài toán hình học phẳng nói riêng

7 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung sáng kiến gồm 3 chuyên đề: Chuyên đề 1 Phương trình đường thẳng

Chuyên đề 2 Xác định các yếu tố trong tam giác

Chuyên đề 3 Xác định các yếu tố của tứ giác

Trong mỗi phần, đều có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, phương pháp giải cho từng dạng, ví dụ và bài tập tự luyện

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan

1 Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng

1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ur 0r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

1.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ nr 0r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với 

Nhận xét: – Nếu nr là một vectơ pháp tuyến của  thì knr (k  0) cũng là một vectơ pháp tuyến của 

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến

– Nếu ur là một vectơ chỉ phương và nr là một vectơ pháp tuyến của  thì ur nr

1.3 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M0(x y0; 0) và có vectơ chỉ phương ur  ( ;u u1 2)

Phương trình tham số của 0 1

A v



1.4 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M0(x y0; 0) và có vectơ chỉ phương ur  ( ;u u1 2)

1.5 Phương trình tham số của đường thẳng

PT ax by  c 0 với a2b2 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax by  c 0 thì  có vectơ pháp tuyến là

( ; )



r

n a b và vectơ chỉ phương ur   ( b a; ) hoặc ur  ( ;b a)

– Nếu  đi qua M0(x y0; 0) và có vectơ pháp tuyến nr  ( ; )a b thì phương trình của  là:

a x( x0) b y( y0)  0

Các trường hợp đặc biệt:

 đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của : x y 1

a b

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 

c = 0 ax by  0  đi qua gốc toạ độ O

a = 0 by c 0  // Ox hoặc  Ox

b = 0 ax c 0  // Oy hoặc  Oy

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 đi qua điểm M0(x y0; 0) và có hệ số góc k: Phương trình của : yy0 k x( x0)

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

1.6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 và 2: a x b y2  2 c2  0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

0 0

1.7 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 (có VTPT nr1 ( ; )a b1 1 ) và

1 2

1 0

0 2

1 2

1 2

1

90

;

;180

90

;

;,

n n khi n

n

n n khi n

n

2 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1

1 1

2 1 2 1 2

1

;cos

;

cos

b a b a

b a b a n

n

n n n n

1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và điểm M0(x y0; 0)

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và hai điểm M x( M;y M), N x( N;y N) 

– M, N nằm cùng phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

– M, N nằm khác phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 và 2: a x b y2  2 c2  0cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

2 Bài tập về phương trình đường thẳng

2.1 Các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng

 Một số bài toán thường gặp:

+  đi qua hai điểm A x( A;y A) , (B x B;y B) (với x A x B, y A y B):

Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của

một đường thẳng

 Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d

– Xác định I = d  (I là hình chiếu của M trên d)

– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM

Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM Khi đó:

M đối xứng của M qua d    

 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ,

ta có thể thực hiện như sau:

– Nếu d // :

+ Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua 

+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d

– Nếu d  = I:

+ Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua 

+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I

 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta có thể thực hiện như sau:

– Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I

– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d

Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M(1; 2)  và có một vec

tơ chỉ phương ur  (2; 1) 

Giải

+) Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;-2) và có vec tơ chỉ phương là ur  (2; 1)  nên

phương trình tham số của đường thẳng là :

n Vậy phương trình tổng quát của là : 1x 1 2 y2  0 x 2y 3 0

Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M(1; 2) và có một vectơ pháp tuyến là nr  (2; 3) 

+) Vì  đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên  có vec tơ chỉ phương uuurAB (2; 2)

Phương trình tham số của  là:  1 2

+) Vì đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là uuurAB (2; 2)nên  có vec tơ pháp tuyến

là nr   ( 2; 2) Vậy phương trình tổng quát của là

+) Đi qua M( 1; 2)  và có hệ số góc k3

 có hệ số góc k = 3 nên  có vec tơ chỉ phương là: ur  (1;3)

 đi qua M(-1 ; 2) và có vec tơ chỉ phương là ur  (1;3) nên có phương trình là:

+) Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là nrd  (2; 1) 

Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên  nhận nrd  (2; 1)  làm vec tơ pháp tuyến Vì  đi qua A(3; 2) và có vec tơ pháp tuyến là nr  (2; 1)  nên  có phương

+) Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là urd  (2; 1)  Vì  vuông góc với d nên 

nhận vectơ chỉ phương của d làm vec tơ pháp tuyến  nr  (2; 1)  Đường thẳng  đi qua B(4 ;-3) và có vec tơ pháp tuyến nr  (2; 1)  nên  có phương trình tổng quát là: 2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0

+) Vì đường thẳng  có vectơ pháp tuyến là nr  (2; 1)  nên  có vec tơ chỉ phương là

Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2)

a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB

b) Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam giác ABC

b) + Ta có: AH  BC nên AH nhận vec tơ uuurBC= (3; 3) là vectơ pháp tuyến của AH

ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận uuurBC= (3; 3) làm vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát của (AH) là:

B C M

x x x

y y y

AM là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp 7; 7

Ví dụ 1.8 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d:

2x  y 3 0và điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d đó

Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  Suy ra H     '

Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ

+ ) Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng  đi qua I và A’ nên có vec tơ pháp tuyến là: n r2; 11 

Ví dụ 1.10 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d:

2x  y 1 0 qua điểm I(2;1)

Giải

+) Chọn A(0;1) thuộc d

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I Suy ra I là trung điểm của AA’

Suy ra A’(4;1)

+) Vì d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(2;1) nên d’ đi qua A’ và d'P d

Suy ra d’ có vec tơ pháp tuyến là n r2; 1 

Vậy d’ có phương trình là: 2x  y 7 0

Ví dụ 1.11 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh

có tọa độ là M(2;1),N(5;3), (3; 4)P 

Giải:

A

B

N M

P

Giả sử M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Ta có: BC//MN nên đường thẳng BC đi qua P(3; 4)  nhận VTCP là: uuuurMN  (3; 2) suy ra

Bài 4 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:

a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3;

8)

d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)

Bài 5 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và

song song với đường thẳng d:

Bài 6 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d:

Bài 7 Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các

đường cao của tam giác với:

2.1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 và 2: a x b y2  2 c2  0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

0 0

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:

– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng

– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó

Ví dụ 2.1 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1)

Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1 ; 1)

Từ phương trình đường thẳng 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào 1 ta được

2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0  10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường thẳng này không có điểm chung

Vậy hai đường thẳng 1 và 2 song song với nhau

Hệ này có vố số nghiệm nên 1và 2 trùng nhau

Ví dụ 2.2 Cho hai đường thẳng d mx:  5y  1 0 àv  : 2x  y 3 0Tìm m để hai đường thẳng:

a) cắt nhau b) song song c) trùng nhau

Vậy với m  -10 thì hai đường thẳng d và  cắt nhau

b) Để hai đường thẳng d và  song song thì

Vậy với m = -10 thì hai đường thẳng d và  song song

c) Để hai đường thẳng d và  trùng nhau thì

Ví dụ 2.3 Cho hai đường thẳng  d x3y 7 0 àv   4x5y 6 0.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và đồng qui với hai đường thẳng trên

Bài 1 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ

độ giao điểm của chúng:

Bài 2 Cho hai đường thẳng d và  Tìm m để hai đường thẳng:

a) cắt nhau b) song song c) trùng nhau

Bài 6.Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0)

a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác

b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui

2.1.3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và điểm M0(x y0; 0)

+ Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by  c 0 và hai điểm M x( M;y M), N x( N;y N) 

– M, N nằm cùng phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

– M, N nằm khác phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

+ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 và 2: a x b y2  2 c2  0cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam

giác ABC ta có thể thực hiện như sau:

Cách 2:

– Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng

AB, AC

– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2)

+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong

+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài

Ví dụ 3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:

Ví dụ 3.4 Cho tam giác ABC có A (3;5) và B2; 3 , C1;1

a) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC (HBC)

b) Tính diện tích tam giác ABC

Đường thẳng  : 3x 4y 12  0 có vec tơ pháp tuyến là n r3; 4 

Đường thẳng d song song với đường thẳng  : 3x 4y 12  0nên đường thẳng d có vec

tơ pháp tuyến là n r3; 4 .Nên đường thẳng d có dạng : 3x 4y c 0

Vì đường thẳng d cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 nên có

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là : 3x 4y 16  0 và 3x 4y  4 0

Ví dụ 3.7 Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho

Bài 9 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C trên đường thẳng : x 2y  8 0

sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt)

c) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d: 4x 3y  2 0,  :y  3 0 d) Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng

Bài 13 Cho đường thẳng : x  y 2 0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2)

a) Chứng minh đường thẳng  cắt đoạn thẳng AB

b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng  c) Tìm điểm O đối xứng với O qua 

d) Trên , tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất

2.1.4 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y1  1  c1 0 (có VTPT nr1 ( ; )a b1 1 )

1 2

1 0

0 2

1 2

1 2

1

90

;

;180

90

;

;,

n n khi n

n

n n khi n

n

2 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1

1 1

2 1 2 1 2

1

;cos

;cos

b a b a

b a b a n

n

n n n n

Đường thẳng 1 có hệ số góc k1 = 3  k1.k2 = 3.(-3)= 0 1 và 2 vuông góc với nhau

Ví dụ 4.3 : Viết phương trình đường thẳng qua A( 2 ; 1 ) và tạo với đường thẳng 2x +

3y + 4 = 0 một góc bằng 450

Giải :

Gọi d có phương trình: Ax +By + C =0 (A2 +B2 > 0)

d qua A(1;2) nên :A +2B + C = 0 Do d tạo với :2x+3y +4 = 0 góc 450 nên

b) d: (m3)x(m1)y m  3 0, : (m2)x(m1)y m    1 0, 900

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với:

a) A(6; 2),: 3x2y   6 0, 450 b) A( 2;0), :x3y   3 0, 450c) A(2;5),:x3y   6 0, 600 d) A(1;3),:x   y 0, 300

Bài 5 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là

3x  y 5 0

a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông

b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông

2.2 Các bài tập nâng cao về phương trình đường thẳng

Dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học Để giải được các bài tập khó về phương trình đường thẳng ta cần nắm chắc các kiến thức và các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng Vì khi làm các bài tập này học sinh cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương trình đường thẳng Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra 3 dạng viết phương trình đường thẳng mà chúng ta bắt gặp nhiều nhất trong các đề thi đại học và cao đẳng

Loại I: Viết phương trình đường thẳng khi biết 1 điểm thuộc đường thẳng và tọa

độ véc tơ pháp tuyến, chỉ phương

y y y

G là trọng tâm tam giác ABC thì

+) Nếu trong tam giác cho đường trung tuyến thì cần liên hệ các tính chất sau

Sử dụng công thức trung điểm, công thức tính trọng tâm Vì thế cần tham số hóa tọa

độ điểm cần tìm và áp dụng công thức trung điểm, trọng tâm để làm

Giao điểm của hai đường trung tuyến là trọng tâm của tam giác

+) Nếu giả thiết cho 1 đường cao Giả sử cho tam giác ABC có AH là đường cao có

+) Nếu trong tam giác cho đường phân giác trong AD thì cần liên hệ tới tính chất lấy

MAC, M' đối xứng với M qua đường phân giác AD thì M'AB

+) Đường trung trực của một cạnh đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh ấy Nên

sử dụng công thức trung điểm và quan hệ vuông góc để viết phương trình đường thẳng

P

+ Do A(1;3) không thuộc vào hai đt d x1:  2y  1 0,d2: y  1 0 nên giả sử hai trung tuyến là BP x 2y  1 0 và CN y  1 0 Với N, P là hai trung điểm của AB và AC

+ Gọi B b(2  1; )b BC x:  2y  1 0 trung điểm ; 3

Vì MA, MCuuuur uuur cùng phương   a 2 C 4;3 Vậy BC x:  8y 20  0

Câu 3 Cho tam giác ABC có C(5; 2)  , trung tuyến AM và đường cao AH có phương trình lần lượt là 7x y 10  0, 7x 3y  2 0 Viết phương trình chứa cạnh AB và tính

diện tích tam giác ABC

Giải:

A

B C

M H

+ Tọa độ của đỉnh A là giao của hai đường trung tuyến AM và đường cao AH là

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x:  3y  5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x  y 5 0;

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x:  3y  5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x  y 5 0; d x:  3y  5 0

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x  y 1 0,

2 : 2 – –1 0 

d x y Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2uuurMA MBuuur 0r

Giải

 Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)

Từ điều kiện 2uuurMA MBuuur 0r tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình

đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1:x  y 1 0, d2: – 2x y  2 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình

đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1: 3x  y 5 0, d2:x  y 4 0 lần lượt tại A, B sao cho 2MA– 3MB0

HD

MA MB

MA MB

5 5 2( 1) 3( 1)

B

A

C

 Đường thẳng BC qua B và vuông góc với d1  (BC) : 4x  3y  5 0

Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ: 4x 3 5 0

 y 

x y  C( 1;3)  Gọi B là điểm đối xứng của B qua d2  B (4;3) và B (AC)

Đường thẳng AC đi qua C và B (AC) :y  3 0

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ:  3 0

G

Gọi M là điểm đối xứng của B qua d  M( 6;13)   (AC)

Giả sử A(5 2a; )  a d C(8 2a;1  a) Do uuur uuuurMA MC, cùng phương  a 2 

(4;3)

C

Vậy: (BC) :x 8y 20  0

Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam

giác là 5x 2y  6 0 và 4x  7y 21  0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc toạ độ

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có

phương trình d1: x  y 1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x 2y  2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC

AB: x  y 2 0, phương trình cạnh AC: x 2y  5 0 Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC

HD

B

A

C G

Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường

thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho uuurAE  2uuurEB Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là 2;13

Gọi M là trung điểm của EC Ta có 2

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của K( 1; 0) 

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0

Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình

đường phân giác trong góc A là (d1): x  y 2 0, phương trình đường cao vẽ từ B là (d2): 2 –x y  1 0, cạnh AB đi qua M(1; –1) Tìm phương trình cạnh AC

Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A,

phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là x 2y  1 0 và 3x  y 5 0 Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;–3)

Giải

B

A

C M

 Đường thẳng AB có VTPT: nr1 (1; 2) Đường thẳng BC có VTPT nr2 (3; 1)  Đường thẳng AC qua M(1; –3) nên PT có dạng: