Hệ thống các dạng và phương pháp giải bài toán dao động tắt dần

Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt dừng lại sau một khoảng th i gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ.. Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có

Trang | 1

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12 tôi nhận thấy hầu hết các em học sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có liên quan đến dao động tắt dần

Bởi đây là phần có nhiều dạng bài tập khó, có nhiều công thức cần nhớ và việc

áp dụng các công thức toán học tương đối phức tạp Khó khăn lớn nhất của các

em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù hợp cho việc giải bài toán đó

Mặt khác, trong giai đoạn hiện nay khi mà hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học cao đẳng, yêu cầu về phương pháp giải nhanh và tối ưu cho các em là rất cấp thiết để các em có thể

đạt được kết quả cao trong các kỳ thi đó

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận

1.1 Hiện tượng tắt dần của dao động cơ

Một vật th c hiện dao động điều h a ch trong điều kiện l tưởng rên

th c tế các vật khi dao động đều chịu tác dụng của l c cản trên bề mặt tiếp xúc

và l c cản của môi trư ng dao động Điều này làm cho năng lượng của vật dần mất đi dẫn đến hiện tượng tắt dao động

Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt (dừng lại) sau một khoảng th i gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ

1.2 Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có độ lớn không đổi

rước tiên để hiểu rõ được tại sao dao động tắt dần ở HP có chu kì dao động

và biên độ hoàn toàn xác định Ta khảo sát bài toán con lắc l xo chịu thêm tác dụng của một l c không đổi( chiều và độ lớn) sau:

Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ

cứng k Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn Vật đang đứng yên, tác dụng lên vật bằng một lực F không đổi Bỏ qua lực cản của môi trường Chứng minh vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì riêng

Hướng dẫn

Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục l xo, gốc tọa độ trùng với vị tr lò

xo không biến dạng

Fr

m

k

m

Sau khi có l c tác dụng vị tr cân bằng của vật lúc này tại O1 O1 cách vị

tr l xo không biến dạng một đoạn x0 với F = - kx0 x = - 0 F.

k



ại tọa độ x > 0 thì độ biến dạng của l xo là x nên hợp l c tác dụng lên

vật là: - kx + F = ma

hay biểu thức của vào, ta nhận được:

F

- k x - = ma - k x - x = ma 1.3a

k

Đặt X = x – x0

a có X’’ = x’’ = a, phương trình 1.3a trở thành : - k X = mX’’ hay

k X'' + X = 0 X = ACos ωt+φ x = X + x x ACos ωt+φ

k quanh vị tr cân bằng O1.

ừ kết quả trên ta suy ra vật dao động điều h a với chu kì đúng bằng chu kì riêng và vị tr cân bằng của vật ch nh là vị tr l c đàn hồi cân bằng với l c F

Liên hệ với bài toán, ta sẽ phân t ch quá trình dao động tắt dần thành nhiều giai đoạn khác nhau để có thể áp dụng được kết quả của bài toán

Để ý rằng l c ma sát khô ta đang xét ch nh là l c ma sát trượt L c này luôn có hướng ngược hướng chuyển động, độ lớn không đổi Như vậy trong một quá tr nh dao động, trước khi vật đổi chiểu thì ta coi bài toán dao động tắt dần trở về bài toán của con lắc l xo chịu tác dụng của một l c có độ lớn và hướng không đổi và áp dụng được kết quả trên Ch có điều dao động ấy phức tạp hơn

ở các chỗ:

Vị tr cân bằng phụ thuộc hướng của l c có độ lớn không đổi do đó ở dao động tắt dần trong mỗi lần đồi chiều thì vị tr cân bằng lại thay đổi, về mặt định lượng thì khoảng cách từ 2 vị tr cân bằng ấy đến vị tr l xo không biến dạng là bằng nhau

a luôn luôn xét được 1 nửa dao động bởi một nửa sau ( sau khi đổi chiểu) vật lại dao động với biên độ và vị tr cân bằng khác

Bài toán 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k

on lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang i thời đi m ban đầu người ta k o vật

d ch khỏi v tr lò xo không bi n d ng một đo n 0 rồi thả nh ho rằng hệ ố

ma át trượt gi a vật và giá là không đổi và bằng μ, bỏ qua lực ma át nhớt của môi trường

Để giải quyết bài toán này ta cần bổ sung các bổ đề và một số lý thuyết sau:

+ Sự bảo toàn năng lượng

Trang | 3

Ở th i điểm t, vật đang ở vị tr có li độ x ( so với vị tr l xo không biến dạng), với vận tốc v và đã đi được quãng đư ng S khi đó ta có:

0 s ms

E - E = A 1kA - 20 1kx - 2 1mv = F S2 ms



+ Vị trí cân bằng tạm thời

ọi vị tr l xo không biến dạng là vị tr O

Ban đầu kéo vật đến vị tr P cách vị tr l xo không biến dạng một đoạn

OP = A0

rong quá trình chuyển động về vị tr l xo không biến dạng ( P O) vật chịu thêm l c tác dụng của l c cản gi a vật và sàn, cụ thể là l c ma sát trượt õ ràng điều kiện ban đầu phải th a mãn l c đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn l c ma sát trượt thì vật mới chuyển động về O được

Ngh a là: kA0  μmghay 0

μmg

k

 Khi th a mãn ( ), vật sẽ chuyển động về O rong quá trình này, l c ma

sát trượt có độ lớn không đổi, l c đàn hồi kéo vật về có độ lớn giảm dần Đến vị

tr O1 l c đàn hồi có độ lớn bằng với độ lớn của l c ma sát trượt, nên ta gọi O1 là

vị tr cân bằng của vật ( không phải là vị tr O)

Vị tr O1 nằm gi a P và O ương t như vậy, trư ng hợp khi vật chuyển động từ về O thì vật có vị tr cân bằng là O2 giống với O1 o đó trong quá trình dao động qua lại vật có hai vị tr cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị tr cân bằng tạm th i

x

x0

O 2

.

.

O 1

O

.

0

A0

Q

mst

Fr

mst

Fr Frdh

O 1 .

O 2

P

Q m

m

m

dh

Fr

m

m

Hình vẽ biểu thị vị trí lò xo không biến dạng O và hai vị trí cân bằng tạm thời O 1 ,

O 2

ọi tọa độ của O1 và O2 là x0 dàng thấy được tại O1 và O2 ta có

Fđh = Fmst hay 0

μmg

x ±

k

Vậy trong bài toán tắt dần của dao động cơ, ta để ý đến 3 vị trí đặc biệt

Vị tr l xo không biến dạng O

Hai vị tr cân bằng tạm th i O1 và O2 nằm cách vị tr l xo không biến

k



+ Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì

Cách lý giải 1: ( heo quan điểm năng lượng )

Rõ ràng ta không thể chọn một vị tr cân bằng nào cố định để t nh biên độ,

mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị tr cân bằng khác nhau o đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị tr l xo không biến dạng O là biên độ dao động tạm th i

heo điều giả sử trên ta t nh được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao động như sau:

iả sử sau ½ đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M ( Nếu không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại đối xứng với P qua O ) Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ ch nh là đoạn M

Tính MQ=ΔA1/2

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị tr l xo không biến dạng O Mốc thế năng trọng trư ng là mặt phẳng ngang

hế năng trọng trư ng của hệ bằng 0

Tại P

Năng lượng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của l xo:

kΔl = kA

Tại M

Vật đổi chiều (vM = 0) nên tại M năng lượng của hệ:

EM = 1kΔl2M = kA1 1/22

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2

Độ giảm năng lượng của hệ sau 1/2T:

x

0

A

1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3

0

A

1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 A 1/ 2

1 4 4 2 4 4 3  A 1/ 2

14 2 43

vr

Trang | 5

ΔE = E - E = kA - kA

Lực ma sát sinh công âm có độ lớn:

ms mst

A = F S = μmgS

a vào hình vẽ ta có: S = A0 – A1/2

o đó : A ms = μmg A - A 0 1/2(2.3.b)

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:

ms

E = A

 , kết hợp với (2.3.a) và (2.3.b) và ΔA = A - A 1/2  0 1/2 ta được 1/2

μmg

k 

Vậy độ giảm biên độ sau 1 chu kì của vật được xác định: A = 2.ΔA = 41/2 μmg

k



Cách lý giải 2: ( heo quan điểm biên độ với vị tr cân bằng tạm th i)

Sẽ ngắn gọn hơn nếu ta chú ý rằng:

rong ¼ chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị tr O1 làm vị tr cân bằng tạm th i ”

o vậy trong ¼ chu kì này biên độ dao động của vật đã giảm đi một lượng đúng bằng OO1 = x0  δ= μmg

k ( theo 2.2a) Vậy sau một chu kì, biên độ của vật giảm A = 4δ = 4μmg

k



Nhận xét: rong hai cách l giải trên, cách l giải 1 có t nh thuyết phục cao hơn

về mặt bản chất vật lý, nhưng so với phương pháp giải trắc nghiệm thì cách lí giải 2 nhanh về d hiểu hơn nhiều, hơn n a cách l giải 2 sẽ giúp tìm tốc độ c c đại của vật một cách nhanh chóng chứ không phức tạp theo cách l giải 1

+ Các bổ đề về sự dừng lại của vật

dàng thấy rằng, vị tr vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ O1 đến O2

ọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì a có 3 bổ đề sau:

ổ đề 1: Nếu An = δ thì vật sẽ dừng lại tại vị tr đó luôn Sthêm = 0

ổ đề 2: Nếu 2δ> An >δthì vật dừng lại trong khoảng OO1

h i gian trong quá trình này là /2

1/4 0

A = A - δ

1 4 44 2 4 4 43

O O 2

P

δ

1 2 3

n

A

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43

{x n

vr

O 1

N

ọa độ vị tr dừng lại được xác định d a vào định luật bảo toàn năng lượng:

kA = kx + μmg A - x x = A = 2δ A

uãng đư ng vật đi thêm được là : Sthêm = 2An - 2δ = 2A0 - 2δ (2n + 1)

ổ đề 3:

Nếu 2δ < An 3δthì vật dừng lại trong khoảng OO2 tại N đối xứng

h i gian trong quá trình này là /2

ọa độ vị tr dừng lại được xác định d a vào định luật bảo toàn năng lượng:

kA = kx + μmg A + x x = A - = A - 2δ

uãng đư ng vật đi thêm được: Sthêm = An + xn = 2An - 2δ = 2A0 -2δ (2n + 1)

II Thực trạng vấn đề

2.1 Đối với học sinh

Hầu hết các em đều rất lúng túng và lo sợ khi đề thi có đề cập tới bài toán dao động tắt dần Các em chưa hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp giải bài tập có liên quan

2.2 Đối với giáo viên

Một số giáo viên chưa nghiên cứu cụ thể nên chưa hình thành cho mình được một con đư ng đi, một phương pháp tiếp cận rõ ràng

III Giải pháp thực hiện

Bằng nh ng lý thuyết và bổ đề, tôi xây d ng hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải cho chuyên đề dao động tắt dần như sau:

3.1 Hệ thống các dạng bài tập

Dạng 1: Tốc độ của vật

Kiểu 1 ốc độ c c đại của vật trong toàn bộ quá trình dao động

Kiểu 2 ốc độ c c đại của vật sau khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 3 ốc độ c c đại của vật kể từ th i điểm t nào đó

Kiểu 4 ốc độ của vật khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần n

Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo

Kiểu 1 Độ biến dạng c c đại của l xo trong toàn bộ quá trình dao động Kiểu 2 Độ biến dạng của l xo khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 3 Độ biến dạng của l xo khi vật đạt tốc độ c c đại lần n

N

n

A

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 x n

14 2 43

Trang | 7

Kiểu 4 Độ biến dạng của l xo khi vật dừng lại

Dạng 3: Quãng đường vật đi được

Kiểu 1: uãng đư ng vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 2: uãng đư ng vật đi được đến khi dừng lại

Dạng 4: Thời gian vật dao động

Kiểu 1: h i gian vật qua hai vị tr bất kì

Kiểu 2: h i gian vật dao động đến khi dừng lại

3.2 Phương pháp giải cụ thể

Dạng 1: Tốc độ của vật

Kiểu 1: Tốc độ cực đại trong suốt quá trình dao động

Có nhiều cách để tìm tốc độ c c đại của vật trong dao động tắt dần, sau đây tôi xin trình bày 3 cách và sẽ nhận xét ưu nhược của từng cách trên:

Phương án 1: a vào t nh chất c c trị toán học

a đã biết, gia tốc tức th i của vật ch nh là đạo hàm bậc nhất của vận tốc do đó

'

dv

a = = v

dt

Mặt khác, vận tốc là hàm phụ thuộc vào th i gian, vận tốc có độ lớn c c đại thì điều kiện cần ta phải có

' dv

dt



ừ hai điều trên ta thu được, tốc độ của vật đạt c c đại khi a = 0 Ngh a là vật đạt tốc độ c c đại tại vị tr hợp l c tác dụng lên vật bằng 0

rong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vị tr đầu tiên mà hợp l c bằng 0 ch nh là 01 Như vậy tốc độ của vật đạt c c đại ch nh là tốc độ của vật khi đi qua O1

a vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O1 để tìm tốc độ c c đại:

1

PO

kA - kδ + m v = μmg A - δ

k

m

m ta được : vmax = A0 - 

Phương án 2: a vào t nh chất của đư ng cong Parabol

hiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị tr vật đạt tốc độ c c đại dàng thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ c c đại ở một vị

tr nào đó Xét vật ở vị tr tọa độ x bất kì iả sử lúc này vật đang tại N:

0

A .x

vr

N

x

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:

PN

kA - kx + m v = μmg A

mv = - kx - μmgx + kA -μmgA v = - x - 2μgx + A - 2μgA

a thấy v2

phụ thuộc vào x theo hàm bậc 2 nên từ t nh chất của đư ng cong parabol ta có được kết quả sau:

Vị trí vật đạt tốc độ cực đại: vmax x = - b = - μmg

vị tr cân bằng tạm th i O1 Như vậy vật đạt tốc độ c c đại tại O1

Tốc độ cực đại mà vật đạt được:

2

-k

4 -m

= A0 - 

m và μmg

k 

Phương án 3: a vào t nh c c đại của vận tốc đối với dao động điều h a

rong dao động điều h a của một vật với tần số góc biên độ A, thì vật đạt tốc độ c c đại khi đi qua vị tr cân bằng, giá trị c c đại có độ lớn : vmax = 

A

a vào hệ quả của cách l giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì 

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O1 làm vị tr cân bằng tạm th i o đó ta coi trong quá trình này vật dao động với biên độ

A1 = A0 - và với tần số góc  ừ đó thu được kết quả:

vmax =  A1 = A0 - với  k

m và μmg

k 

Nhận xét: rong ba phương án, tác giả nhận thấy phương án 3 có ưu điểm rõ

ràng hơn, nhanh hơn so với hai phương án c n lại uy nhiên hai phương án 1

và 2 thì có thể vận dụng được cho nhiều bài toán khác phức tạp hơn hay ta nói

phương án 1 và 2 sẽ giải quyết vấn đề đa dạng hơn

Kiểu 2: Tốc độ cực đại sau khi vật đổi chiều lần n

Khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị tr cân bằng: Δx = A - 2nδ 0

O

P

O 2

0

A

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43

1 0

A = A - δ

1 4 4 44 2 4 4 4 43 δ

1 2 3

O 1

vr

Trang | 9

Vật đạt tốc độ c c đại khi vật qua vị tr cân bằng tạm th i kế tiếp:

v = ω A -2nδ - δ = ω A - 2n+1 δ  

Kiểu 3: Tốc độ cực đại của vật kể từ sau thời điểm t nào đó

Sau th i gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ c c đại sau đó là bao nhiêu?

Phân tích: t = n + m

T

(Với n là phần nguyên, m là phần lẻ)

Biên độ dao động của vật sau th i gian n /2 là: An = A0 – 2nδ

Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0

- Nếu m <1

2thì tốc độ c c đại của vật đạt được sau đó là:

vmax = ω A - δ = ω A - δ 2n+1 n   0   

- Nếu 1 m < 1

xu hướng chuyển động về biên Như vậy tốc độ c c đại của vật đạt được khi vật

ra biên và qua vị tr cân bằng tạm th i tiếp theo ( kể từ khi đổi chiều) o đó ta

t nh được tốc độ c c đại của vật là: vmax = ω A - 3δ = ω A - δ 2n+3 n   0   

Kiểu 4: Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n

Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng kết hợp với quãng đư ng vật đi được sau n nửa chu kì ta sẽ giải quyết được bài toán trên

Khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần 1: S = A0

Khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần 2: S = A + 2 A - 2δ 0  0 

Khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần 3: S = A + 2 A - 2δ + 2 A - 4δ 0  0   0 

…

Khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần n:

 

S = A + 2 A - 2δ + +2 A - 2 n -1 4δ

= A + 2 A - 2δ + A - 4δ + + A - 2 n-1 δ

= A + 2 n - 1 A - 2δ 1 + 2 + + n - 1

= A + 2 n -1 A - n n -1 δ = 2n - 1 A - 2n n - 1 δ

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được: Khi vật qua vị tr l xo không biến dạng lần thứ n:

2

0

1

kA

2 = Eđn + Ams hay

0

1

kA

A = kA - F S = kA - μmg 2 n -1 A - 2n n -1 δ

ừ đó ta t nh được tốc độ của vật

Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo

Kiểu 1 Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động

Khi vật đổi chiều lần 1 thì l xo giãn c c đại Mà độ giảm biên độ sau ½ chu kì

là 2δ do đó: Δlmax= A - 2δ0

Kiểu 2 Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n

Xuất phát từ kết quả biên độ vật giảm đi sau n nửa chu kì là 2nδ nên khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị tr cân bằng: Δx = A - 2nδ 0

o đó Δl = A - 2nδ n 0

Kiểu 3 Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n

Khi vật đạt tốc độ c c đại thì vật đang ở vị tr cân bằng tạm th i nên Δl = δ

Dạng 3: Quãng đường vật đi được

Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Khi đổi chiều lần 1, quãng đư ng vật đi được là: S1 = 2(A0 - δ)

Khi đổi chiều lần 2, quãng đư ng vật đi được là: S2 = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)

…

Khi đổi chiều lần n, quãng đư ng vật đi được là:

Sn = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)+…+2[A0 – (2n-1) δ] = 2{nA0 – [1+3+5+…+(2n-1)]

δ}= 2[nA0 – n2δ]

Kiểu 2: Quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại

* Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:

ừ kết quả ở kiểu 1, sau n nửa chu kì, quãng đư ng vật đi được là: Sn =

 0 

2n A - nδ

* Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:

Sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm c n An = A0 – 2nδ= A0 - 2nμmg

k

ừ kết quả của 3 bổ đề

Nếu An = δ thì theo bổ đề 1 vật dừng lại tại đây hay Sthêm =0

heo bổ để 2 và 3, trong cả hai trư ng hợp δ< An < 2δ và 2δ< An < 3δ quãng đư ng vật đi thêm đều là Sthêm = 2A0 - 2δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì dao động trước đó

* Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :

ổng hợp hai kết quả trên ta t nh quãng đư ng tổng như sau: