Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI : Trong chương trình phổ thông để giải các bài toán về khoảng cách còn có phương pháp “ Gán hệ trục tọa độ trong hình học không gian” sau đó sử dụng tọa độ t

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

A Lý do chọn đề tài 2

PHÂN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I Bài toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 6

II Bài toán 2 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 9

III Bài toán 3 : Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song

song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 13

IV Bài toán 4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 15

PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

- Từ đầu lớp 11 trở về trước : Học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn là

các hình trong phẳng Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau, … của các đối tượng Đó là một khó khăn rất lớn đối với học sinh

- Sau khi giới thiệu 2 quan hệ: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc

trong không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan trọng là “Khoảng cách” và “Góc” trong đó các bài toán liên quan đến hai khái niệm này được khai thác rất nhiều trong các kỳ thi như thi Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi Ngoài ra việc giải quyết được các bài toán về khoảng cách còn giúp ta giải quyết được các bài toán về thể tích khối đa diện ở lớp 12

- Trong bài “ Khoảng cách”: Do yêu cầu về thời lượng chương trình,

SGK hình học lớp 11 mới chỉ đưa ra các khái niệm về khoảng cách và nêu lên mối liên hệ giữa các khái niệm đó bằng một chú ý ở cuối bài và 2 ví dụ cơ bản

về khoảng cách Do đó, khi đứng trước một bài toán yêu cầu tính khoảng cách học sinh thường rất bối rối Từ đó dẫn đến học sinh có tâm lý sợ và ngại học hình học không gian rồi âm thầm bỏ không học phần này

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi

xin mạnh dạn đưa ra đề tài: “ Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng

cách trong hình học không gian lớp 11” Thông qua nội dung của đề tài tôi

muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp giải, từ dó có định hướng tốt để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ làm cho học sinh yêu môn hình học không gian hơn và sẽ giúp đồng nghiệp có thêm một tư liệu tham khảo bổ ích trong qúa trình giảng dạy của mình

B PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI :

Trong chương trình phổ thông để giải các bài toán về khoảng cách còn có

phương pháp “ Gán hệ trục tọa độ trong hình học không gian” sau đó sử dụng tọa độ trong không gian để làm việc nhưng do khuôn khổ không cho phép nên trong đề tài này tôi chỉ khai thác vấn đề dưới góc độ nghiên cứu hình học không gian một cách thuần túy

PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A CƠ SỞ LÝ LUẬN :

- Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của người giáo viên

- Trong bài “ Khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra 4 khái niệm về khoảng cách :

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song , khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

“Khoảng cách giữa 2 điểm A,B chính là độ dài đoạn thẳng AB” Khái niệm này các em đã được giới thiệu và làm việc rất nhiều ở các cấp học dưới Trên đây cũng là tất cả các khoảng cách có trong thực tế Do đó nếu có được một hệ thống phương pháp giải các bài toán

Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,

khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

thì hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết

Ngoài ra trong 4 bài toán trên trừ “bài toán 1”, các bài toán đều quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và có một số kiến thức thường hay sử dụng

để giải các bài toán này

Vì vậy, tôi thấy việc đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về

khoảng cách trong hình học không gian lớp 11” là một việc rất cần thiết và bổ

ích cho việc dạy của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :

Trong qúa trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh

trường THPT Thiệu Hóa cũng như học sinh THPT nói chung còn rất lơ mơ về

hình học không gian Đặc biệt khi gặp các bài toán về khoảng cách thường

không định hình được cách giải, lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm lên

đường thẳng, mặt phẳng hoặc xác định được hình chiếu nhưng lại không tính

được khoảng cách, vì không biết cách tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết

trong bài tập với yếu tố cần tìm, hoặc tìm được nhưng cách làm còn dài chưa kể

đến việc chưa biết vẽ hình hay vẽ hình sai Mặt khác thời lượng dành cho phần

này lại ít nên học sinh không biết định hình cách làm thế nào khi đứng trước một

bài toán Cụ thể :

Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy :

1 Khi gặp bài toán :

Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác

cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt

phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng

đáy một góc .Tính khoảng cách từ trung điểm

I của AB đến mặt phẳng (SCD)

* Học sinh thường không biết cách dựng

hình chiếu H của I lên mp (SDC) như thế nào từ

đó không thể tính được khoảng cách từ I đến mp (SDC)

Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

cạnh bằng a; SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

* Học sinh thường lúng túng khi xác

định hình chiếu H1 của O lên (SBC), hình

chiếu H2 của G lên (SAC), cũng không biết

A S

S

A

D G

H

N

O

2 Khi gặp bài toán :

Bài toán : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, canh SA vuông góc với mặt đáy và SA = a Tính khoảng cách giữa AC và SD

* Học sinh thường loay hoay đi dựng đường vuông góc chung và gặp bế tắc vì dựng khó Cũng có một số học sinh biết cách đưa khoảng cách này về khoảng cách từ AC đến mặt phẳng qua SD song song với AC để giải bằng cách:

DI

  

* Đây cũng là lời giải mà sách bài tập trình bày Tuy nhiên tôi thấy việc tính khoảng cách từ A đến (SDB’) như thế này vẫn dài Ta có thể tính d(A;(SDB’)) theo một cách ngắn gọn hơn như sau:

Dễ dàng suy ra A.SDB’ là hình chóp đều có AS, AD, AB’ đôi một vuông góc với nhau nên d(A; (SDB’)) chính là đường cao của hình chóp hạ từ A

S

A

D B'

Từ đây giáo viên có thể dẫn dắt tới phương

pháp tính khoảng cách bằng cách coi khoảng cách

đó là độ dài đường cao của 1 hình chóp Nếu

hình chóp ấy đã biết thể tích và biết diện tích đáy thì có thể tính :

d = h = 3V

S

3 Khi gặp bài toán:

Bài toán : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD H là giao điểm của CN

và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a

* Học sinh thường không nhận ra được

vị trí tương đối giữa DM và SC có điểm đặc

biệt là vuông góc với nhau nên loay hoay

dựng đường vuông góc chung không được

Đưa về khoảng cách từ đường thẳng đến mặt

phẳng song song chứa đường còn lại, lại càng

khó và cũng dẫn đến bế tắc

Lúc này vai trò của người giáo viên là

rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học

sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại để được một đáp án đúng và suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt tránh được tình huống rối ren dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về khoảng cách

C MỘT SỐ GIẢI PHÁP :

Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp:

Đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học

không gian lớp 11” như sau:

I BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

1 Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực

hiện theo các bước sau :

S

A

D B'

H N

M

D

C B

A

S

B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d

B2 : Tính độ dài OH dựa vào hệ thức

lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn

a Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB

i) Tính khoảng cách từ I đến CM

ii) Tính khoảng cách từ S đến CM

Giải :

i) Cách 1 :

Gọi H là hình chiếu của I lên CM suy ra IHCM

Trong tam giác SCM ta có

2 2

2 2

5 2 5 2 3

2 2

O vuông góc với d xuất hiện trong bài toán

2 Để tính khoảng cách từ S đến CM ở ý ii) học sinh có thể làm theo cách

ở ý i), sau đó vận dụng hệ thức lượng trong tam giác SCM từ đó suy ra khoảng cách chính là độ dài đường cao tam giác SCM hạ từ S xuống CM Nhưng cách này vẫn dài Cách giải như đáp áp thì ngắn gọn hơn Từ đó GV đưa ra:

Chú ý:

▪ Nếu tồn tại đường thẳng a qua O, a // d thì

d (O; d ) = d (A; d ) với A thuộc d

▪ Nếu OA cắt d tại I thì sử dụng tỉ số khoảng cách

S R

K H I

a

d K

A O

ha

b' c'

a

b c

12 12 12

a

h b c

b Bài tập tự luyện

Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường

cao AB=a, BC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Ngoài ra còn có

SC vuông góc với BD Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM=x với 0  x a

Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x Tìm các giá trị của xđẻ khoảng cách này có GTNN, GTLN

II BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm O đến mp () ta có thể làm như sau

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt

bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc .Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)

Giải

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SHAB  HS  (ABCD) Suy ra H

là chân đường cao hạ từ S của hình chóp

Gọi K là trung điểm CD Trong SHK gọi I là hình chiếu của H lên SK

thể dựng được vô số mp(P) Trong thực

hành giải toán nếu mp(P) không có sẵn ta

thường hay chọn mp(P) như sau:

Dựng đường thẳng d qua O vuông

góc với đường thẳng  có sẵn trong (),

cắt mp () tại I Từ I kẽ một đường thẳng

vuông góc với  cắt  tại M   MOI ( )  MOI Vậy mp (MOI) là mp (P) cần dựng

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

cạnh bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

i) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới mặt phẳng (ABCD)

ii) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mp (SBC)

iii) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp (SAC)

G

D

C B

A S

iii) Vì BG  ( SAC ) = N nên

để đưa việc tính khoàng cách cần tìm về việc tính

một khoảng cách khác đơn giản hơn hoặc một khoảng cách đã biết trước đó

b Bài tập tự luyện:

Bài 1) (Bài 62-SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, Aˆ 90  0, BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 600 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB)

Bài 2) (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB2a 3 va SBCˆ 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

2 Phương pháp 2:

Để tính khoảng cách từ O đến mp () ta có thể coi khoảng cách từ O đến

mp () là độ dài đường cao của 1 hình chóp hoặc lăng trụ

a Các ví dụ :

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

AB = BC = a Cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là

trung điểm của BB’ Tính khoảng cách từ B’ đến (AME)



d O

H

H O

Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc Khoảng cách từ

B đến (AME) bằng độ dài đường cao của hình chóp S.AME hạ từ A xuống mp(AME) Gọi hB là đường cao hạ từ B xuống (AME)

Chú ý: Khi tính độ dài đường cao của hình chóp ta cần lưu ý :

Nếu đó là hình chóp đều thì chân đường cao trùng với trọng tâm của tam giác đáy

Nếu đó là hình chóp có 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc thì sử dụng công thức 1 2 12 12 1 2

OH OA OB OC

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, tam giác

0 ˆ

ABCBAD , BA =BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA

= a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Giải

* Gọi I là trung điểm AD suy ra tứ giác ABCI

là hình vuông và ICD vuông cân tại I

C

BCD B

a a

Giáo viên nên dẫn dắt học sinh đến việc tìm hình chiếu của H lên (SCD)

là khó Từ đó hướng dẫn học sinh giải theo cách như trong đáp án Phương pháp này được dùng khi phương pháp 1 giải khó ra mà bài toán có nhiều yếu tố liên quan đến thể tích, diện tích và việc tính thể tích, diện tích là có thể hoặc tính được một cách đễ dàng

b Bài tập tự luyện :

Bài 1) (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC)

III BÀI TOÁN 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

1 Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến

() với d // () (hoặc khoảng cách từ () đến ( )

với ()//( )) ta tiến hành theo các bước :

B1 : Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A

trên ()) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính nhất

B2 : Kết luận d d( ; ( ))  d A( ; ( )) 

(hoặc d(( ); ( ))   d A( ; ( ))  )

a Một số ví dụ :

Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’có tất cả các cạnh đều bằng

a vàBADˆ BAAˆ 'DAAˆ '600 Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy (ABCD)







Giải:

Từ giả thiết suy ra các tam giác

A’AD, BAD, A’AB là các tam giác đều

Suy ra tứ diện A’ABD là tứ diện đều

Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD)

chính là trọng tâm H của ABD đều

Suy ra khoảng cách giữa mp(ABCD) và

mp(A’B’C’D’) chính là độ dài A’H

Ta có:

2 2

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6 và vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) Đáy ABCD là lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC)

2 3 6

2 2

H

D

C A

S

I O A

C

D

O H

D'

C' B'

A'

D

C B

A