Rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các tính chất hình học để giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Song trong quá trình học tập, khi giải quyết các bài toán về “phương pháp tọa độ”, học sinh chỉ chú ý đến các phép biến đổi đại số và giải tích mà ít để ý đến các tính chất hình học vốn

1

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của bộ môn Hình học lớp 10 Nó cho phép ta giải quyết nhiều vấn đề của hình học bằng phương pháp đại số và giải tích Song trong quá trình học tập, khi giải quyết các bài toán về “phương pháp tọa độ”, học sinh chỉ chú ý đến các phép biến đổi đại số và giải tích mà ít để ý đến các tính chất hình học vốn có của nó

Các phép biến đổi đại số và giải tích có ưu điểm là dễ định hướng, có thể giải quyết được phần lớn các bài toán về “phương pháp tọa độ” Nhưng nó cũng

có nhược điểm là nhiều bài toán dẫn đến các biểu thức cồng kềnh, phức tạp đòi hỏi biến đổi dài dòng hoặc dẫn đến các vấn đề khó của đại số và giải tích

Trong một số các bài toán về “phương pháp tọa độ” nói chung và “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” nói riêng, nếu chú ý đến các tính chất hình học của các đối tượng thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn Vấn đề là học sinh cần phải linh hoạt trong quá trình vận dụng, khi nào thì dùng các phép biến đổi đại số và giải tích đơn thuần, khi nào thì phải chú ý đến các tính chất hình học Khó khăn chủ yếu của các em là trong một số bài toán đặc biệt, các em không khai thác được các tính chất hình học đó

Câu hỏi được đặt ra là: “ Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải một số bài toán về “phương pháp tọa độ” mà đòi hỏi chú ý đến các tính chất hình học ?” Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đề cập tới nội dung này ở phần Hình học phẳng nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo; rèn luyện thói quen và khả năng tự học, học tập suốt đời; có tinh thần hợp tác, có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn Qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi

đồng nghiệp, qua quá trình tự học, tự bồi dưỡng, tôi xin nêu ra vấn đề : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các tính chất hình học để giải một số bài toán về “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ”

2

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đề cập đến các tính chất hình học

mà học sinh đã được học trong chương trình Hình học ở cấp trung học cơ sở và

chương trình hình học lớp 10 Ngoài ra tôi xin lưu ý đến một số tính chất cơ bản sau:

1.Với ba điểm , ,A B C bất kì ta luôn có:

a ABBC  AC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , ,A B C cùng thuộc một đường thẳng và B thuộc đoạn AC

b ABBC  AC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B C cùng thuộc một , ,

đường thẳng và B không nằm giữa A và C

2.Cho điểm A không thuộc đường thẳng , H là hình chiếu của A trên  Với

mọi điểm M ta có AM  AH Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M H

3 Cho tia Ot là phân giác trong góc ·xOy , M Ox Nếu M đối xứng với M ' qua Ot thì M'Oy

4 Cho tam giác ABC nhọn có H H H1, 2, 3 lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh , ,A B C Khi đó AH BH CH1, 2, 3 lần lượt là các đường phân giác trong

A

B

H

M



M’

y

x

O

M

3

H H H H H H H H H và BC CA AB lần lượt là các đường , ,

H H H H H H H H H

Thật vậy, chẳng hạn · ·

AH H  ACH (vì ACH H1 3 là tứ giác nội tiếp),

ACH  ABH (cùng phụ với góc ·BAC ) , · ·

ABH  AH H (vì ABH H1 2 là tứ giác nội tiếp) Do đó AH1 là các đường phân giác trong của góc ·H H H Và vì 3 1 2

1

BC  AH nên BC là đường phân giác ngoài của góc ·H H H 3 1 2

5 Cho tam giác ABC, gọi e eur uur1, 2 lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục ,

AB AC ( eur1 cùng hướng với uuurAB,euur2 cùng hướng với uuurAC Khi đó đường phân

giác trong góc A có vectơ chỉ phương là eur1 euur2 và đường phân giác ngoài góc

A có vectơ chỉ phương là eur1 euur2

6 Cho hai điểm ,A B phân biệt cố định Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn MA MB là đường trung trực của đoạn thẳng AB

7 Cho hai điểm ,A B phân biệt cố định và số thực k với 0 k 1 Tập hợp các

điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn MAk MB là một đường tròn Đường tròn này có đường kính là đoạn CD, trong đó ,C D lần lượt là điểm chia trong và điểm chia ngoài đoạn thẳng AB Đường tròn này được gọi là đường tròn

Apollonius tỉ số k dựng trên đoạn AB

2.THỰC TRẠNG

Trong quá trình giảng dạy Chương III- Hình học 10 hoặc Chương III- Hình học 10 nâng cao tôi nhận thấy rằng học sinh rất hứng thú khi học phần

này Phần lớn học sinh đều ngại học bộ môn Hình học nhưng ở phần này, các kiến thức về hình học được nhìn dưới lăng kính đại số nên các em tiếp nhận dễ

B

A

C

H 1

H 2

H 3

4

dàng hơn Các khái niệm, các quan hệ hình học đều được đại số hóa, và việc giải quyết các vấn đề của hình học được chuyển về giải quyết các vấn đề về đại số

Nhưng cũng chính việc thuận lợi này làm cho học sinh phụ thuộc quá nhiều vào phương pháp đại số Khi giải các bài tập về loại này, học sinh thường nghĩ ngay đến việc chuyển về các phương trình, các biểu thức đại số Ở một số các bài toán đòi hỏi đến việc sử dụng đến các tính chất hình học thì thường các

em bị động, không xác định được hướng giải quyết

Trong năm học 2011- 2012, tôi có trực tiếp giảng dạy hai lớp khối 10, qua thống kê kết quả kiểm tra tôi thu được kết quả sau:

Biểu 1: Kết quả kiểm tra chương III Hình học 10 năm học 2011-2012

Qua biểu 1 ta nhận thấy:

-Số học sinh loại yếu, kém ít; số học sinh loại trung bình, khá chiếm đa số Điều đó chứng tỏ về mặt đại trà thì học sinh học tốt phần này

-Số lượng loại giỏi rất ít, số lượng loại khá cũng còn thấp Điều này phản ánh kĩ năng giải các bài tập loại khó còn kém

Như vậy, để học sinh đạt kết quả tốt trong các kì thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi thì yêu cầu cấp thiết là phải rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các bài tập ở mức độ cao hơn

3.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Trong quá trình giảng dạy tôi đã khắc phục thực trạng trên bằng cách lồng ghép vào các bài giảng, đặc biệt là các tiết luyện tập các nội dung sau:

Bài toán 1: Cho hai điểm A x( A;y A), (B x B;y B) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho khoảng cách từ  đến B là lớn nhất

Cách giải:

Cách 1: Gọi n a br( ; )là vectơ pháp tuyến của 2 2

   Phương trình đường thẳng  là: a x( x A)b y(  y A)0

5

Ta có

( , ) a x B x A b y B y A

d B

 

 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:

a x x b y y  a b  xx  yy 

d B   xx  y y

x x y y

Chọn ,a b thỏa mãn

0 0







  



suy ra phương trình đường thẳng 

Cách 2: Gọi H là hình chiếu của B trên

, ta có d B( , )  BH BA Dấu bằng

xảy ra H  A Khi đó  là đường thẳng

qua A và vuông góc với AB tức là đường

thẳng đi qua A và nhận uuurAB làm vectơ

pháp tuyến

Nhận xét: Rõ ràng lời giải thứ hai ưu việt

hơn Việc đánh giá bằng phương pháp hình học mang tính trực quan, dễ hiểu và việc lập phương trình đường thẳng cũng dễ dàng Còn ở lời giải thứ nhất mang nặng tính đại số, bất đẳng thức Bunhiacopxki cũng chỉ trình bày ở phần đọc thêm trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, nên không thông dụng cho mọi đối tượng học sinh

Sau đây là một số ví dụ vận dụng bài toán 1

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), ( 3;1)B  phân biệt Lập phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất

Giải:

Gọi H là hình chiếu của B trên , ta có d B( , )  BH BA Dấu bằng xảy ra

H A

  Khi đó  là đường thẳng qua A và vuông góc với AB tức là đường

B

B

H

A



6

thẳng đi qua A và nhận uuurAB( 4; 1)  làm vectơ pháp tuyến Do đó  có phương trình là: 4(x 1) 1(y2)0 hay 4x  y 6 0

Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 2) và đường thẳng  có phương trình mx (1 2 )m y  m 3 0 với m là tham số Tìm m để khoảng cách từ M

đến  lớn nhất

Giải:

Nhận xét: đường thẳng  luôn đi qua điểm A(3;5)m Gọi H là hình chiếu của M trên , ta có d M( , ) MH MA Dấu bằng xảy ra H  A Khi đó

AM

   n mr( ;1 2 ) m và uuuurAM(2;3) cùng phương 1 2 2

m



Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :mx y 2m 1 0 và

( ) :C x  y 2x4y 1 0 Tìm m để đường thẳng  cắt đường tròn ( )C theo một cát tuyến có độ dài nhỏ nhất

Giải:

Nhận xét: : đường thẳng  luôn

đi qua điểm A(2;1)m và điểm

A nằm trong đường tròn ( )C Do

đó  luôn cắt đường tròn ( )C tại

hai điểm phân biệt M N Đường ,

tròn ( )C có tâm I(1; 2) bán kính

2

R Gọi H là hình chiếu của

I trên , ta có MN 2HM

MN  IM IA  Dấu bằng xảy ra H  A Khi đó   AI

( ;1)

n m

 r và uurAI( 1;1) cùng phương 1 1

m

m

    

MN nhỏ nhất

Bài toán 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A x( A,y A), (B x B,y B), ( C, C)

C x y Lập phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài góc

·

BAC

Cách giải:

I

A

7

- Đặt e1 1 AB e, 2 1 AC

- Đường phân giác trong góc A đi qua A và nhận vectơ eur3  eur1 euur2 làm vectơ chỉ phương

- Đường phân giác ngoài góc A đi qua A và nhận vectơ euur4  eur1 euur2 làm vectơ

chỉ phương

Nhận xét: Bài toán này có nhiều cách giải Cách giải trên đây rõ ràng là đơn

giản và ngắn gọn

Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó A(2; 14), ( 2;14), B  ( 5; 7)

C   Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC

Giải:

Đường phân giác trong góc A có vectơ chỉ phương là

;

5 2 5 2



Do đó nó có vectơ pháp tuyến là nr(2;1)

Suy ra nó có phương trình: 2(x 2) (y14) 0 2x y 100

Tương tự, đường phân giác trong góc B có phương trình x 2 0

Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của hai đường phân

giác trong các góc A,B nên có tọa độ I(-2;-6)

3

eur

A

B

C

1

eur

2

euur

4

euur

8

Bài toán 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCnhọn có tọa độ chân ba đường cao hạ từ các đỉnh , ,A B C lần lượt là H x y1( ,1 1),H2(x y2, 2), H x y3( ,3 3) Lập phương trình các cạnh và các đường cao của tam giác ABC

Cách giải:

Theo lưu ý 4 phần 1 ta có đường cao

1

AH chính là phân giác trong của

góc ·H H H và cạnh 3 1 2 BC chính là

phân giác ngoài của góc ·H H H 3 1 2

Từ đó ta lập các đường phân giác

trong và phân giác ngoài của góc

·

H H H ta suy ra phương trình

đường cao AH1 và cạnh BC Tương

tự cho các đường cao còn lại và các

cạnh còn lại

Nhận xét: Nếu không lưu ý đến tính chất của chân các đường cao thì bài toán

này rất khó

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ , ,A B C theo thứ tự là (2;0), 16; 12 , (0; 4)

M N   P 

tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Giải:

Vì AM là phân giác trong góc · PMN nên ta tìm được phương trình AM là

x  và CP là phân giác trong góc ·MPN nên ta tìm được phương trình CP

là x  y 4 0 Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm của AM và CP

nên có tọa độ H(2; 2)

Bài toán 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không cân tại A có

( B, B), ( C, C)

B x y C x y và phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong

(hoặc phân giác ngoài) góc A là :axby c 0(a2 b2 0) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

Cách giải:

B

A

C

H 1

H 2

H 3

9

-Cạnh BC đi qua B và nhận uuurBC là vectơ chỉ phương

-Gọi B đối xứng với B qua '  thì B'AC Cạnh AC đi qua C và nhận B Cuuuur'

là vectơ chỉ phương

- A là giao điểm của AC và  Cạnh AB đi qua B và nhận uuurAB là vectơ chỉ phương

Chú ý: Nếu  là phân giác trong góc A thì uuur uuuurAC AB, ' cùng hướng còn nếu  là

phân giác ngoài góc A thì uuur uuuurAC AB, ' ngược hướng

Nhận xét: Nếu không lưu ý đến tính đối xứng mà sử dụng điều kiện hai góc bằng

nhau thì thu được biểu thức nhiều ẩn và tương đối phức tạp

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là

điểm H( 1; 1)  , đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y 2 0

và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x3y 1 0

Giải:

Gọi H là điểm đối xứng với H qua đường '

phân giác trong góc A Đường thẳng  đi

qua H và vuông góc với đường phân giác

trong góc A có phương trình

     cắt đường phân giác

trong góc A tại I( 2;0) Vì I là trung điểm

'

HH nên tìm được H'( 3;1) Đường thẳng

AC đi qua điểm H và vuông góc với '

đường cao qua đỉnh B nên có phương trình

là 3x4y130 A là giao điểm của đường phân giác trong góc A và đường thẳng AB nên A(5;7) Đường thẳng CH đi qua hai điểm ,A H nên có phương

trình 3x4y 7 0 C là giao điểm của AC và CH nên 10 3;

3 4

C 

  Thử lại thấy uuur uuuurAC AH, ' cùng hướng nên thỏa mãn

Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( 4;1) , trọng tâm (1;1)

G và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình

x  y Tìm tọa độ các đỉnh A và C

(trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011)

A

H

H’

10

Giải:

Gọi D x y( ; ) là trung điểm của AC Vì

3

BD GD

uuur uuur

nên ta tìm được ( ;1)7

2

D Gọi E là điểm đối xứng với B qua phân giác trong góc

A, ta tìm được E(2; 5) Đường thẳng AC đi

qua A và E nên có phương trình

4x y 130 A là giao điểm của AC và

đường phân giác trong góc A nên có tọa độ

(4;3)

A C đối xứng với A qua D nên C(3; 1) Thử lại thấy uuur uuurAC AE, cùng hướng nên thỏa mãn

Ví dụ 8: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh

( 4;1)

C  , phân giác trong góc A có phương trình d x:   y 5 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có

hoành độ dương

(trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)

Giải:

Gọi D là điểm đối xứng với điểm C qua đường

thẳng d, ta tìm được D(4;9)

A là giao điểm của d và đường tròn đường kính

CD đồng thời có hoành độ dương nên ta tìm

được A(4;1)

Cạnh AB đi qua A và D nên có phương trình

x 

AC



   Gọi B(4; )y , từ

6

AB ta tìm được B(4;7) hoặc B(4; 5) Do d là phân giác trong góc A nên

,

AB AD

uuur uuur

cùng hướng Suy ra B(4;7)

Bài toán 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A x( A,y A), (B x B,y B) và đường

      không đi qua A B Tìm tọa độ điểm M , trên đường thẳng  sao cho MA MB nhỏ nhất

A

B

G

11

Cách giải:

- Nếu ,A B nằm về hai phía đối với

 thì MA MB  AB Dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi M là giao

điểm của  và AB

- Nếu A B nằm về một phía đối ,

với  thì gọi A đối xứng với A '

qua  Ta có MA MB MA'

'

  Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi M là giao điểm của  và 'A B

Nhận xét: Bằng cách tương tự ta có thể giải bài toán sau: “Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A x( A,y A), (B x B,y B) và đường thẳng :axby c 0

(a b 0) không đi qua ,A B Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng  sao cho MAMB lớn nhất

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 2) và đường thẳng

d x y  Hai điểm B và C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có

độ dài bằng 5 Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

Giải:

Gọi d’ là đường thẳng

qua A và song song với

d, d’ có phương trình:

4x3y 2 0 Lấy

(4;6)

D thuộc d' thỏa

mãn AD5 Khi đó

/ /

AD BC và ADBC,

tức là ABCD là hình

bình hành hoặc ACBD

là hình bình hành

- Nếu ABCD là hình bình hành, gọi A đối xứng với A qua ' d, ta tìm được '(9; 4)

A  Ta có chu vi tam giác ABC là ABBCCACD 5 CA

CD CA DA

     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C là giao điểm của d

và DA Từ đó tìm được ' (13;1)

2

2

uuur uuur

-Nếu ACBD là hình bình hành, tương tự ta tìm được (13;1), ( ; 3)7

A’

M



A

D

d

A’

d’