Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Tuy nhiên trong qúa trình dạy học tôi nhận th y đa số học sinh thi u tư duy, sáng tạo, có thể nói là học sinh còn t lúng túng hi vận dụng i n thức về hàm số, tính đơn đi u của hàm số t o

Mục lục

Trang

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Giải phương t ình, b t phương t ình là một mảng i n thức lớn và há quen thuộc đối với học sinh nhưng v n đề là giải th nào để cho nhanh, gọn và hợp logic? Đó là câu hỏi mà bi t bao nhiêu giáo viên và học sinh chúng ta ngày đêm đi tìm câu t ả Ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm với tính năng ưu vi t của nó có thể giải t nhiều dạng toán đặc bi t có thể dùng để giải phương t ình,

b t phương t ình Tuy nhiên trong qúa trình dạy học tôi nhận th y đa số học sinh thi u tư duy, sáng tạo, có thể nói là học sinh còn t lúng túng hi vận dụng i n thức về hàm số, tính đơn đi u của hàm số t ong quá t ình giải phương t ình, b t phương t ình Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản ch t của v n đề, chưa có ỹ năng và inh nghi m t ong vi c vận dụng hàm số vào giải toán Muốn bồi dưỡng cho học sinh năng l c tư duy hàm số người thầy ngoài i n thức chuyên sâu cần có lòng say mê nghề nghi p và năng l c t uyền thụ tốt để giúp học sinh tìm hiểu một cách logic bản ch t của toán học, thông qua giải các bài toán trên từng giờ lên lớp ừ đó giúp các em có s say mê t ong vi c học môn toán, để toán học t ở nên gần gũi và là s yêu m n, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh

Với nguy n vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập t ung hai thác cách giải phương t ình, b t phương t ình bằng phương pháp dụng tính đơn đi u và của hàm số Khi sử dụng phương pháp này, những bài toán về phương trình, b t phương trình sẽ được giải quy t một cách t t nhiên, thuần

túy, ngắn gọn và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Sử dụng tính đơn

điệu của hàm số để giải phương trình- bất phương trình”

2 Mục đích của đề tài:

- Chỉ a cho học sinh th y tính ưu vi t của phương pháp sử dụng tính đơn

đi u của hàm số vào giải một số phương t ình, b t phương t ình

- Các v n đề tôi trình bày t ong bài vi t của mình có thể hỗ t ợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn di n hơn về cách ti p cận bằng hàm số để giải bài toán phương t ình, b t phương t ình, đặc bi t phương t ình, b t phương t ình

có tham số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài vi t của mình với đề tài nói t ên tôi đó phải nghiên cứu t ên các dạng toán về phương t ình, b t phương trình đặc bi t là các bài toán về phương t ình, b t phương t ình chứa tham số -Phạm vi nghiờn cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán ung học phổ thông đặc bi t là các phần: phương t ình, b t phương t ình, phương t ình, b t phương t ình vô tỉ, phương t ình lượng giác, phương t ình, b t phương t ình mũ và loga it

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý‎ luận

- Nghiên cứu th c tiễn

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

D  a đặt v n đề tìm các gía t aD sao cho: f(a)  g(a), ( f(a)  g(a) )

Khi đó ta nói ằng đẳng thức f( ) = g( ) là một phương t ình (b t đẳng thức f( ) > g( ) là một b t phương t ình) một ẩn

Số th c a được gọi là một nghi m của phương t ình (b t phương t ình), D

là tập ác đ nh của phương t ình (b t phương t ình)

Giải phương t ình (b t phương t ình) là tìm t t cả các nghi m của nó

Đ nh nghĩa t ên đây nêu lên mối quan h hữu cơ giữa các hái ni m hàm số, phương t ình và b t phương t ình

1.2.Tính đơn điệu của hàm số:

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm t ên D

N u f '   x    0, x Dthì hàm số f x( ) đồng bi n (tăng) t ên D

N u f '   x    0, x Dthì hàm số f x( ) ngh ch bi n (giảm) t ên D

(D u “=” chỉ ảy a tại một số điểm hữu hạn t ên D)

N u hàm f x  tăng (hoặc giảm) t ên hoảng (a;b) thì phương t ình k

x

f( )  , kR có không quá một nghi m t ong hoảng (a;b)

N u hàm f x  tăng (hoặc giảm) t ên hoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

N u hàm f x  tăng và g x  là hàm hằng hoặc giảm t ong hoảng (a;b)

thì phương t ình f x g x có nhiều nh t một nghi m thuộc hoảng (a;b)

Định lý Bolzano–Cauchy :N u hàm số f x  liên tục t ên  a b; và f a f b     0

thì tồn tại ít nh t một điểm x0  a b; để f x 0  0

N u hàm số f x  đơn đi u và liên tục t ên  a b; và f a f b     0 thì tồn tại duy nh t một điểm x  a b; để f x  0

N u f x là hàm số đồng bi n (ngh ch bi n) thì

y = n f x n ( ),  N n ,  2 đồng bi n (ngh ch bi n), 1

( )

f x với f x  0là ngh ch bi n (đồng bi n), y f x ngh ch bi n (đồng bi n)

ổng các hàm đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D là đồng bi n (ngh ch bi n) trên D

ích của hai hàm số dương đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D là một hàm đồng bi n (ngh ch bi n) t ên D

1.3 Các dạng toán liên quan:

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1:

Bi n đổi phương t ình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghi m ồi chứng minh f(x) đồng bi n (ngh ch bi n) để suy a phương t ình có nghi m duy nh t Phương án 2:

Bi n đổi phương t ình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghi m ồi dùng lập luận hẳng đ nh f(x) đồng bi n còn g(x) ngh ch bi n hoặc hàm hằng suy a

phương t ình có nghi m duy nh t

Phương án 3:

Bi n đổi phương t ình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn đi u hi đó ta có: u = v

Đối với b t phương t ình thì bi n đổi về dạng f u( )  f v  ồi chứng minh f

đơn đi u để t luận

2 Thực trạng của vấn đề:

2.1 Về giáo viên và học sinh:

Sử dụng tính đơn đi u của hàm số vào giải phương trình, b t phương trình

là một bài toán thường uyên gặp t ong các ỳ thi tốt nghi p, cao đẳng và đại học nhưng th c t giáo viên và học sinh, đặc bi t là ở các rung tâm GDTX ít

đề cập đ n, đôi hi còn né tránh

2.2 Về tài li u học tập và nghiên cứu:

SGK mới chỉ là cơ sở ban đầu để nghiên cứ v n đề này, chưa có nhiều bài

có một cuốn nào dành iêng cho nó mà muốn học tốt phần này GV và HS phải nghiên cứu, tổng hợp từ nhiều tài li u hác nhau

Chính vì những ly do đó ngay từ đầu năm học 2012 – 2013 tôi đã lên hoạch d giờ, thăm lớp, dạy th c nghi m và dạy đối chứng ở hối 12, t ao đổi với các đồng nghi p sau mỗi ti t d giờ, ti t giảng dạy để có những bài học inh nghi m út a

Vậy x 9 là nghi m của phương t ình

Cách 2: Ngoài cách giải thông thường t ên ta có thể dùng hàm số:

Ví dụ 2: Giải phương t ình sau: 3 3 3

2 x   1 2 x   2 2 x   3 0 (1) Giải

1

;0)32(

2)

22(

2)

12(

2)

x x

x là nghi m của phương t ình đã cho

1 ( 3

1 )

t



Suy a hàm số đồng bi n

Ví dụ 7: Giải b t phương t ình sau: 4 4

15  x 2  x 1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ

phương trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn

Vậy nghi m của b t phương t ình đã cho là 0  x 4

sử dụng phương pháp hàm số để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán

Vậy phương t ình có nghi m hi và chỉ hi 1 < m < 1

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm

số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẫn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 2 ìm tham số m để phương t ình sau có hai nghi m th c phân bi t :

2 0

9 2







ừ bảng bi n thiên suy a các giá t cần tìm của m là: 4

4 3

0

Sau khi tìm được điều kiện x2 việc khảo sát hàm số f x( ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f x( )

Ví dụ 5: Tìm m để phương t ình sau có đúng hai nghi m th c phân bi t

1  x 8  x (1 x)(8 x) m

Nhận xét:

Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ

t = 1  x 8 x sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này

Giải

Điều i n:    1 x 8

Xét hàm số f x  1  x 8  x 1 x8 x trên  1;8

Ta có    

7 2

Mà

x

Do đó d u f x chỉ phụ thuộc vào d u của 7 2x

a có bảng bi n thiên :

x -1 7

2 8

f x + 0 -

f x  9

3 2 2 

3 3 ừ bảng bi n thiên suy a giá t cần tìm của m là: 3 9 3 2 2 m    Ví dụ 6: ìm các giá t i của m để phương t ình sau có một nghi m th c 4 x22x 4 x 1 m

Giải : Điều i n: x  1

Đặt t x  1 0, Phương t ình t ở thành 4 4

3

t   t m (*)

Nhận th y với mỗi nghi m hông âm của phương t ình (*) có đúng một nghi m của phương t ình đã cho Do đó phương t ình đã cho có đúng một nghi m hi phương t ình (*) có đúng một nghi m Xét hàm số 4 4 ( ) 3 f t  t  t trên 0;  Ta có ' 3   4 3 4 ( ) 1 0, 0; ( 3) t f t t t        và xlim f t( ) 0   Bảng bi n thiên t 0 

f t -

4

3 f t  0

D a vào bảng bi n thiên ta có các giá t cần tìm của m là: 0  m 4 3 Ví dụ 7: Tìm m để phương t ình sau có nghi m t ong 32; 2  

2 2 2 log x2log x 3 m log x3 (1) Giải: Đặt tlog2x với x32;   t 5 Khi đó, phương t ình (1) 2 2 3 ( 3)( 1) 1 3 3 3 t t t t t m m m t t t              

Với m 0 thì phương t ình vô nghi m Với m 0 thì phương t ình 1 1 2 3 3 t t m m t t        Xét hàm số   1 3 t f t t    trên 5;  Ta có    42   0, 5; 3 f t t t         <0 Bảng bi n thiên:

t 5 +

  f t -

 

2 2

1 2 ) 2 1

Ở lớp th c nghi m, hi giải phương t ình, b t phương t ình tôi đã sử dụng tính đơn đi u của hàm số Ở lớp đối chứng, tôi ti n hành dạy các phương pháp bình thường hác Sau mỗi giờ dạy, tôi iểm t a mức độ hiểu bài, nắm i n thức của học sinh bằng cách làm bài tập 15 phút cuối buổi học đó

Kiểm tra:( 15 phút)

Đề bài:

Câu 1: Giải phương t ình x2 15 3x 2 x2 8

Câu 2: Giải phương t ình : 2 1  2

2xx 2x x 1

   

em được èn hả năng nhanh nhẹn, héo léo và tạo cho các em mạnh dạn, t tin hơn , yêu thích, ham mê với môn toán

III KẾT LUẬN

1 Bài học kinh nghiệm:

Sách giáo khoa THPT đã giảm tải há nhiều nhưng t ong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài t hó được phát t iển từ các bài tập t ong sách giáo khoa, nên để giải quy t các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn

đi u của hàm số ong những năm qua tôi đã đọc và nghiên cứu t nhiều tài

li u để vận dụng phương pháp t ên bồi dưỡng học sinh ôn thi N và luy n thi đại học, cao đẳng và th y ằng học sinh ti p thu tương đối chủ động, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt t ong quá t ình giải các dạng bài tập ở t ên

2 Đề xuất kiến nghị:

2.1 Đối v i giáo viên: Cần ti p cận nhanh chóng, tìm hiểu ỹ nội dung chương

t ình và phương pháp dạy học Phải lên hoạch bài học chu đáo, tích c c tham hảo tài li u, học hỏi bạn bè đồng nghi p, nâng cao t ình độ chuyên môn Cần

có lòng nhi t tình, yêu nghề, có tinh thần t ách nhi m cao đối với công vi c

Mạnh dạn t ong vi c đổi mới phương pháp và phát huy tốt tác dụng của vi c tổ

chức t ò chơi toán học nhằm nâng cao ch t lượng giờ dạy

2.2 Đối v i Ph ng Giáo dục - Sở Giáo dục: hường uyên tổ chức, bồi

dưỡng, tập hu n cán bộ giáo viên để giáo viên hiểu vai t ò và tổ chức th c

hi n tốt nội dung này cũng như những nội dung i n thức hác t ong chương

t ình nhằm nâng cao ch t lượng giảng dạy, học tập của học sinh

Mặc dù đã tham hảo một số lượng lớn các tài li u hi n nay để vừa vi t, vừa

đi giảng dạy t ên lớp để iểm nghi m th c t , song vì năng l c và thời gian có hạn, trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ hông t ánh hỏi những thi u sót.Tôi t mong nhận được s đóng góp của các bạn đồng nghi p và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thi t th c hơn t ong nhà

t ường Góp phần nhỏ bé vào vi c nâng cao hơn nữa ch t lượng Giáo dục phổ thông Giúp các em học sinh có phương pháp - ỹ năng hi giải các bài toán liên quan đ n hàm số t ong các ỳ thi cuối c p

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA HIỆU

TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG

Thanh óa, ngày 15 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người th c hi n

Lê Bích Hảo

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo hoa Đại số 10 – NXB giáo dục

2 Sách giáo hoa Giải tích 12– NXB giáo dục

3 Căn số và toán vô tỉ - N b GD của Hoàng Kỳ

4 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG

Hà Nội

5 Khảo sát nghi m phương t ình – N b GD của Lê Hoành Phò

6 Hàm số - N b GD của Phan Huy Khải

7 Sách giải các đề thi Đại Học – Cao Đẳng