PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG TOÁN HỌC BẬC THCS

Đối với học sinh bậc THCS môn Toán được coi là một môn khoa học tự nhiên thuộc dạng khó, vì môn toán rất đa dạng và phong phú cả nội dung lẫn hình thức, đề giải được bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn Toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải, một trong số đó là các bài toán thực tế, đối với dạng toán này giáo viên phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải

Mục lục

Nội dung trang

Mục lục ……… 1

A Đặt vấn đề ……… 2

1 Lí do chọn đề tài ……… 2

2.cơ sơ lí luận……… 2

B Nội dung ……… 3

I Thực trạng về việc giải Toán thực tế ở trường THCS Tân Thạnh ……… 3

1 Thuận lợi ……… 3

2 Khó khăn ……… 3

II Các giải pháp về giải toán thực tế……… 4

1.Các bước giải toán bằng cách lập phương trình ( hệ phương trình ) …… 4

2 phương pháp giải các dạng toán thực tế ……… 6

2.1 Dạng tìm số ……… 7

2.2 Dạng chuyển động ……… 7

2.3 Dạng năng suất ……… 9

2.4 Dạng hình học ……… 10

2.5 Dạng tăng trưởng ……… 10

2.6 Các dạng khác ……… 11

3 một số chú ý khi giải toán thực tế ……… 11

III kết quả đạt được ……… 12

C.kết luận và khuyến nghị ……… 13

1 Kết luận ……… 13

10 2 Khuyến nghị ……… 14

Tài liệu tham khảo ……… 15

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

TRONG TOÁN HỌC BẬC THCS

A.Đặt vấn đề

1 Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh bậc THCS môn Toán được coi là một môn khoa học tự nhiên thuộc dạng khó, vì môn toán rất đa dạng và phong phú cả nội dung lẫn hình thức, đề giải được bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện Trong môn Toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải, một trong số đó là các bài toán thực tế, đối với dạng toán này giáo viên phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải Nhiệm

vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn, biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chổ những câu gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt Từ đó mới hình thành cho học sinh một số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học

Qua đó cho thấy,bài toán thực tế học sinh muốn giải được là vấn đề nan giải, đa phần các em đều không giải được các bài toán dạng này Vì vậy tôi nghiên cứu đề tài về

“ phương pháp giải các bài toán thực tế môn toán bậc THCS” mong được góp một

phần nhỏ vào thực hiện nhiệm vụ khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán thực tế

2.Cơ sở lí luận

Các bài toán thực tế luôn được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động

và học tập Phương pháp chung nhằm giải các bài toán này là phương pháp giải toán

bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) và điều quan trọng nhất của phương pháp này là nắm cách chuyển đổi từ bài toán bằng lời thành phương trình ( hệ phương trình ) tương ứng Muốn làm được điều đó trước tiên ta phải nắm vững “ ngôn ngữ đại

số ”, thứ ngôn ngữ không dùng lời mà chỉ dùng kí hiệu toán học, sau đó là ta phải biết

“phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số

B.Nội dung

I Thực trạng về việc giải Toán thực tế ở trường THCS Tân Thạnh.

1 Thuận lợi

- Nhà trường được sự quan tâm sâu sắc của các cấp lãnh đạo nên trường lớp được khang trang, khá đầy đủ đồ dùng phục vụ cho công tác day và học

- Có đội ngũ giáo viên trẻ, đạt chuẩn và trên chuẩn, có nhiệt huyết

- Đa phần là học sinh ngoan, chuyên cần

2 Khó khăn

- Cấp trên chưa tổ chức được hội thảo, tập huấn cho giáo viên về phương pháp truyền thụ, cách giải các bài toán mang tính tế, để thống nhất với nhau về phương pháp dạy các bài toán thực tế nhằm mang lại hiệu quả cao nhất đối với dạng toán khó này

- Giáo viên còn trẻ nên kinh nghiệm chưa nhiều, đôi khi còn gập nhiều khó khăn trong quá trình truyền thụ cách giải đến học sinh, không biết được cách giải nào

là phù hợp nhất, dễ hiểu nhất đối với các em

- Học sinh thường “sợ” dạng toán này nên khi đến dạng toán này các em có tâm

lí không thoải mái và hình như là buông xuôi, các em cũng không chịu tư duy mặc thầy thầy dạy các em cứ nghe nhưng hiểu thì chẳng có mấy em

- Các em nắm kiến thức cơ bản chưa chuẩn nên quá trình giải toán thầy cô phải nhắc lại kiến thức cũ nên vừa mất thời gian và số lượng bài tập cũng ít đi

- Các em chưa có nhiều kĩ năng tổng hợp, so sánh, đối chiếu, phân tích nên tuy các em học thuộc các bước giải nhưng để lập phương trình hay hệ phương trình là vấn

đề nan giải đối với các em

II Các giải pháp về giải toán thực tế

1.Các bước giải toán bằng cách lập phương trình ( hệ phương trình )

Quá trình giải một bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình là tương tự nhau gồm ba bước sau:

Bước 1: Lập phương trình, bước này gồm các khâu

+ Chọn ẩn số (kèm theo đơn vị nếu có) và xác định các điều kiện cho ẩn;

+ Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập phương trình (hệ Phương trình) biểu thị mối quan hệ đó

Ở bước này, chúng ta xuất phát từ nội dung bài toán mà phát hiện các đối tượng tham gia trong bài toán, các đại lượng liên quan đến chúng trong đó đại lượng nào đã biết , đại lượng nào chưa biết cần quan tâm ( là đại lượng cần tìm hay đại lượng mà biết nó thì sẽ biết được đại lượng cần tìm) Một trong các đại lượng chưa biết thì được chọn làm ẩn số và có thể có một số cách chọn ẩn khác nhau với cùng một bài toán Với các bài toán không phức tạp thì thường ẩn số trực tiếp là đại lượng chưa biết cần tìm được nêu trong câu hỏi của bài toán Điều kiện cho ẩn số có được là do khai thác từ ý nghĩa

cụ thể của đại lượng được chọn là ẩn số

Chẳng hạn, nếu x là số người thì nguyên dương, x là chữ số thì x N ,0   x 9

Hay cạnh của một hình, vận tốc, thời gian, quảng đường thì lớn hơn 0….Khi ẩn số đã được lựa chọn, cần phát hiện các mối liên hệ giữa các đại lượng có trong bài toán với

ẩn số cần tìm được hai biểu thức chứa ẩn (hay một biểu thức và một số liệu cụ thể) biểu thị cùng một đại lượng khi đó nối chúng lại bởi dấu “=” ta sẽ có phương trình cần lập

Ví dụ xét bài toán: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về

A mất 5 giờ Tính khoảng cách hai bến A và B, biết vận tốc nước chảy là

2 km/giờ.

Ở bài toán này các đối tượng tham gia là bến A, bến B, ca nô Các số liệu; khoảng cách AB(chưa biết); vận tốc ca nô(chưa biết);thời gian ca nô xuôi(đã biết); thời gian

ca nô ngược(đã biết);vận tốc nước(đã biết)

Nếu chọn khoảng cách AB làm ẩn số x, sẽ có hai biểu thức biểu thị vận tốc ca

nô là 2

4

x

 ( vận tốc xuôi trừ vận tốc nước) và 2

5

x

 ( vận tốc ngược cộng vận tốc

nước) từ đó ta có phương trình: 2 2

x x

   Nếu chọn vận tốc ca nô là x thì sẽ có hai biểu thức biểu thị khoảng cách là : (x + 2).4 ( vận tốc xuôi nhân thời gian xuôi) và (x -2).5 ( vận tốc ngược nhân thời gian ngược) từ đó ta có phương trình:

(x+2).4 = (x-2).5 giải ra tìm được vận tốc ca nô sẽ tìm được khoảng cách AB Trong khâu biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết cũng có thể hướng dẫn học sinh cách tiến hành biểu thị các đại lượng qua ẩn số trên một bảng

Chẳng hạn, bài toán : vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm

chân chẳn hỏi có mấy ga mấy chó?

Ta cỏ thể kẽ bảng sau:

Số lượng con vật Số lượng chân

Từ đó ta lập phương trình cần thiết từ cột số liệu chân

Ở bước này giáo viên cần lưu ý với học sinh ngoài các mối liên hệ có trong bài toán, còn có mối liên hệ là quan hệ có tính quy luật trong thực tế hay trong nội dung khác của toán, lí, hóa, như mỗi gà có 2 chân, mỗi chó có 4 chân, quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, khối lượng công việc bằng năng suất nhân thời gian, vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc ca nô cộng vận tốc nước, vận tốc ngược dòng bằng vận tốc ca nô

trừ vận tốc nước , các mối liên hệ kiểu này không được phát biểu trong bài toán nhưng cần được phát hiện và sử dụng thì mới lập được phương trình

Bước 2: Giải phương trình(hệ phương trình)

Bước này là bước giải bài toán toán học ( có được từ bước 1) bằng công cụ toán học, có sự hổ trợ của máy tính CASIO

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Bước ba là bước nhận định kết quả Từ những nghiệm của phương trình đã tìm được ta loại bớt những nghiệm không thỏa mãn các điều kiện đã đặt ra cho ẩn số với các nghiệm còn lại ta có được câu trả lời cho bài toán ban đầu

Đễ học sinh có ý thức bước này thực sự cần thiết, cần đưa ra một số dạng bài tập mà ở bước này thực sự có nghiệm bị loại chẳng hạn, tìm cạnh của một mảnh ruộng hình vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 10 m thì diện tích tăng thêm 20

m2

Gọi x là chiều dài cạnh hình vuông thửa ruộng, (x>0) ta sẽ có phương trình:

(x + 10)2 = x2 + 20 Nghiệm phương trình là x = -4 không thỏa mản điều kiện x > 0 mặc dù phương trình lập được là có nghiệm nhưng câu trả lời của bài toán ban đầu là không có thửa ruộng nào thỏa mản yêu cầu đầu bài

Cũng có thể cho học sinh thêm thận trọng ở bước này, giáo viên có thể đưa ra một số bài toán mà phải suy nghỉ rồi mới quyết định được khâu nhận địnhkết quả từ nghiệm phương trình lập được

Ví dụ : cha 40 tuổi, con 16 tuổi Hỏi bao năm nữa tuổi cha gấp ba lần tuổi con.

Gọi số năm từ nay tới khi sảy ra điều kiện nêu trong đề bài là x, ta có phương trình: 40 + x = 3.( 16 + x)

Phương trình có nghiệm x = -4, nghiệm này không loại mà câu trả lời sẽ là : trước đây 4 năm tuổi cha gấp 3 lần tuổi con

2 phương pháp giải các dạng toán thực tế

2.1 Dạng tìm số

- khi giải bài toán về số tự nhiên hay số nguyên mà có nhiều chữ số cần lưu ý học sinh các chữ số là những số tự nhiên nằm trong khoảng từ 0 đến 9 hoặc từ 1 đến 9 tùy theo

vị trí của chúng

- Đối với bài toán tìm số giáo viên cần cho học sinh ôn lai các kiến thức như:

10

ab a b

abc a b c

Hay về phép chia a = b.q + r

Trong đó : a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư Bên cạnh đó giáo viên còn hướng dẫn cho học sinh cách phiên dich ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số

Ví dụ : Hai số kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ 2 là 4 đơn vị Tìm hai số đó

Ta phiên dich như sau :

Tìm hai số

Hai số kém nhau 12 đơn vị

Số nhỏ chia cho 7

Số lớn chia cho 5

x (số nhỏ), y (số lớn)

y – x = 12

7 5

x y

Thương thứ nhất bé hơn thương thứ 2 4 đơn vị : 4

5 7

y x

Từ đó ta có hệ phương trình

12 4

5 7

y x

y x









Giải ra ta được x = 28, y = 40

2.2 Dạng chuyển động

- Khi giải các bài toán về chuyển động cùng chiều hoặc ngược chiều ta nên dùng hình

vẽ để học sinh hình dung một cách trực quan các đoạn đường mà các vật chuyển động đã đi Chẳng hạn, khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau giữa A và B và chúng gặp nhau ở C thì có thể biểu diễn ở hình sau:

A C B

Như vậy, tổng độ dài hai quảng đương đi được của hai vật chuyển động bằng quảng đường AB

Khi hai vật A và B chuyển động cùng chiều theo hướng từ A đến B và chúng gặp nhau ở C, biểu diến ở hình sau:

A B C

Ta có hiệu hai quãng đường đi được của hai vật chuyển động bằng khoảng cách AB

- Giáo viên cần ôn lại cho học về công thức tính quảng đường : s = v.t

Trong đó: s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian

Và nắm được công thức biến đổi của nó : v s;t s

t v

- Đối với dạng toán chuyển động phải cho học sinh xác định rõ các đối tượng, các đại lượng tham gia bài toán, từ đó có hướng phân tích bằng bảng và biểu thị dưới cùng một đại lượng

Ví dụ : Bác Hiệp và cô Liên đi từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km,

khởi hành cùng một lúc, vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc của mỗi xe

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe bác Hiệp , ĐK : x >3 khi đó ta có bảng sau :

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường(km)

3

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ (1/2 h) nên ta có phương trình

x  x 

Giải phương trình ta được x1 = 15 (tmđk) ; x2 = -12 (loại)

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h ; của cô Liên là 12 km/h

2.3 Dạng năng suất

- Để giải bài toán năng suất, làm chung làm riêng cần phải yêu cầu học sinh xác định các đối tượng, các đại lượng tham gia bài toán Từ đó liên hệ bởi công thức:

Khối lượng công việc (tổng SP) = năng suất x thời gian

Ở dạng này cũng có thể phân tích bài toán bằng bảng từ đó biểu thị các biểu thức cùng một đại lượng để lập phương trình (hệ phương trình)

Ví dụ: Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất

định Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó làm thêm được 2 sản phẩm, vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm hỏi theo kế hoạch mỗi giờ người đó làm bao nhiêu sản phẩm

Gọi x là số sản phẩm mà người công nhân làm theo kế hoạch

ĐK: x > 0

Ta có bảng sau:

Số SP mỗi giờ Thời gian (giờ) Số SP

Kế hoạch x 60

2

Vì thời gian hoàn thành sớm hơn 30 phút(1/2 giờ) nên ta có phương trình :

x  x 

Kết quả : x1=12 (tmđk) ; x2 = -20 (loại)

TL : theo kế hoạch mỗi giờ người đó làm được 12 SP

- Khi giải toán về làm chung làm riêng, cần coi toàn bộ công việc như 1 đơn vị

- Với dạng toán làm chung, làm riêng hay toán về vòi nước chảy, giữa thời gian hoàn thành công việc và năng suất trong một đơn vị thời gian là hai số nghịch đảo của nhau

- Đối với toán năng suất không được lấy thời gian HTCV của Đơn vị I cộng với thời gian HTCV của Đơn vị II bằng thời gian HTCV của cả hai Đơn vị còn năng suất thì được phép cộng

2.4 Dạng hình học

Để giải dạng này học sinh cần nắm vững các công thức tính diện tích, chu vi, thể tích các hình đã học như tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang… Bên cạnh đó còn phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số

Ví dụ: Cho tam giác vuông, nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tăng thêm 50 cm2 Nếu giảm đi mỗi cạnh góc vuông 2 cm thì diện tích tam giác sẽ giảm

đi 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông của tam giác

Bài toán được phiên dịch như sau:

(tìm) hai cạnh góc vuông của tam giác x và y (x,y > 0)

(ta nghĩ ngay đến diện tích tam giác) (1

2 x.y) Tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm x + 2 và y + 3

Diện tích tăng thêm 50 cm2 1 1

2 x y 2xy (1) Giảm cả hai cạnh đi 2 cm x – 2 và y – 2

Diện tích giảm đi 32 cm2 1 1

2 x y 2xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình,

Giải ra ta được x = 26 ; y = 8 (tmđk)

Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 26 cm và 8 cm

2.5 Dạng tăng trưởng

Đối với dạng này thường là toán về dân số, kinh tế, khi giải cần chú ý điều kiện (sau bao năm… ) và ta tách nó ra từng năm một để việc phiên dịch được thuận tiện hơn

Ví dụ: Dân số của thành phố Hà Nội sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người tính xem hằng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm?

Gọi số phần trăm tăng dân số trung bình hàng năm là x(%) ĐK: x > 0

Số dân tăng của năm thứ nhất là: 2000000

100

x

(=20000.x)

Số dân tăng của năm thứ hai là: (2000000+20000x)

100

x

(= 200x(x + 100)) Sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người nên ta có:

2000000+20000x + 200x(x + 100) = 2048288

Giải PT ta được x1 = 1,2 (tmđk); x2 = - 201,2 (loại)

Vậy dân số tăng trung bình hang năm là 1,2 %

2.6 Các dạng khác

Các dạng toán còn lại thường là toán về Lí, Hóa học và một số dạng toán về ngăn kéo, trang sách hay về bàn ghế của lớp học… để giải dạng này đòi hỏi học sinh cần có kiến thức căn bản của các bộ môn liên quan và thành thạo trong việc phiên dịch ngôn ngữ

Ví dụ: Cho một lượng dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200 gam nước thì được dung dịch 6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho

Ta có thể phiên dịch như sau: