Giáo án điện tử Phương trình đường tròn

Nhắc lại định nghĩa đường tròn đã học?Tập hợp tất cả những điểm M nằm trong mặt phẳng cách điểm Ι cố định cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm Ι , bán kính R... PHƯƠNG

NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ

 Phương trình tổng quát của đường thẳng ?

PT tổng quát đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 , với a2+b2 ≠ 0

Phương trình tham số có dạng: x = x0 + at

y = y0 + bt (a2 + b2 ≠ 0)

 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0)

và có vectơ chỉ phương u (a; b) ?

HÌNH TRÒN

R

M

M

Ι

Nhắc lại định nghĩa đường tròn đã học?

Tập hợp tất cả những điểm M nằm trong mặt phẳng cách điểm Ι cố định cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm Ι , bán kính R.

(I,R)= M|IM=R

R

M

M

Ι

y

x

O

1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

Ι

R

M

a

b

x

y

y

 Ta đưa vào mặt phẳng 1 hệ trục tọa

độ Oxy: Tâm Ι(a;b) và bán kính R >0.

M(x; y) ∈ ( )

khi nào? c

Tìm điều kiện của x, y sao cho M(x; y)

thuộc đường tròn ?

M(x;y)∈(C)  IM = R

= R Lời giải:

= R 2

Phương trình đường tròn



R

M

a

b

x

y

y

 Phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng:

Cần xác định: Tọa độ tâm và bán kính

 Để viết phương trình đường tròn ta cần xác

định yếu tố nào ?

(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2

 Đặc điểm phương trình đường tròn so sánh

với phương trình đường thẳng?

Phương trình đường tròn là phương

trình bậc 2 đối hai ẩn x và y.

 Từ phương trình đường tròn ta xác định được yếu tố nào ?

Xác định được: Tọa độ tâm và bán kính

1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN CÓ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

 Ví dụ 1:

Lời giải:

a.Tâm I(1; -3) và bán kính R= 2

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau:

 Ví dụ 2:

a Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-3;4) và bán kính R=3 ?

b Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 8 = 0

Lời giải

 Ví dụ 2:

a Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-3;4) và bán kính R=3 ?

b Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 8 = 0

Lời giải

là

b Ta có: (C) tiếp xúc với ∆

●

I

∆

R

 R = d( I; ∆)

 R

* Chú ý:

Cho 2 điểm A(3,-4) và B(-3,4)

a) Viết phương trình đường tròn

(C) tâm A và đi qua B?

b) Viết phương trình đường tròn

đường kính AB ?

Giải:

a) Đường tròn (C) tâm A(3;-4) và nhận AB làm bán kính :

(C): (x - 3)2 + (y + 4)2 = 100

b) Tâm Ι là trung điểm của AB

⇒ Ι (0,0) Bán kính R = AB 10

5

Vậy phương trình đường tròn:

Đường tròn có tâm O(0;0), bán kính R có phương trình:

Ví dụ 3:

x2 + y2 = R2

AB = (-3-3) + (4 + 4) = 100 = 10

A

B

Ι

A

Ι là trung điểm AB

A B I

A B I

x

2

y

2

+

 =





 =



2 2

x y 25

VP > 0

⇒ (2) là PT đường tròn

VP = 0 (2) là tập hợp điểm

có toạ độ (a;b)

⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

⇒ x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2

Có phải mọi phương trình dạng (2) đều là PT đường tròn không? (2) ⇔ x2 -2ax + a2 - a2 + y2 - 2by + b2 – b2 + c = 0

⇔ (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c

VP < 0

⇒ (2) vô nghĩa

0

(x - a)2 (y - b)2 (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

 Khai triển phương trình đường tròn (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 ?

2 NHẬN XÉT

Ι

R

M

x0

y0

x

y

y

 Nhận xét

 Phương trình đường tròn dạng khai triển:

x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với c = a 2 + b 2 – R 2

 Phương trình x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương

trình đường tròn  a 2 + b 2 – c > 0

Khi đó đường tròn có tâm I (a;b) và bk R = a +b2 2− c

 Chú ý: Một số đặc điểm nhận dạng của phương trình đường

tròn:

1. Hệ số x 2 và y 2 là bằng nhau ( thường bằng 1)

2. Trong phương trình không xuất hiện tích xy

3 Điều kiện: a 2 + b 2 – c > 0

4 Tâm I(a; b) và bán kính R = a +b2 2 − c

VD4: Xét xem phương trình sau có là phương trình đường tròn hay

không? Xác định tâm và bán kính (nếu có).

Lời giải

a Ta có:



=> a2 + b 2 – c = 2 2 + (-1) 2 – (-11) = 16 > 0

Do đó x2 + y2 − 4 x + 2 y − = 11 0 là phương trình đường tròn.

+) Phương trình trên có tâm I( 2, -1) và bán kính R=4

Đặc điểm nhận dạng:

1.Hệ số x 2 và y 2 bằng nhau 2.Không xuất hiện xy

3.Đk a 2 + b 2 – c > 0 4.Tâm I(a,b) ; bk

c

−

2 2

R = a +b

b Ta có : 2 2

12

a b c







1 3 12

a b c

=







a b c

⇒ + − = − <

2 2 2 6 12 0

x + − y x + y + =

Do đó không là phương trình đường tròn

Ví dụ 5: Trong các phương trình sau thì phương trình nào là phương

trình đường tròn?

D) x + y + − x 2 y + 200 0 =

2 2

C) x + y − 2 x − 6 y + = 1 0

B) x + 2 y − 2 x + 5 y + = 2 0

A) x + y − 2 xy + 3 x − 5 y − = 1 0

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng:

(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2

CỦNG CỐ BÀI HỌC

 Cách viết phương trình đường tròn khi biết:

 Tọa độ tâm I và bán kính R

 Tọa độ tâm I và một điểm đi qua

 Tọa độ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆

 Đi qua A; B và nhận AB làm đường kính

Phương trình x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với điều kiện (a 2 + b 2 – c>0) là phương trình khai triển của đường tròn tâm Ι(a; b) ,

bán kính 2 2− c

R = a +b