Đề thi TS vào lớp 10 chuyên môn toán trường ĐHQG TP HCM năm 2016

Giải hệ phương trình với m 3.. Chứng minh rằng x y là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.. AQ cắt đoạn BM tại E và NA cắt đoạn CP tại F.. Chứng minh ABE~ACF và tứ giác EFQN là tứ giác

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2016 MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài I : 2,5 điểm

1 Cho hệ phương trình :   

2

2





a Giải hệ phương trình với m 3

b Tìm m để hệ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x0; y0 thỏa mãn x0 0; y0 0

2 Tìm a để phương trình 2  

ax   a x  a có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn : x22ax1a2 a 1

Bài II : 2 điểm

Cho x y là hai số nguyên dương mà , 2 2

10

x y  chia hết cho xy

1 Chứng minh rằng x y là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau ,

2 Chứng minh rằng

2 2

10

k

xy

 

 chia hết cho 4 và k12

Bài III : 1,5 điểm

x y z x  y z x y z 

S  xy  xy y z yz

2 Tìm giá trị lớn nhất của P xyyzzx

Bài IV : 3 điểm

Tam giác ABC nhọn có ABC450 Dựng các hình vuông ABMN , ACPQ ( M và C nằm khác phía với AB , B và

Q khác phía với AC ) AQ cắt đoạn BM tại E và NA cắt đoạn CP tại F

1 Chứng minh ABE~ACF và tứ giác EFQN là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh rằng trung điểm I của EF là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 MN cắt PQ tại D , các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMQ và DNP cắt nhau tại K K D , các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B và C cắt nhau tại J Chứng minh các điểm D , A , K , J thẳng hàng

Bài V : 1 điểm

Với mỗi số nguyên dương m1 , kí hiệu s m là ước nguyên dương lớn nhất của m và khác m Cho số tự nhiên  

1

n , đặt n0 n và lần lượt tính các số n1n0s n 0 ,n2  n1 s n 1 , , ni1 n i s n i , Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k để n k 1 và tính k khi n2 1416 17