Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng th ng AK, SC... Mà AK SD nên AK SCD Suy ra AK IK và AK SC.
Trang 1Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s 2
y x x x
Câu 2 (1,0 đi m)Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s 2
cos 2 2sin 1 ln
f x x x x e trên đ a [0;e]
Câu 3 (1,0 đi m)
a) Tính gi i h n
2
lim
2
x
x
b) Gi i ph ng trình 2 2 3 1 2 2 3
4x3.2x x x 4 x x 0
Câu 4 (1,0 đi m) Tính tích phân
3
2 1
1 ln 1
x
e x
x
Câu 5 (1,0 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai m t ph ng có ph ng trình
P : 2x3y4z20 và 0 Q : 4x13y6z40 Ch ng minh (P) c t (Q) theo giao 0 tuy n là đ ng th ng d Vi t ph ng trình đ ng th ng d
Câu 6 (1,0 đi m)
a) Gi i ph ng trình 4 4
4
x x
b) Trong m t ph ng t a đ Oxy góc ph n t th nh t ta l y 2 đi m phân bi t; c th các góc ph n t th hai, th ba, th t ta l n l t l y 3,4,5 đi m phân bi t (các đi m không
n m trên các tr c t a đ ) Trong 14 đi m đó ta l y 2 đi m b t k Tính xác su t đ đo n
th ng n i hai đi m đó c t hai tr c t a đ
Câu 7 (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i
ABa ADa C nh bên SA vuông góc v i đáy, c nh SC t o v i đáy góc 30o
G i K là hình chi u vuông góc c a A trên SD Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng AK, SC
Câu 8 (1,0 đi m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có đ nh C(2;–5)
và n i ti p đ ng tròn tâm I Trên cung nh BC c a đ ng tròn (I) l y đi m E, trên tia đ i c a tia EA l y đi m M sao cho EM = EC Tìm t a đ đ nh A, bi t đ nh B thu c đ ng th ng d: y – 2
= 0 và đi m M(8;–3)
Câu 9 (1,0 đi m) Gi i h ph ng trình
3
,
x y
Câu 10 (1,0 đi m) Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2
3
xy xy z xyz Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 2 4
2
P
S GD VÀ T PHÚ YÊN
TR NG THPT CHUYÊN
–––––––––––––––––
CHÍNH TH C
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ
Ngày thi 09/10/2015
Trang 2ÁP ÁN Câu 1
Ta có 3 2
yx x
+TX : D =
+S bi n thiên:
–Chi u bi n thiên:
2
y x x ; y’ = 0 x = 0 ho c x = 2
Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) và (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2)
–C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2
–Gi i h n t i vô c c: lim ; lim
+B ng bi n thiên
y
+ th
Câu 2
Trang 3Hàm s f(x) xác đ nh và liên t c trên đo n [0;e]
Ta có: 1
'
f x
x
Ta có: f 0 3;f e 3 ln 2
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a f(x) trên đo n [0;e] l n l t là 3 + ln2 và 3
Câu 3
a) V i m i 5, 2
2
x x , ta có:
2
4
2 2 5 1
x
f x
f x
V y
2
2
x
x
4x3.2x x x 4 x x 0 (1)
K: 2
x x
a b a b Ph ng trình (1) tr thành
4 (do 0)
Do đó
4 2 13
3
x
Trang 4(th a mãn)
V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t x = 4 2 13
3
Câu 4
Ta có:
1
x
3
3
1
3
1
2
3
2
3 1
1 2
ln 1 ln 4 ln 2 ln 2
1
ln
1
1
1 1
ln 3
4
ln 3
ln 3 ln 4 0 ln 2
4
3ln 3
ln 2
4
3ln 3 4
dx
x
x
x
x
I I I
Câu 5
Vect pháp tuy n c a (P) và (Q) l n l t là n12; 3; 4 và n24; 13; 6
Gi s (P) song song ho c trùng (Q), thì t n t i s th c k sao cho:
2 4
k
k
(vô lí)
V y (P) c t (Q) theo m t giao tuy n là đ ng th ng d
Ta có: n n1; 2 70; 28; 14
Trang 5Vì d là giao tuy n c a (P) và (Q) nên nh n 1 2
1
14
u n n làm vect ch ph ng
M t khác đi m M(0;4;–2) đ ng th i thu c (P) và (Q) nên M d
Ph ng trình (d): 4 2
x y z
Câu 6
a)
2 2
2 2
4
4
2
1 cos 2 1 sin 2 4
1 2 cos 2 cos 2 1 2 sin 2 sin 2 4
2 cos 2 sin 2 1
1 cos 2
x
4
v i arccos 1
2 2
V y ph ng trình có các nghi m
x k k
b) G i A là bi n c “ ng th ng n i hai đi m đ c ch n c t hai tr c t a đ ”
Trang 6+Tính s ph n t c a không gian m u:
S cách ch n 2 trong 14 đi m đã cho là 2
14 91
+Tính s k t qu thu n l i cho A:
đo n th ng n i hai đi m c t hai tr c t a đ thì chúng ph i n m hai góc ph n t đ i x ng nhau qua g c t a đ O (m i đi m n m m t góc ph n t )
–TH1: Hai đi m n m hai góc ph n t (I) và (III):
S cách ch n đi m n m trong góc (I): có 2 cách
S cách ch n đi m n m trong góc (III): có 4 cách
Theo quy t c nhân, có 2.4 = 8 (c p đi m) th a mãn TH này
–TH2: Hai đi m n m hai góc ph n t (II) và (IV):
S cách ch n đi m n m trong góc (II): có 3 cách
S cách ch n đi m n m trong góc (IV): có 5 cách
Theo quy t c nhân, có 3.5 = 15 (c p đi m) th a mãn TH này
Theo quy t c c ng, s k t qu có l i cho A là 8 + 15 = 23
Xác su t c n tính là: 23
91
A
P
Câu 7
Trang 7+Tính th tích
Vì SA vuông góc v i đáy nên góc gi a SC và (ABCD) là SCA 30
ABCD là hình ch nh t, tam giác ABD vuông t i A nên:
3
ACBD AB AD a
Tam giác SAC vuông t i A:
.tan 30
SA AC a
Th tích kh i chóp:
a
+Tính kho ng cách:
V AI SC t i I
Vì SA CD, AD CD nên (SAD) CD
Suy ra AK CD Mà AK SD nên AK (SCD)
Suy ra AK IK và AK SC
AK SC, AI SC nên (AKI) SC SC IK
IK là đo n vuông góc chung c a AK và SC d(AK,SC) = IK
Tam giác SAD vuông t i A:
2 2
3
a AK
Trang 8Tam giác SAC vuông t i A:
2 2
4
a AI
AI SA AC
Tam giác AIK vuông t i K:
6
a
IK AI AK
6
a
AK SC
Câu 8
BE c t CM t i F
AC là đ ng kính c a (I) nên AEC 90 CEM 90
Suy ra tam giác ECM vuông cân t i E ECF 45
ABEC là t giác n i ti p nên CEF CAB 45 (∆ CAB vuông cân)
Suy ra ∆ ECF vuông cân t i F
EF là đ ng cao c a tam giác cân ECM F là trung đi m CM
5; 4
ng th ng BF đi qua F , nh n vect 1
3;1
2CM làm vect pháp tuy n
Ph ng trình BF: 3x y 11 0
T a đ c a đi m B th a mãn h :
Trang 9
3; 2
2 0
x y
B y
Ta có: CB 1;7 Do đó đ ng th ng BC qua B và nh n vect n7; 1 làm vect pháp tuy n
Ph ng trình BC: 7x y 190
AB qua B và nh n CB 1;7 làm vect pháp tuy n
Ph ng trình AB x: 7y170
G i A17 7 ; a aAB Ta có:
2
1
3
a
a
A và M n m khác phía so v i BC nên 7xAyA19 7 xMyM19 0
a A x y x y (lo i)
a A x y x y (th a mãn)
V y A(–4;3)
Câu 9
3
K: 1
2
y
2 2
Xét hàm 2
f t t t trên
Ta có: 2
f t t t
Trang 10Suy ra f(t) đ ng bi n trên
1
2
x
Thay vào ph ng trình (2) ta đ c:
3
V i x ≥ 1 ta có: 2 2
6 2x1 x2 0;6x 10x 4 0
Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho ba s không âm, ta có:
6x 10x 4 8 8 3 6x 10x4 8.812 6x 10x 4
6 2x 1 x 2 6x 10x 4 8 8 12 6x 10x 4
D u b ng x y ra 2
2
1
x
2
H có nghi m duy nh t 2;5
2
Câu 10
2
P
3 (*)
xy xy z xyz
T (*) suy ra
Trang 11
2
2
2
4
xy z
xy
z
K t h p v i (*) ta có:
2
4 4
xy
xy
2
2 2
2
1
P
T (*) suy ra
2
3
t t x y,t 4
z
1
P t
t
Xét hàm s 2 3
1
f t t
t
trên [4;+∞)
Suy ra f(t) đ ng bi n và liên t c trên [4;+∞)
4
71
4
P
D u b ng x y ra khi x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = 1
V y giá tr nh nh t c a P là 71
4