free bài toán tính chất đường tròn_tính chất góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp

Câu 1[MOONTV 2-6-A TUẤN]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn  C đường kính AD.. Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường

PHẦN 1: BÀI TOÁN TÍCH CHẤT : TÍNH CHẤT-GÓC NỘI TIẾP- TỨ GIÁC NỘI TIẾP

CÕN RẤT NHIỀU PHẦN NỮA, CÁC EM THEO DÕI FB CỦA ANH VÀ TẢI VỀ LÀM NHÉ!

Câu 1[MOONTV 2-6-A TUẤN]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp

đường tròn  C đường kính AD Gọi E 2;5 là một điểm thuộc cạnh AB Đường thẳng DE cắt đường

tròn  C tại điểm thứ 2 là K Biết phương trình các đường thằng BC và CK lần lượt là x y 0 và

3x  y 4 0 Tìm toạ độ các điểm A,B,C

Lời giải:

Giả sử KC cắt AD tại F Ta có: EF song song với

BC vì cùng vuông góc với đường thẳng AD

Ta có: DKC  DACEAF tứ giác AKEF nội

tiếp do đó   0

AFE AKE

Suy ra EF/ /BC Ta có: C  2; 2 ACBC

Khi đó : 3 0 1 5;

2 2

EF x y F 

      Khi đó: AD x:    y 2 0 B 4; 4 A8;10

Vậy A8;10 ;   B 4; 4 ;C  2 2 là các điểm cần

tìm

Câu 2[MOONTV—6-A TUẤN]:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp

đường tròn  C có A 5;3 Gọi E là một điểm nằm trên cung nhỏ AC của  C Trên tia đối của tia EB

lấy điểm D12; 4 sao cho EDEC Biết điểm B và E lần lượt thuộc các đường thẳng x  y 2 0 và

3 2 0

x y  Tìm toạ độ các đỉnh B,C

Lời giải:

01 BÀI TOÁN TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÕN P1

TÍNH CHẤT-GÓC NỘI TIẾP- TỨ GIÁC NỘI TIẾP

GV: LÊ VĂN TUẤN-MOONACADEMY.VN

Gọi B t ; t 2 ta có: ABAD ( vì cùng

bằng AC) Do 2 tam giác AEC và AED bằng

nhau

Khi đó   2 2

t  t   t

Suy ra B0; 2  BD x: 2y 4 0 Khi đó

 8; 2

E CD: 3x y 320

Khi đó H  11;1 ;C 10; 2

Vậy B0; 2 ;  C 10; 2

Câu 3[MOONTV-2-6-A TUẤN]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC gọi E là trung điểm

của AB, trên AC và BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM ME BN, NE Gọi D là điểm đối xứng

của E qua MN Biết rằng M 1;5 ;N 4; 4 ;D 6;0 , điểm C thuộc đường thẳng x  y 2 0 và có hoành

độ dương Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C

Lời giải:

Ta có :  NDM NEM ( tính chất đối xứng )

NEM  AEMNEB   A B C

Do vậy 4 điểm DNMC nội tiếp trong một đường tròn

Ta có: MN x: 3y160;DE: 3x y 180

Trung điểm của DE là I   7;3 ;E 8;6

PT đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC đi qua 3 điểm

 1;5

M ;N 4; 4 ;D 6;0 là :  2 2  

x y  T

Gọi C t t ; 2 ta có:   2 2  

t  t  C Khi đó MC x: 2y 11 0;BC x:   y 8 0 GọiA11 2 ; a a B b ; ;8b

    



     

  Do đó A29; 9 ;  B 13; 5 ;   C 5;3 là các điểm cần tìm

Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  T Biết AC vuông góc với

BD tại E1; 1  Gọi 5; 3

3

M  

  là trung điểm của AB và

3 0;

4

N 

 

  là điểm thuộc cạnh CD sao cho 3

CN DN Viết phương trình đường trong  T biết C có hoành độ dương

Lời giải:

Do tứ giác ABCD nội tiếp nên  

B C ( cùng chắn

cung AD)

Mặt khác MEMBMA nên ta có:   

B E E

suy ra  

E C Lại có   0   0

E E  E C 

Hay MECD Khi đó CD qua N và vuông góc với

ME có PT: 3x4y 3 0 hay 1 4

3

y t

  



 

1 4 ;3 1 4 ; 3

4

C   t t CN  t  t



Lại có:

1 4 3

3 3

D

D

t x

CN ND

t y

 





       



 

1 4

;1

3

t

D  t

; 2 ; 4 2;3 1 3

t

ED  t EC t t

3

5

t t

t loai







  



 

Khi đó: CE: 2x  y 3 0;DE x: 2y 1 0 Gọi A a a ; 2 3 ; B  2b 1;b

a b

MA MB

  



       



 

suy ra A0; 3 ;  B 5; 3  Suy ra PT đường tròn  T là:

      

Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC Đường

tròn đường kinh AM cắt BC tại B, cắt BD tại N(6; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x  y 7 0 Tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2

Lời giải:

Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

do vây  0

90

ANM  Mặt khác   0

45

AMN ABN  ( cùng chắn



AN )

Do đó ANM vuông cân tại N Ta có: AN x: 5y 4 0

Gọi A5t4;t Khi đó: ANMN   2 2

5t 10 t 2 16

      Gọi C u u ; 2 7

7

u

u loai







      

 

Lại có: BC x:  7 B 7;1 D 1;7

Vậy A       1;1 ;B 7;1 ;C 7;7 ;D 1;7

Câu 6[LVT]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với B 2; 2 , M là trung điểm của BC

đường tròn  C ngoại tiếp hình vuông ABCD cắt đường thẳng AM tại H 1;3 H  A Tìm tọa độ các

đỉnh A của hình vuông ABCD và viết phương trình đường tròn  C biết D có hoành độ âm

Lời giải :

Ta có tứ giác ADHB nội tiếp do đó

BHDDAB DHB từ đó BHD là tam giác vuông

tại H Lại có  BDH BAH nên ta có: DH2HB

Phương trình đường thẳng DH là: x  y 2 0

Gọi D t t ; 2 ta có:

3

t

t loai

 



      

 Khi đó D1;1, gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

3

G

G

x

y

  

    



 

Phương trình đường thẳng GH là: x1, phương trình đường chéo AC là 3x  y 3 0

Do vậy A 1;0 , tâm 1 3   1 2 3 2 5

I  C x  y  

     

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A cóABAC, phương trình đường

trung tuyến AM là: d x: 2y 4 0, đường tròn  C có tâm thuộc cạnh AC đi qua 2 điểm A và M cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại 4;5

2

H 

 

  ( H không thuộc AC) Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam

giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng 25

4

Lời giải:

Tâm I của đường tròn  C thuộc AC mà ABAC nên AB là tiếp

tuyến của đường tròn  C BAM  AHC ( cùng chắn AM )

Mặt khác tứ giác ABCH nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam

90

2

BHM  MBMAMH  BC

Do vậy 2 tam giác cân tại M là : MAB MAH

Do đó AB AH và MBMH nên AM là trung trực của AM

Phương trình đường thẳng BH là: 2 21 0

2

x y 

Trung điểm của BH là nghiệm của HPT:

21

2

2 4 0

x y

x y

   

   



ABC

S

d B AM

 

2 2

2

3 125

; 7; 4

      

 

        



  



6; ; 1;1 ; 7; 4

2

B   C C

  là các điểm cần tìm

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trực tâm H1; 2 , gọi E và F là chân đường cao

hạ từ B và C biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là:   1 2 7 2 5

:

C x  y  

   

    và

1 3

;

2 2

M 

 

  là trung điểm của BC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn  C đường kính AH do có E và F

cùng nhìn AH dưới một góc 0

90 Đường tròn  C xác định có tâm 1 7  

2 2

I    A 

Phương trình đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH là:

: 3 5 0

AH x y  Gọi B5 3 ; t tC3t4;3t

Khi đó giải:  AB CH   0 5 3t5 3 t  t 5t 5 0 0

3

t t





  



Với t 0 B  5;0 ;C 4;3

Với t 3 B4;3 ;  C 5;0

Đáp số : A0; 5 ;    B 5;0 ;C 4;3 hoặc A0; 5 ;  B 4;3 ;  C 5;0

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vuông ABCD có K là điểm đối xứng của D qua C Điểm

 3; 4

E nằm trên cạnh AB, đường thẳng d đi qua E vuông góc với DE cắt đường thẳng BK tại F 6;3

Tìm tọa độ đỉnh D của hình vuông ABCD

Câu 10: (LVT-THI THỬ MOONACADEMY-LẦN 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC

nhọn nội tiếp đường tròn  C Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC và từ B

xuống đường kínhAA'của đường tròn  C Biết điểm 1 8;

5 5

H 

 , đường thẳng AC và BK lần lượt có phương trình là 2x  y 6 0 và x7y150 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

Dễ thấy tứ giác AKHB nội tiếp do đó BAK KHC ( cùng bù với

góc KHB ) Mặt khác BAK BCA' KHCHCA'

Do đó HK/ / 'A CACHKAC

Khi đó: : 2 17 0 31 58;

HK x y K 

    Suy ra AA' : 7x   y 11 0 A 1; 4 Khi đó

    : 2 3 0 1; 2 ; 3;0

BC x y  B  C

Vậy A  1; 4 ;B 1; 2 ;  C 3;0 là các điểm cần tìm

Câu 11: (LVT-ĐỀ THI THỬ MOONACADEMY LẦN 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác

ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn  C Trên cung nhỏ AB của đường tròn  C lấy điểm M , trên

cạnh CM lấy điểm N sao cho BM CN , điểm P thuộc đường thẳng AC Biết

    4; 4 ; 0; 2 ; 2; 2

M N P  và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2 Tìm toạ độ các điểm A,B,C

Lời giải

Ta có: AMN  ANC c g c  do đó AM  AN

Mặt khác   0

45

AMN  ABC nên tam giác AMN vuông cân

tại A Do AM AN nên A thuộc trung trực của MN có

phương trình 2x  y 7 0 Gọi A t ;7 2 t

Khi đó  AM AN   0 t 4 t 3 2t5 2 t0

 

   

1 1;5

3 3;1

 



 

 

Với A 1;5 ta có: AC x:   y 4 0, AB x:   y 6 0

: 2 4 0; : 2 12 0

MN x y  MB x y 

Do đó B  6;0 ;C 4;0

Câu 12[LVT-THI THỬ MOONACADEMY]:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn  C đường kính AE Đường phân giác trong góc A có phương trình x2y 2 0, H là hình

chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC Biết điểm 13 9  

; ; 4; 2

5 5

H  E

  , tìm toạ độ các đỉnh của tam

giác ABC

Lời giải:

Chứng minh AD là phân giác góc HAE

Ta có: ED: 2x   y 6 0 D2; 2 

Suy ra E' 0; 6  

Suy ra AH: 3x   y 6 0 A2;0I 1;1

: 3 8 0

BC x y      2 2

C x  y 

  14 18

2; 2 ; ;

5 5

  hoặc ngược lại

Câu 13: Đề Sở GD Hà Nội: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H 5;5 là

hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên cạnh BC , đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC nằm

trên đường thẳng x7y200 Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC đi qua điểm

 10;5

K  Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương

Lời giải:

Ta có:  BAH ACH ( cùng phụ với góc ABC )

Mặt khác MAMCMAC MCA

Suy ra MAC BAH Lại có:  BADCAD do vậy AD cũng

là phân giác góc HAM

Gọi K1 là điểm đối xứng của K qua AD khi đó K1AH

Ta có: KK1: 7x y 65 0 trung điểm I của KK1 là

19 3

;

2 2

I 

  suy ra K1 9; 2 Khi đó AH x: 2y   5 0 A AHADA 1;3

Lại có: BC: 2x y 150, : 2 11 35 0 13; 2

2

AM x y  M 

 

  Gọi B t ;15 2 t ta có:

2

2

13 2

9

B t





 

           

Vậy A    1;3 ;B 4;7 ;C 9; 3 

Câu 14: Chuyên ĐH Vinh lần 3[ 2016] : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A

(AB AC ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H, E là

hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng AC Cho biết H 1; 2 , trung điểm của đoạn CD là

7

; 2

2

K 

 

 , điểm E thuộc đường thẳng :x3y 5 0 và E có tung độ bé hơn 1 Tìm toạ độ đỉnh A

Lời giải:

Nhận xét: Đây là bài toán 3 điểm

Bài toán này liên quan đến 3 điểm H,K,E trước hết

các bạn nối lại

Nhận xét xem nó có tạo thành tam giác vuông

hoặc tam giác cân hay không Tốt nhất là vẽ 2 cái

hình xem như thế nào rồi đi chứng minh

Ta có:

1 2

KEC KCE do EK KC CD

HEA ADH cung chan AH





Mặt khác  ABH ADH và   0

90

ABHKCE Nên  0

90

HEK  hay EKHE

Gọi E5 3 ; t t ta có: EH EK  0 suy ra 13 4;

5 5

E 

  Mặt khác BC y:  2 AH x: 1 Gọi D t ; 2 ta có:  

 

2

5; 2

D

KE KD t

D



 

      

  

Do D nằm giữa H và K nên ta chọn D 2; 2 khi đó AC x: 2y  1 0 A 1;0