HỆ BẤT PHưƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐH NĂM 2016

Toán học là một môn học khá khô khan và “khó nhằn”. Điều này hoàn toàn đúng với những ai không biết cách và không áp dụng được phương pháp học tốt môn toán. Điều đầu tiên đối với bất cứ môn học tính toán nào là yêu cầu đòi hỏi bạn phải nắm vững công thức, lý thuyết.

Trang 1

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT

TỔNG HỢP HỆ - BẤT - PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016

Bài 1: Giải hệ phương trình:

Trang 2

 

Với y2 thì x5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

Trang 3

Bài 4: Giải phương trình:

1 5

2 0,

f t  t t f t  t    x R, suy ra h|m số f(t) liên tục trên R Từ (3)

ta có f(2 )x  f( y 2)  2x y 2 Thay 2x y 2(x 0) v|o (2) được

Trang 4

1 4

x y

Hệ pt được viết lại: 2

2

1 4

x y x y

0 0

x y

Bài 7: Giải hệ phương trình: 

Trang 5

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8

Bài 9: Giải bất phương trình: x2 + x – 1  (x + 2) 2

x  x

Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH

Lời giải tham khảo

Trang 6

3 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình l|    1

Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

Từ phương trình (1) ta có: 3  3  

x  x y  y Xét h|m số   3

f x  f y   x y Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:

Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:

 

  2 2 3

Trang 7

Ta có g  1 0; g 3 0 Từ đó phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm x 1 và 3

x

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  1; 2 và  3; 2

Vế tr{i luôn dương, PT vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 1; 1

Trang 8

Hệ phương trình có hai nghiệm

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất : x y;    2; 2

Trang 9

Bài 15: Giải bất phương trình:

Bất phương trình có nghiệm duy nhất x  2 2 3



 thì bất phương trình  2 được

Trang 10

u v x

   Thay vào phương trình (2), ta được: v2   v 2 0

Thay v|o phương trình (2), ta được: v2  v 2 0

Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

Điều kiện: 3

2

x 

Trang 11

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( 1; 2)  và (3; 2)

Trang 12

Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1

Trang 13

 

Với y2 thì x5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

21

Trang 14

Vậy nghiệm của phương trình l| (x;y)(2;3)

Ta thấy x0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3

Trang 15

đồng biến trên ;0; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên ;0 v| phương trình có

ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3 Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3)

Trang 16

Vậy nghiệm của hệ l| (2;3)

Thay x  1 y v|o (2) ta được: 1 x2  (1 x)  x2  x 2 0       x x 12  y y 30

Vậy hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3)

Trang 17

Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG

Trang 18

Điều kiện: x+y0, x-y0

KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2)

Trang 19

Trang 20

V}̣y hpt có nghiệm 25 25;

C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm   4 3 3

Bất phương trình đã cho tương đương

(x x  1 x  x 1 x    x 2) (1 x   x 1) 0

Trang 21

Tóm lại , với mọi x ta có A>0 Do đó (1) tương đương x   1 0 x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1;)

Chú ý : Cách 2 Phương pháp hàm số

Đặt u  x2 x 1 u2  x2 x 1 thế v|o bpt đã cho ta có

1 1

) 1 1

( 1

2 2

u

u u

x x x

x

u

Xét f(t)t2tt t21)

t t

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 2

Trang 22

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32

Lần 1 – THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM

Điều kiện x 2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

Trang 23

6 6 36 trên như sau :

Do tính đối xứng nên giả sử :

24

Trang 25

Mà f t  liên tục trên  2; , suy ra h|m số f t  đồng biến trên  2; 

Do đó: x y 1 Thay y x 1 và phương trình (2) ta được: 3

x   x Thay y x 1 v| phương trình (2) ta được: 3

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x y;  2;3

Bài 45: Giải bất phương trình: 3 2

Xét h|m số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, 

Do đó h|m số y = f(t) đồng biến trên R, mặt kh{c (2) có dạng

f x  f x  x  x (3) +) Với 0 x 2 l| nghiệm của (3)

+) Với 0 x 2 l| nghiệm của (3)

+) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta được 2

x  x    x Kết hợp nghiệm ta được 2 < x  4 l| nghiệm của (3)

Vậy nghiệm của (3) l| 0 x 4, cũng l| nghiệm của bất phương trình (1)

Trang 26

 , suy ra phương trình (*) vô nghiệm

+ Với y x 1 thay v|o (2) ta được 3 5 x 3 5x 4 2x7 (3)

Trang 27

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm l| ( ; )x y (1;2) à ( ; )v x y (4;5)

Thay vào (1): x 3 + x – 2 = 0  x = 1 Nghiệm của hệ (1;1)

Trang 28

x x

Trang 29

Thay y = x v|o phương trình (2) ta được : 2

+ nhận thấy x=0 không thỏa

+ Khi x0ta có hệ tương đương

2

2 2

1 4 1

y

x y

Ta thấy x0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3

Trang 30

f , f / t t 1  0 , t 0 nên h|m số luôn đồng biến trên

0;

(*) f y  f x6

5

8412

2 2

0 0

4

y x

x y

Trang 31

x x

Trang 33

 

Trang 34

; 4 ; 9; 3 3

9 4

x x

x

x x

Trang 35

đúng khi x3 nên (4) vô nghiệm

Vậy x= 5 ; y =16 l| nghiệm duy nhất của hệ phương trình

 

Với y2 thì x5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

Trang 36

Lần1 – THPT LÊ QUÝ ĐÔN

Trang 37

256

382 6 633x

Trang 38

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ), ( ; ).1 2 4 5

Bài 69: Giải bất phương trình: x320x24x4x2x x4 x

Trang 39

Trang 41

ta suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm l| 5 2

Trang 42



     

Kết hợp với điều kiện x 1 suy ra tập nghiệm bất pt l|: S=3;

1 1 (tmdk)1

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1)

Bài 76: Giải hệ phương trình:   

Trang 43

Suy ra g(x) l| h|m số đồng biến v| liên tục với x(-4; )

Do đó phương trình g(x) = 0 có tối đa một nghiệm với x(-4; )

Trang 44

y = x + 4 = 0+ 4 =4

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = 0 ; y = 4

2

( 1) ( 2 3 1)

2( 1)(2 3)

Trang 45

▪ Vậy x2 l| nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 80: Giải hệ phương trình:  

Lần 2 – THPT NGUYỄN HUỆ - KHÁNH HÒA

Trang 46

Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU

Nh}n hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ theo vế cho (2), ta được phương trình:

Trang 47

Trang 48

Kiểm tra c{c nghiệm trên đều thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm  x y; là 15 97;10 97 ; 11 73;6 73

x

y x y

x y

x

3 14 4

1 9 ) 2 3 (

1 7 3 1 5

1 4 4 2

Lần 1 – THPT NGUYỄN TRÃI - KONTUM

* ĐK : x0,y0

* Đặt a 5x y 1 ,b 3x 7y 1 , a,b 0

Từ (1)  2a22b2 ab(ab)2 0ab

 5xy 1  3x 7y 1  x 3y

* Thay v|o (2) được : (3x2) 3x14 x 14x x (3)

Vì x = 0 không phải l| nghiệm của (3) nên :

x Đặt  3 1  1 u2  3 , u 3

x x u

Đặt  3 1  1 u2  3 , u 3

x x u

Từ (3) ta có pt : 2u34u23u260u2 (nhận)

* u = 2  3 1  2

x x1y3Thử lại => hệ có một nghiệm l| (1 ; 3)

Lần 1 – THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN

Điều kiện:

2

1 3

x y

Trang 49

     hoặc x1 Khi đó ta được nghiệm  x y; là 0;12 và 1;11

Bài 87: Giải phương trình:

2 2

Lần 1– THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

Đối chiếu với điều kiện ban đầu suy ra phương trình có nghiệm : x0;x 1

1 4 (

2 2 4

2 2

y y x x

y x x

Trang 50

) ( 1 2 1

y t

loai t

y

44

x

y

44

x y

Lần 1 – THPT PHAN BỘI CHÂU

Trang 51

Lần 2 – THPT PHAN BỘI CHÂU

Lời giải tham khảo ĐIỀU KIỆN: xy x y  2 y 0 , y 0 

Trang 52

đó: (4) f( y 2)  f( x)  y  2 x   y x 2 thay v|o pt(2) ta được:

x t

3 4

x x

Trang 53

Vậy tập nghiệm của bất phương trình l| S   2;1

x x

       (2) Xét TH1 : Với x 0khi đó (2) vô nghiệm

Xét TH1 : Với x 0khi đó (2) vô nghiệm

Xét TH2 : Với x>0, chia hai vế của (2) cho x ta được :

      , thay v|o (3) ta được :

 

2

2 2

1 1

t t

Kết hợp hai trường hợp v| điều kiện ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm x=4

Bài 95: Giải hệ phương trình:  x y x y 2

Trang 54

Lần 2 – THPT phú riềng

Điều kiện: x+y0, x-y0

KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2)

Do y>0 ta chia hai vế của phương trình cho y2 ta có

Trang 55

Trang 56

Hệ phương trình có hai nghiệm:      x y;  0; 2 ; 4; 4

Đk : x  y 0 Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y

9 thì y = 1

9 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (4

9; 1

9)

Trang 57

Bài 100: Giải hệ phương trình: 2 2 2  8 4

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 1 13; 2 13 6



Trang 58

Bài 101: Giải hệ phương trình:  

Vậy nghiệm của phương trình l| (x;y)(2;3)

Trang 59

Trang 60

C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện

Trang 61

Vạy nghiệm của phương trình l| 5 5

x t

Điều kiện: x  8, y  – 1, (x – y)(y + 1)  0 (*)

Nếu (x ; y) l| nghiệm của hệ (I) thì y > – 1 Suy ra x – y  0

Trang 62

 x = 7 (thỏa (*)) Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = (7 ; 3)

y

 

 

 Vậy hệ có hai nghiệm

Bài 110: Giải bất phương trình: 2x2 x25 2 x2x x2 x3x

Lần 1 – THPT SỞ THANH HÓA

Gọi bất phương trình đã cho l| (1) Điều kiện x{c định: x2

Trang 63

2   2  



 x x x x (Do 2x2  2x 5  0 , xR)

)2(2)1(21

)(

02

2)(

02

b a b

a b

a

b a b

13

1)

1(2

011

2

2 2

x x

x

x x

Trang 64

Trang 65

yx  thay vào pt (2), suy ra pt vô nghiệm

TH2: y  x thay v|o (2) ta được phương trình:

Điều kiện x 3.Bất pt đã cho tương đương với

Trang 66

2 2

       (Với x 3thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương)

Vậy tập nghiệm của bất pt l| S   1;1

Bài 116: Giải hệ phương trình: 3 3   

1

x y

Trang 67

- Xét x0, chia 2 vế của pt đầu cho 5

0

x  , ta được

5 5

x y

Trang 68

 

3

3 3

1 2 4 4 20 27

27

14 ) 2 ( 6 ) ( 3

x y x

x x

y y y x y x

y x

y f

x

f

pt: ( ) (2 ) 2  2

Trang 69

Thế y = 2-x v|o phương trình (2) ta được

3 2

3

141)

13(4131

44202

20

0827

vn x

x

y x

x x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)

x y

Trang 70

1 17

( )2

Biến đổi pt ban đầu về dạng

Bài 124: Giải bất phương trình: (4x2 x 7) x 2 4x8x210

Lần 1 – THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG

Điều kiện x2

TH 2: Với y = - 2 thay vào (2): 3x    6 0 x 2 suy ra nghiệm (x; y) =(-2;-2)

TH 3: Với y x 1 thay vào (2): 4 2 1 2 1 2 5

x    x x   x   vn

Trang 71

+) Với x y 1 0 y x 1 thay v|o phương trình (2) ta có:

Trang 72

2 2 2 2

2 2

4 4

2x  9y  (xy)(2 xy x xyy )(*)

Trang 73

Vậy nghiệm của hệ phương trình là  2; 2

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32

Lần 2 – THPT LỘC NINH

Trang 74

+ (x ; y) = (0 ; 0) l| một nghiệm của (I)

+ Mọi cặp số (x ; 0) v| (0 ; y) với x0, y0 đều không phải l| nghiệm của (I)

Trang 75

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32

Lần 1 – THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

Trang 76

Vậy nghiệm của hệ l|: 5

6

x y

Lần 1 – THPT CHUYÊN BIÊN HÒA

Trang 77

Lần 2 – THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH

Điều kiện: x0 Phương trình đã cho tương đương với

    với mọi t thuộc khoảng [1;)

Suy ra f t( ) đồng biến trên khoảng [1;)

Do đó (1) tương đương với x x2 1 3x Từ đó giải ta được 1

Trang 78

Từ đó ta được x1 l| nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Với x   1 y 2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất    x y ;   1; 2 

Trang 79

Chuyển vế bình phương liên tiếp giải phương trình bậc 4 ( viet đảo + casio) hoặc đặt

ẩn phụ đưa về bậc 2,< thử lại có nghiệm:

1 2

3221

x

y

y y y

x x x

)1(31

u u

Trừ (1) v| (2) vế theo vế ta có u u213u v v213v(*).

Xét h|m số f(t)t t213t trên R , 3 ln3 0,

11

)

t

t t

13

1

13ln1

3)(',13

)

u u

g u u

Mặt kh{c g(0) = 0 do đó (**) có nghiệm duy nhất u = 0 Với u = 0  v= 0  x = y = 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	2,62 MB