hoàn thiện nội dung bài tập mô hình toán kinh tế cho phù hợp với hình thức đào tạo theo tín chỉ và giáo trình mới

Nhằm đáp ứng vai trò là môn học cơ sở ngành, từ năm 2010 trở lại đây, được sự đồng ý của Hội đồng Khoa học 'Học viện, môn học đã được bỗổ sung thêm một số nội dung mới nhằm tăng thêm cá

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA CƠ BẢN

DE TAI NGHIEN CUU KHOA HQC CAP KHOA

HOAN THIEN NOI DUNG BAI TAP MO HINH TOAN KINH TE

CHO PHÙ HỢP VỚI HÌNH THỨC ĐÀO TẠO

'THEO TÍN CHỈ VÀ GIÁO TRÌNH MỚI

Tác giả: TS Nguyễn Văn Quý (Chủ biên)

Ths Phạm Thị Hồng Hạnh 'Ths Nguyễn Thị Bích Ngọc Ths Lê Thị Liễu

Phan mé dau

Mô hình Toán kinh tế là một môn Toán ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế, nó

đóng vai trò là môn cơ sở của các ngành Kinh tế, Kỹ thuật, Tài chính Ngân hàng và

Kế toán Kiểm toán Môn học đã và đang được đưa vào giảng dạy trong hầu hết các trường đại học thuộc khối kinh tế Ở Học viện Tài chính, Mô hình Toán kinh tế

(trước đây là Toán kinh tế) đã và đang được đưa vào chương trình đào tạo cho sinh

viên thuộc tất cả các hệ và các ngành trong Học viện Nhằm đáp ứng vai trò là môn

học cơ sở ngành, từ năm 2010 trở lại đây, được sự đồng ý của Hội đồng Khoa học

'Học viện, môn học đã được bỗổ sung thêm một số nội dung mới nhằm tăng thêm các minh họa kinh tế cho toán và khả năng ứng dụng toán cho các môn chuyên ngành

trong Học

toán kinh tế cơ bản mà còn trang bị cho sinh viên tập mô tả các mô hình kinh tế

Hiện nay, môn học không chỉ đưa ra các thuật toán giải các bài

bằng ngôn ngữ toán và phương pháp dùng toán học để phân tích mô hình Đề tài

khoa học: “Hoàn thiện nội dưng Bài tập Mô hình Toán kinh tế cho phù hợp với hình thức đào tạo theo tín chỉ và giáo trình mới” của các thầy, cô thuộc Tỗ Toán

kinh tế, Bộ môn Toán, Khoa Cơ bản, Học viện Tài chính nhằm mục đích củng cố thêm một số nội dung lý thuyết mới và chuẩn bị cho việc biên soạn cuốn Bài tập

Mô hình Toán kinh tế phục vụ cho sinh viên của Học viện Đề tài gồm 53 trang và

được bố cục thành ba phần:

Phần 1: Một số kiến thức toán cao cấp bỗ trợ

Phần 2: Các mô hình tối ưu tuyến tính

Phần 3: Các mô hình tối ưu phi tuyến

Nội dung của đề tài tập trung vào việc phân tích cận biên cho lời giải tối ưu của các mô hình tuyến tính; củng cố, mở rộng và thống nhất các phương pháp giải

va phân tích cận biên cho một số mô hình tối ưu phi tuyến tiêu biểu Các nội dung

đưa ra trong đề tài được trình bày theo kiểu định hướng cho các dạng bài tập cơ bản phục vụ cho các giáo viên giảng dạy môn học chủ động và thống nhất trong việc ra

các bài tập và đề thi phục vụ cho sinh viên Đây cũng chính là nội dung cơ bản để chuẩn bị cho việc xuất bản cuốn Bài tập Mô hình Toán kinh tế sau này

MỤC LỤC

Phan 1 Một số kiến thức toán cao cấp bỗ trợ

1.1 Ma trận xác định

1⁄2 Tập lồi và hàm lồi

13 Dao ham của hàm ẩn

14 Hệ số co giãn của hàm lũy thừa

1.5 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến

Phần 2 Các mô hình tối ưu tuyến tính

2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

2.1.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận với điều kiện số lượng các yếu tố sản xuất có hạn

2.1.2 Bài toán tối thiểu hóa chỉ phí với điều kiện

phải đảm bảo kế hoạch sản lượng sản phẩm

2.2 Bài toán vận tai — phân phối

2.2.1 Mô hình toán

2.2.2 Phương pháp giải 2.2.3 Phân tích mô hình của bài toán vận tải

Phần 3 Các mô hình tối ưu phi tuyến

3.1 Mô hình tối đa lợi nhuận của doanh nghiệp

3.1.1 Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm

3.1.2 Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm 3.2 Mô hình tối ưu hai biến với một ràng buộc phương trình

3.2.1 Mô hình cực đại hàm lợi ích có dạng hàm Cobb —

44 48

Phần 1 Một số kiến thức toán cao cấp bổ trợ

1.1 Ma trận xác định

Cho 4 là ma trận vuông, đối xứng cấp n, định thức con chính dẫn đầu cấp k,1<k<n của det(20) là định thức của ma trận gồm các phần tử nằm trên k hàng

đầu và k cột đầu của 4 Ma trận 4 được gọi là:

« Xác định dương nếu tất cả các định thức con chính dẫn đầu của 4 đều dương

«Xác định âm nếu định thức con chính cấp k có dấu (—1)", Vk =1, 2,

1.2 Tập lỗi và hàm lồi

+ Tập CC R" được gọi là một tập lồi nếu với mọi X', X? eC thì

AX'+(—-2)X? eC,0<41, hay đoạn thẳng nối X, X? nằm trọn trong C

+ Ham ƒ xác định trên tập lồi C được gọi là một hàm lồi nếu

f(axt +(1- 2°) <^AƒŒ9)+q-2)/?)

và được gọi là một hàm lõm nếu

Z(Ax'+d~ 2)X?)>A/ƒ')+q~ 2)/Œ?) với mọi 0<4<1; X', X? eC

+ Cho f là hàm số có các đạo hàm riêng, đến cấp 2 trên tập lồi C Khi đó, ƒ là

hàm lồi (lõm) trên nếu ma trận Hessian:

H„œ)=(7,)),„

xác định dương (xác định âm) trên C

« Nếu / là hàm lồi trên C thì mọi điểm cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục Điểm đạt cực tiểu (nếu có) sẽ nằm trên biên của C

« Nếu ƒ là hàm lõm trên C thì mọi điểm cực đại địa phương đều là cực đại toàn cục Điểm đạt cực đại (nếu có) sẽ nằm trên biên của Œ

+ Ham dn hai biến:

Néu ham ẩn hai biến z = ƒ(z, y) được cho bởi phương trình hàm an:

ƒ(Œ)= Axfhxf? xế" (œ,=0, 1=], n)

Khi đó, nếu hàm ƒ có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến tại điểm X

thì:

ef(X)= a, Vi=Ln

1.5 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến

Cho hàm hai biến z= f(x, y) xác định trên miền #? Bài toán được quan tâm ở đây là

ƒ(Œ, y)— min (max)

Ta sẽ giải bài toán (P1) và sẽ kiểm tra diéu kign x20, y>0 với phương án tối ưu

(x’, y') nhận được Để giải bài toán (P1) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange,

bao gồm các bước sau:

5 Lập hàm Lagrange:

LA, x, Y= f(y) + Mart bye),

trong đó: 4 được gọi là nhân tử Lagrange

+ _ Tìm điểm dừng cho hàm Lagrange thông qua việc giải hệ phương trình:

« Kiểm tra điều kiện cực trị (địa phương) tại điểm dừng thông qua việc tính định

thức của ma trận Hessian tại điểm dừng:

1J(A',x,y) 1@,x,v) 1@.*,y)

D=det(H,(A',*, y))=|tm(@,x,y)- 10,x,y)) LA, x, yD)

ata.) LAX) Lax)

Nếu D>0 thì hàm f dat cyc dai tại điểm dừng (`, y'), còn nếu D<0 thì hàm

ƒ đạt cực tiểu tại điểm dừng (+, y)

+ Kiểm tra điều kiện cực trị (toàn cục) tại điểm dừng thông qua việc xét ma trận:

Phần 2 Các Mô hình Tối ưu Tuyến tính

2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính

2.1.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận với điều kiện số lượng các yếu tố đầu vào

Để tối đa hóa lợi nhuận thì doanh nghiệp đặt ra mục tiêu tối đa hóa doanh thu

Vi vay ta xét bài toán tối đa hóa doanh thu như sau:

«_ Bài toán đối ngẫu:

SƠ) = bụi + by to» +Ó buy„ > min

đã) + 02 + « + đm⁄m 2> Pri

App + ann Foe + Amn¥m 2 Pn

„>0,i=lm

Trong hai bài toán trên:

+p/>0,j 1,ø là giá của sản phẩm loại 7;

+ b,>0,ï=1,m là số lượng (tối đa) của các yếu tố đầu vào;

+ ay >0,i=1, m; 7 =1 là định mức số yếu tố đầu vào loại ¡ cho một đơn vị sản

+ „1 =1 m là giá trị của một đơn vị yếu tố đầu vào loại i

Bài toán gốc (P) là bài toán tối đa hóa doanh thu trong điều kiện các yếu tố

(hay nguồn lực) đầu vào phục vụ cho quá trình sản xuất bị hạn chế; còn bài toán đối ngẫu (D) là bài toán tối thiểu giá trị của các yếu tố đầu vào nhưng phải đảm bao được giá trị tối thiểu của các yếu tố đầu vào tạo ra một đơn vị sản phẩm loại

Jj=bm

Với các giả thiết trên thì cả bài toán gốc và bài toán đối ngẫu luôn có phương,

án tối ưu

b) Phương pháp giải mô hình

Ta thực hiện giải bài toán (P) bằng phương pháp đơn hình và giả sử nhận

được lời giải tối ưu gồm phương án tối ưu X” và giá trị doanh thu tối đa

ƒ*=ƒ(X`) Ký hiệu Xếr, J” tương ứng là phương án và cơ sở tối ưu của bài toán chính tắc Khi đó, bằng các phương pháp suy nghiệm cho bài toán đối ngẫu ta nhận được lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu bao gồm phương án tối ưu Y` và

mức giá trị tối thiểu của các yếu tố đầu vào g'=sữ)`)

€) Phân tích mô hình

Phương pháp phân tích là dựa vào bảng đơn hình và các tính chất của cặp bài

toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu

+ Sự dư thừa của các yếu tố đầu vào

Bằng việc thay X” vào các ràng buộc của Bài toán (P) ta có thể nhận thấy các yếu tố đầu vào bị dư thừa (không sử dụng, hết) đó là các yếu tố ? có:

Anx) +aax2 + a,x„ =b, <b, ÌGT”

+ Định mức giá trị cho các yếu tố đầu vào

-_ Như đã nói ở trên, Ý” =(J†, y3; y„) là phương án tối ưu của bài toán đối

ngẫu Nói cách khác, y;, ¡ =1, m chính là giá trị một đơn vị yếu tố đầu vào loại ¡ Tuy nhiên, với các yếu tố đầu vào bị dư thừa ¡€ J”, theo định lý đối ngẫu thứ hai

ta có:

yị=0,Vi€I

Điều này có ý nghĩa thực tế là không thể định mức giá trị cho các yếu tố đầu vào khi thực tế nó còn chưa đưa vào sử dụng hết trong quá trình sản xuất Một vấn

đề nảy sinh ở đây là định mức giá trị cho toàn bộ số lượng các yếu tố đầu vào thực

tế đã sử dụng Muốn vậy, ta lập bài toán gốc mới:

Hiển nhiên X”, f° vin là lời giải tối ưu của bài toán (P) và VÌ, g` vẫn là lời

giải tối ưu của bài toán (D)

+ Nếu bài toán đối ngẫu (D) có vô số phương án tối ưu thì ta có thể chọn được

phương án tối ưu YÌ có:

yị >0, Vi=l,m

_Trường hợp thứ hai: Ï = Ø :

Với trường hợp này, bài toán gốc (P) có thể bị suy biến và dẫn tới bài toán đối

ngẫu (D) có vô số phương án tối ưu Ta tìm trong tập phương án tối ưu đó phương

được sử dụng hết cho quá trình sản xuất thì điều kiện này ảnh hưởng tới lời giải tối

ưu của bài toán ban đầu (P) như thế nào?

Phương pháp giải:

+ Với bài toán gốc:

(1) Néu jy ¢ I~ thi ta không phải giải lại bài toán và dẫn đến lời giải tối ưu X”, f° không bị thay đổi

(2) Nếu ¡ạ €J” thì chúng ta sẽ phân tích sự thay đổi thông qua bảng đơn hình Tại

bêng tối ưu, với bài toán cũ thì Ấn bù x„¿„ > 0 và cột A„„„, là cột cơ sở, còn với

bảng đơn hình của bài toan méi thi x,,,, > 0 lại là ẩn giả

Khi đó phương án X?„ là phương án tối ưu với ẩn giả eth >0 và bài toán

mới không có phương án nào

(i) Néu tin tại chỉ số k Ø J” có z„„„ „ > 0, ta chon:

max {Zpsipk kES |= 2 ¿„ >0

và giả sử

% nh 2/7, >0 2

Do phương án cực biên nhận được sau bước cải tiến đơn hình này chưa chắc

đã là phương án tối ưu nên trong trường hợp này ta kết luận giá trị lợi nhuận tối đa

sẽ giảm tối đa một lượng bằng:

—Ø,#, >0

+ Phân tích sự ảnh hưởng của việc tăng (giảm) các yếu tố đầu vào tới lời giải tối ưu

Đặt yêu cầu:

Giả sử yếu tố đầu vào ¡ạ (L<iạ <”) tăng (giảm) một lượng A, > 0 thì lời giải tối

ưu sẽ thay đổi như thế nào?

Phương pháp giải:

-_ Trường hợp tăng: Ta xét hai khả năng:

(1) €1”, nghĩa là thực tế yếu tố đầu vào ¡ạ không sử dụng hết nên việc tăng số

lượng của yếu tố đầu vào ¡ạ không ảnh hưởng tới lời giải tối ưu của bài toán ban

đầu

() iy #1, nghĩa là yếu tố đầu vào i, đã được sử dụng hết Trường hợp này, X”

vẫn là phương án của bài toán gốc mới, còn Y` vẫn là phương án của bài toán đối ngẫu mới Vì vậy bài toán gốc mới chắc chắn vẫn có phương án tối ưu Mặt khác, giá trị hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu mới ứng với phương án Y` đã tăng thêm

một lượng là:

RA, >0

Vì VY” chưa chắc là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu mới nên dẫn tới giá trị tối ưu của bài toán gốc mới hay lợi nhuận tối đa tăng thêm một lượng không quá FigAby «

-_ Trường hợp giảm: Ta cũng xét hai khả năng:

(1) iạ€7— Với khả năng này, nếu mức giảm

Ab, <2,

thì không ảnh hưởng tới lời giải tối ưu của bài toán, còn nếu lượng giảm

Ab, > by — Big

thì sẽ được xét cùng với khả năng thứ hai

(2) iy #1” Trường hợp này, bài toán gốc vẫn có phương án tối ưu và Y` vẫn là phương án của bài toán đối ngẫu Giả sử yếu tố đầu vào iạ giảm một lượng

Ab, >0so với 5, Khi đó, giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu và kéo theo giá trị tối ưu của bài toán gốc giảm tối thiểu một lượng bằng

2A, >0

«Phân tích sự ảnh hưởng của giá sản phẩm tới lời giải tối ưu

Giả sử san phdm loai jy (1< jp $7) 6 mite gid p,, > 0 và mức tăng (giảm) là Ap,>0

- Trường hợp tăng:

(1) Nếu jy ¢J* thi xj, =0 va sin phim nay thyc té khong duge sin xuất (do có

giá bán thấp), nếu tăng giá thì có thể nó cũng sẽ được đưa vào sản xuất Xét trên

bảng đơn hình thì ước lượng ứng với biến xj, sẽ giảm đi lượng Ap,„

+ Nếu A„ —Apj, >0 © Ap;, Sj, thi X” vẫn là phương án tối ưu của bài

toán gốc mới

10

+ Nếu Aj, — App <0 Ap, > Aj 20 thi X” không là phương án tối ưu của bài toán gốc mới

'Vì bài toán gốc chắc chắn có phương án tối ưu nên ta chọn được:

Tuy nhiên, do phương án nhận được sau bước cải tiến này chưa chắc là

phương án tối ưu nên doanh thu tối đa sẽ tăng thêm một lượng tối thiểu bằng:

Xj AP jg:

4) Vi dy minh họa

Dữ liệu của bài toán (P) được cho ở bảng sau:

il

A|B|C |D |Số lượng yếu tố đầu vào

|Yếu tố đầu vào

(1) Xác định các yếu tố đầu vào bị dư thừa:

'Yếu tố đầu vào bị dư thừa là 2, J” = {2} va 5, =25

(2) Xác định bảng định mức phân bổ giá trị đơn vị cho các yếu tố đầu vào

Theo Định lý đối ngẫu 2, tập định mức giá trị của các yếu tố đầu vào đã được sử

dụng được xác định từ hệ phương trình:

12

(3) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do yêu cầu sử dụng hết các yếu tố đầu vào

+ Nếu thêm yêu cầu các yếu tố đầu vào 1 và 2 phải được sử dụng, hết thì lời giải tối

ưu không thay đồi

+ Nếu yêu cầu yếu tố đầu vào 2 phải được sử dụng, hết thì:

nghĩa là lợi nhuận tối đa không thay đổi

(4) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do tăng (giảm) số lượng của các yếu tố đầu vào

13

Nếu tăng yêu tố đầu vào 2 thì lời giải tối ưu không thay đổi, vì nó đang là yếu tố

ông sử dụng hết

+ Nếu tăng (hoặc giảm) yếu tố đầu vào 1 thêm 1 đơn vị, bài toán gốc vẫn có lời giải

đối ưu và lợi nhuận tối đa tăng tối thiểu một lượng 1a: y,(@) =a, trong đó ø là

:nghiệm của hệ phương trình (*) Với 0< ø <1, thì lợi nhuận tối đa tăng tối thiểu (giảm tối đa) thêm một lượng là 1 đơn vị

+ Nếu yêu tố đầu vào 2 giảm đến mức ð; =25 thì lời giải tối ưu không thay đổi Tuy nhiên, nếu nó giảm thêm 1 đơn vị nữa thì lợi nhuận tối đa sẽ giảm tối đa một

lượng bằng,

y;(œ)=3—3ø,0<z<1

và khả nămg giảm mạnh nhất là 3 đơn vị, ứng với ø =0

(6) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do tăng (giảm) giá bán sản pham

+ Nếu giảm giá bán của sản phẩm A va C thì lời giải tối ưu không thay đổi

| + Nếu tăng giá bán của sản phẩm C thêm 2 đơn vị thì lời giải tối ưu cũng không

Nếu tăng giá bán của sản phẩm B thém 1 đơn vị thì doanh thu tối đa sẽ tăng tối

+ Bài toán đối ngẫu:

BY) = by + By +o + buyạ — max

(2) ayy + đa; + « + Guam S Pa

Trong hai bài toán trên:

+ p;>0, j =], n là giá của một đơn vị yếu tố sản xuất, hay nguyên liệu đầu vào;

+ b,>0,7=1,m là sản lượng (tối thiểu) của các loại sản phẩm;

+ ay >0,i=1,m; j=in là định mức số sản phẩm loại ¡ từ một đơn vị yếu tố đầu

vào |oại j ;

| + xj, j=hn là số lượng yếu tố đầu vào / ;

+ y„, =1 m là giá trị đơn vị của sản phẩm loại 7

15

Bài toán gốc (P) là bài toán tối thiểu hóa chỉ phí với điều kiện phải đảm bảo

ế hoạch sản lượng tối thiểu; còn bài toán đối ngẫu (D) là bài toán tối đa giá trị của

sản phẩm với điều kiện giá trị phần sản phẩm do một đơn vị yếu tố đầu vào tạo ra không vượt quá mức giá p,, j =], m

'Với các giả thiết trên thì cả bài toán gốc và bài toán đối ngẫu luôn có phương,

án tối ưu

b) Giải mô hình

Chúng ta thực hiện giải bài toán gốc bằng phương pháp đơn hình

©) Phân tích mô hình

Phương pháp phân tích mô hình hoàn toàn tương tự như Mô hình 2.1.1

2.2 Bài toán vận tải — phân phối

+_ Với bài toán vận tải:

+ a,>0,b, >0; i=I,m; j=1,n tương ứng là lượng hàng ở trạm phát 4, và

Với bài toán phân phối:

a,>0,bj >0; =1, m; j=],n tương ứng là lượng vốn của nguồn vốn 4;

(trạm phát vốn) và cơ sở cần sử dụng vốn B }; (tram thu vốn)

+ dy>0,7=1,m; j=1,n là hiệu quả sử đụng vốn, chẳng hạn như tỉ lệ lãi trên

vốn

¿Yếu cầu tối đa hóa hiệu quả sử dụng vốn, trong điều kiện các trạm phát vốn

phải phát hết và các trạm thu vốn phải nhận đủ

Sử dụng phương pháp thế vị và giả sử ta nhận được phương án tối ưu X = (3 }»„

với tập ô chọn cơ sở S” và giá trị /„„„= /(X”) (tương ứng ƒụạ„ = /(Ý”))

2.2.3 Phân tích mô hình với bài toán vận tải

a) Phân tích sự ảnh hưởng của lời giải tối ưu do sự thay đổi của cước phí vận chuyển

() Tăng cước phí vận chuyển của 6 (i, /ạ) thêm một lượng Ac, „ > 0

+ Nếu (0y, jạ) # 9” thì lời giải tối ưu không thay đi

+ Nếu (0y, jạ)€S” thì X” đương nhiên vẫn là phương án của bài toán, tuy nhiên chưa chắc là phương án tối ưu nên tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất tăng tối đa

một lượng bằng:

Ae,yXaj, >0

đi) Giảm cước phí vận chuyển của ô (ip, jo) đi một lượng Ae,, > 0

+ Néu (ig, jo) ¢ S* X” đương nhiên vẫn là phương án của bài toán Nếu mức giảm

Ae,,; > 0 thỏa mãn:

Uj +V jp — Cigig — ACinin) £9 ACinig <-Ang

` lời giải tối ưu không thay đổi

gược lại, nếu:

+ (lạ, jạ)€ S” Trường hợp này X” vẫn là phương án tối ưu và tổng chỉ phí vận

chuyển nhỏ nhất giậm đi một lượng bằng:

ASgjpXujy >0

b) Phân tích sự ảnh hưởng của lời giải tối ưu do sự thay đổi của lượng hàng trên các trạm thu, phát hàng

«Thay đổi trên các trạm phát hàng

(0) Tăng lượng hàng trên trạm phát 4, thêm một lượng À2, > 0

Với trường hợp này ta lập thêm trạm thu giả Ö„, với lượng hang Aq, và chỉ có

một ô giả (jạ, n +1) sé c6 lugng hang Aa, Khi đó, các thế vị cũ không thay đổi,

chỉ có một thể vị mới:

Tin — + + Trường hợp:

Uj, +u, <0, Vi=l, m

thì lời giải tối ưu không thay đổi, trạm phát 4, sẽ dư một lượng hàng, bằng lượng

' mới tăng thêm

+ Trường hợp tồn tại chỉ số 1< ¡ <m sao cho:

Apmai = tụ +, >0

18

a chọn:

max{A, nit =-u, + ¡ISi<m}=A xa >0

'Trường hợp này X” không còn là phương án tối ưu nữa Ký hiệu ŸÌ, 4 tương ứng

là vòng tạo bởi ô (¡,m-+1) với một số ô chọn khác và lượng hàng nhỏ nhất trên các ô thứ tự chẵn của Ƒ1 Kết quả ta có tổng chỉ phí nhỏ nhất sẽ giảm tối thiểu một lượng bằng:

4y +4)-

(i) Giảm lượng hàng trên trạm phát 4, đi một lượng 0< Az„ < đụ -

Một giả thiết mang tính kỹ thuật được đưa ra ở đây là lượng hàng giam Aa, đủ nhỏ

sao cho trên hàng ¡ạ tồn tại ít nhất một ô chọn có lượng hàng không nhỏ hơn lượng

hàng giảm Giả sử ô chọn đó nằm trên cột jạ, nghĩa là ta có:

Xing ZA >0

Trường hợp này ta lập thêm mét tram phat gid 4,,,, voi lugng hàng Aa, > 0 va đưa một lượng hàng bằng Aa,, vào 6 giả (m+1, 7a), đồng thời bớt đi ở 6 chon (ig, jo) một lượng hàng Az„ Phương án phân phối hàng mới nhận được có tập ô chọn cơ sở:

SUL(m+], jo},

cén thé vi trén hang m+1 được tính bằng z„.¡ =v:

+Nếu:

—vy +, <0, Vj=ln

thì phương án phân phối hàng mới nhận được vẫn là phương án tối ưu và tổng chỉ

phí vận chuyển giảm đi một lượng bằng:

Cini Aig:

+ Nếu tồn tại chỉ số j, sao cho:

vj, +¥;,> 0

` phương án phân phối hàng mới nhận được có thể chưa tối ưu và tổng chỉ phí

an chuyển nhỏ nhất có thể giảm nhiều hơn c„„„Â4,,

Nếu trên hàng ¡ tồn tại nhiều hơn một ô chọn có lượng hàng không nhỏ hơn

«Thay đổi trên các trạm thu hàng

Nếu tăng lượng hàng ở một trạm thu nào đó thì ta lập thêm trạm phát gid 4,415 nếu giảm lượng hàng trên một trạm thu nào đó thì ta lập thêm trạm thu giả B,.ị

Quá trình phân tích và kết quả mang lại hoàn toàn tương tự như với trường hợp tăng (giảm) hàng ở các trạm phát hàng

Nhận xét:

(1) Với bài toán phân phối (bài toán cực đại hàm mục tiêu) thì quá trình phân tích

hoàn toàn tương tự như với bài toán vận tải

(2) Tăng hoặc giảm hàng ở một trạm phát hàng, hay trạm thu hàng nào đó nếu có

thay đổi thì chỉ làm giảm mà không làm tăng tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất (3) Nếu cùng tăng (hay giảm) hàng ở nhiều trạm khác nhau thì ta thực hiện tăng (giảm) lần lượt ở từng trạm, sau đó tích lũy lại

_ Ví dụ minh họa: Xét bảng vận tải đã thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu:

20

40 60 100 U

Bảng vận tải này chưa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ

nhất giảm tối thiểu:

(41)x40=40 đơn vị

() Tăng cước phí tại ô (1, 1) thêm 1 đơn vị thì tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất

| tăng tối đa:

Bảng vận tải này chưa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ

nhất giảm tối thiểu:

(+2)x10=20 đơn

(7) Giảm 5 don vi hang 6 tram thu Bs:

vi

: 5x10+(+1)x5=55 don vi

n3 Các mô hình tối ưu phi tuyến

„Mô hình tối đa lợi nhuận của doanh nghiệp

Phát biểu mô hình

oanh nghiệp sản xuất sản phẩm với các yếu tố liên quan:

) Sản lượng: @>0 (có thể là vô hướng hoặc véc tơ)

) Hàm giá sản phẩm: p (có thể phụ thuộc sản lượng hoặc không)

) Hàm chỉ phí:

TC =C(Q)+FC,

ng đó C(Ø) là chỉ phí biến đổi còn FC 1a chi phi cố định Hàm chỉ phí TC có

ác tính chất:

ï) Không âm, tăng theo sản lượng Ø;

ii) Thường là hàm lõm, điều này thể hiện chỉ phí ting dần theo sản lượng nhưng

tốc độ tăng giảm dần Tuy nhiên trong thực tế cũng có thể là hàm lồi

'# Phương pháp chung, để giải mô hình là sử dụng, đạo hàm cấp 1 va dao hàm cấp 2

Phương pháp phân tích mô hình là sử dụng hàm ẩn, đạo hàm và hệ số co giãn

24

:1 Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm

rong trường hợp này thì 7C, 7R, II đều là các hàm của một biến sản lượng @ ) Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

Giá p không phụ thuộc sản lượng @ và được xem là biến ngoại sinh

Gia sir Q’ > 0 1A mét diém dimg

+ Điều kiện đủ cực đại địa phương:

I(Ø)=-TC(Ø')<0,

hay

TC"(g)>0

là phụ thuộc vào tính chất của hàm chỉ phí TC

+ Nếu 7C là hàm lõm trên miền @ > 0 thì

TC"(Q) <0, VO>0

và dẫn đến điều kiện đủ cực đại không thỏa mãn Trường hợp này hàm lợi nhuận

lại đạt cực tiểu tại điểm dừng Œ, dẫn tới doanh nghiệp sản xuất với sản lượng @

càng lớn thì lợi nhuận càng cao

+ Nếu 7C là hàm lõm và chỉ xác định trên miền 0<@<Ø„„„ thì lợi nhuận tối đa đạt được tại 0 hoặc Ó„„„ -

Vi dy Cho ham chi phi:

TC =-Q? +400+ FC

25

Chứng tỏ hàm lợi nhuận đạt giá trị tối da tai diém san long Ona = 20

+ Nếu hàm chỉ phí 7C lồi trên miền >0 thì lợi nhuận tối đa sẽ đạt được tại điểm dừng Ø` >0

Kết luận Bài toán tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo sản

xuất một loại sản phẩm không thực sự có ý nghĩa khi hàm chỉ phí của doanh nghiệp

là một hàm lõm Trường hợp này, doanh nhiệp sản xuất với sản lượng càng cao thì

lợi nhuận đạt được càng cao Điều này khuyến khích các doanh nghiệp có hàm chỉ

phí lõm, tức là tiết kiệm chỉ phí sao cho tốc độ tăng chỉ phí giảm dần Ngược lại, nếu hàm chỉ phí là lồi, tức là tốc độ tăng chỉ phí tăng dần thì bài toán tim điểm sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận là rất có ý nghĩa

+ Phân tích lời giải t6i wu theo giá p trong trường hợp hàm chỉ phí là hàm lồi

Giả sử ta xét tại mức giá „ cho trước Dựa vào tính chất điểm sản lượng Ở” thỏa mãn điều kiện cần và đủ tối ưu: