Bài giảng toán cao cấp c1 đại học th s huỳnh văn hiếu

Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tương đương khơng áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB n

Trang 1

BÀI GIẢNG :

TOÁN CAO CẤP C1

HỆ ĐẠI HỌC

Trang 2

TOÁN CAO CẤP C1

ĐẠI HỌC

Giảng viên: ThS Huỳnh Văn Hiếu

Tải bài giảng

tailieuhvh.webnode.vn

2 Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3)

– NXB Giáo dục

3 Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2

– ĐH Kinh tế TP HCM

4 Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích)

– ĐH Kinh tế - Tài chính TP HCM – NXB Thống kê

5 Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4)

– NXBĐHQG TP.HCM

6 Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2)

– NXB Giáo dục

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1

– ĐH Công nghiệp TP HCM

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

SỐ TIẾT : 30 PHẦN I : ÔN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN

CHƯƠNG 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

CHƯƠNG 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

CHƯƠNG 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

CHƯƠNG 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

CHƯƠNG 5 : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ

CHƯƠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CHƯƠNG 7 : LÝ THUYẾT CHUỖI

 Chương 1 Hàm số một biến số

§1 Bổ túc về hàm số

§2 Giới hạn của hàm số

§3 Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn

§4 Hàm số liên tục

………

§1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ

1.1 Khái niệm cơ bản 1.1.1 Định nghĩa hàm số

• Cho ,X Y khác rỗng

Ánh xạ :f X Y với x y f x là một hàm số ( ) Khi đó:

– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D f , là tập X

– Miền giá trị (MGT) của f là:

( )

– Nếu f x( )1 f x( )2 x1 x thì f là đơn ánh 2

– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh

– Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh

VD 1

a) Hàm số :f thỏa y f x( ) 2x là đơn ánh

b) Hàm số :f [0; ) thỏa ( ) x là toàn ánh 2

c) Hsố : (0;f ) thỏa ( )f x lnx là song ánh

• Hàm số y f x được gọi là hàm chẵn nếu: ( )

• Hàm số y f x được gọi là hàm lẻ nếu: ( )

Nhận xét

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

1.1.2 Hàm số hợp

• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g D f

Khi đó, hàm số ( )h x (f g x)( ) f g x được gọi là [ ( )]

hàm số hợp của f và g

Chú ý

(f g x)( ) (g f x )( )

VD 2 Hàm số y 2(x2 1)2 x2 1 là hàm hợp của

2

( ) 2

f x x x và g x( ) x2 1

Trang 3

1.1.3 Hàm số ngược

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,

ký hiệu g f 1, nếu x g y( ), y G f

Nhận xét

– Đồ thị hàm số y f 1( )x

đối xứng với đồ thị của

hàm số y f x qua ( )

đường thẳng y x

VD 3 Cho ( )f x 2x thì

1

2

( ) log

f x x , mọi x > 0

1.2 Hàm số lượng giác ngược

1.2.1 Hàm số y = arcsin x

• Hàm số y sinx có hàm ngược trên ;

2 2 là

1: [ 1; 1] ;

2 2

f

x y arcsinx

VD 4 arcsin 0 0;

arcsin( 1)

2; 3

arcsin

2 3

Chú ý

2

1.2.2 Hàm số y = arccos x

• Hàm số y cosx có hàm ngược trên [0; ] là

f 1: [ 1; 1] [0; ]

x y arccosx

VD 5 arccos 0

2; arccos( 1) ;

3

arccos

2 6;

1 2 arccos

2 3

1.2.3 Hàm số y = arctan x

• Hàm số y tanx có hàm ngược trên ;

2 2 là

1: ;

2 2

f

x y arctanx

VD 6 arctan 0 0;

arctan( 1)

4; arctan 3

3

1.2.4 Hàm số y = arccot x

• Hàm số y cotx có hàm ngược trên (0; ) là

f 1: (0; )

x y arccotx

VD 7 cot 0

2

cot( 1)

4

cot 3

6

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x x0 [ ; ]a b , ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L, nếu 0 cho trước ta tìm được 0 sao cho khi 0 x x0 thì ( )f x L

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x x0 [ ; ]a b , ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L, nếu mọi dãy {x n} trong ( ; ) \ { }a b x mà 0

Trang 4

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x ,

ký hiệu lim ( )

x f x L, nếu 0 cho trước ta tìm

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( ) f x L

• Tương tự, ký hiệu lim ( )

x f x L, nếu 0 cho

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho

khi x < N thì ( ) f x L

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là khi x x , ký hiệu 0

0

lim ( )

( )

f x M

• Tương tự, ký hiệu

0

lim ( )

tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0 sao cho

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x 0

với x x thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 0 (hữu hạn), ký hiệu

0 0

x x f x L hoặc

0

lim ( )

x x

f x L

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x 0

với x x thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 0 (hữu hạn), ký hiệu

0 0

x x f x L hoặc

0

lim ( )

x x

f x L

Chú ý

0

x x f x L x x f x x x f x L

2.2 Tính chất

Cho

0

lim ( )

x x f x a và

0

lim ( )

x x g x b Khi đó:

1)

0

lim [ ( )]

x x C f x C a (C là hằng số)

2)

0

lim [ ( ) ( )]

3)

0

lim [ ( ) ( )]

x x f x g x ab;

4)

0

( )

lim , 0

( )

5) Nếu f x( ) g x( ), x (x0 ; x0 ) thì a b

6) Nếu f x( ) h x( ) g x( ), x (x0 ; x0 ) và

lim ( ) lim ( )

x x f x x x g x L thì

0

lim ( )

Các kết quả cần nhớ

1)

lim , lim

2) Xét

1

lim

x

L

b x b x b , ta có:

a) n

n

a L

b nếu n m;

b) L 0 nếu n m;

c) L nếu n m

3)

sin tan

VD 1 Tìm giới hạn

2 1

2 lim

3

x x x

x L

A L 9; B L 4; C L 1; D L 0

Định lý

Nếu

lim ( ) 0, lim ( )

x x u x a x x v x b thì:

0

( ) lim [ ( )]v x b

2 2

3 lim 1

x x

x L

A L ; B L e ; 3 C L e ; 2 D L 1

1

0

lim 1 tan x x

A L ; B L 1; C L 4e ; D L e

………

Trang 5

§3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

3.1 Đại lượng vô cùng bé

a) Định nghĩa

Hàm số ( )x được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)

khi x x0 nếu

0

lim ( ) 0

x x x (x0 có thể là vô cùng)

VD 1 ( )x tan sin 13 x là VCB khi x 1 ;

12

( )

ln

x

x là VCB khi x

b) Tính chất của VCB

1) Nếu ( ), ( )x x là các VCB khi x x thì 0

( )x ( )x và ( ) ( ) x x là VCB khi x x 0

2) Nếu ( )x là VCB và ( ) x bị chận trong lân cận x 0

thì ( ) ( )x x là VCB khi x x 0

3)

0

lim ( ) ( ) ( )

x x f x a f x a x , trong đó ( ) x là

VCB khi x x 0

c) So sánh các VCB

• Định nghĩa

Cho ( ), ( )x x là các VCB khi x x , 0

0

( ) lim ( )

Khi đó:

– Nếu k 0, ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( ) x ,

ký hiệu ( )x 0( ( ))x

– Nếu k , ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( ) x

– Nếu 0 k , ta nói ( )x và ( ) x là các VCB

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k 1, ta nói ( )x và ( ) x là các VCB

tương đương, ký hiệu ( )x ( )x

VD 2

• 1 cosx là VCB cùng cấp với x khi 2 x 0 vì:

2

2 sin

2 4

2

x x

• sin 3(2 x 1) 9(x 1)2 khi x 1

• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

1) ( )x ( )x ( )x ( )x 0( ( ))x 0( ( ))x

2) Nếu ( )x ( ), ( )x x ( )x thì ( ) x ( )x

3) Nếu 1( )x 1( ), ( )x 2 x 2( )x thì

1( ) ( )x 2x 1( ) ( )x 2x

4) Nếu ( )x 0( ( ))x thì ( ) x ( )x ( )x

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Cho ( ), ( )x x là tổng các VCB khác cấp khi x x 0

thì

0

( ) lim ( )

x

x bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất của tử và mẫu

3

0

cos 1 lim

x

L

Giải

3 4

(1 cos

x

x L

x

x x

2

0

1 cos 1 lim

2

x

Trang 6

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

1) sin x x ; 2) tan x x ;

3) arcsin x x ; 4) arctan x x

5)

2

1 cos

2

x

7) ln(1 x) x ; 8) 1n 1 x

x

n

Chú ý

Nếu ( )u x là VCB khi x 0 thì ta cĩ thể thay x bởi

( )

u x trong 8 cơng thức trên

VD 4 Tính giới hạn

2 2 0

ln(1 2 sin ) lim

sin tan

x

L

VD 5 Tính

3 0

sin 1 1 3 tan lim

sin 2

x

L

VD 6 Cho hàm số y f x thỏa: ( )

2

2 3

Khi x 0, chọn đáp án đúng?

A

2

( )

4

x

2

( ) 2

x

C ( )

2

x

f x ; D f x( ) 3x 2

Giải Khi x 0 thì 0

t

t loại vì y

2 2

4

x

Chú ý

Quy tắc VCB tương đương khơng áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử

hoặc mẫu của phân thức

tan

x x x x (Sai!)

2 0

( )

x

x (Sai!)

VD 7 cos3 1

2 sin

x

x x là VCL khi x 0;

3

2

1 cos 4 3

x x là VCL khi x

Nhận xét Hàm số ( ) là VCL khi x x thì 0

1

( ) là VCB khi x x 0

3.2 Đại lượng vơ cùng lớn

a) Định nghĩa

Hàm số ( )f x được gọi là đại lượng vơ cùng lớn (VCL)

khi x x0 nếu

0

lim ( )

x x f x (x0 cĩ thể là vơ cùng)

b) So sánh các VCL

Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi x x , 0

0

( ) lim ( )

f x k

g x

Khi đĩ:

– Nếu k 0, ta nĩi ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( ) g x

– Nếu k , ta nĩi ( )f x là VCL cấp cao hơn ( ) g x

– Nếu 0 k , ta nĩi ( )f x và ( ) g x là các VCL

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k 1, ta nĩi ( )f x và ( ) g x là các VCL

tương đương Ký hiệu f x( ) g x( )

Trang 7

VD 8

• 33

x là VCL khác cấp với 3

1

2x x khi x 0 vì:

3

2

• 2 x3 x 1 2 x khi x3

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho ( )f x và ( ) g x là tổng các VCL khác cấp khi x x 0

thì

0

( ) lim ( )

f x

g x bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất

của tử và mẫu

Giải lim 33 1

3 3

x

x A

3 7

1

2 2

x B

x x

VD 9 Tính các giới hạn:

3

cos 1 lim

x

A

lim

2 sin

x

B

………

§4 HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm số ( )f x liên tục tại x nếu 0

lim ( ) ( )

x x f x f x

• Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( ) f x liên tục tại

mọi điểm x0 X

4.1 Định nghĩa

• Số x0 D được gọi là điểm cô lập của ( ) f f x nếu

0 : x (x0 ; x0 ) \ { }x thì 0 x D f

Chú ý Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì có đồ thị là

một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó

Quy ước Hàm ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó

4.2 Định lý

• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại

x là hàm số liên tục tại 0 x 0

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất trên đoạn đó

• Định lý

Hàm số ( )f x liên tục tại x nếu 0

0 0

0

x x f x x x f x f x

4.3 Hàm số liên tục một phía

Hàm số ( )f x được gọi là liên tục trái (phải) tại x nếu 0

0

lim ( ) ( )

x x f x f x (

0

lim ( ) ( )

x x f x f x )

Trang 8

VD 1 Cho hàm số

3 tan sin

, 0

x

Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là:

A 0; B 1

2; C 1; D

3

2

VD 2 Cho hàm số 2 2

ln(cos )

( ) arctan 2

2 3, 0

x x

x

Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là:

A 17

12; B

17

12; C

3

2; D

3

2

………

4.4 Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm ( )f x không liên tục

tại x thì 0 x được gọi là 0

điểm gián đoạn của ( ) f x O x

y

( )C

0

x

• Nếu tồn tại các giới hạn:

0

lim ( ) ( )

x x f x f x ,

0

lim ( ) ( )

nhưng f x , ( 0) f x và ( 0) f x không đồng thời bằng ( )0

nhau thì ta nói x là điểm gián đoạn loại một 0

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

 Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

§1 Đạo hàm

§2 Vi phân

§3 Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị

§4 Quy tắc L’Hospital

………

§1 ĐẠO HÀM

1.1 Các định nghĩa

a) Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y f x xác định trong lân cận ( ; )( ) a b của

0 ( ; )

x a b Giới hạn:

y

(nếu có) được gọi là đạo hàm của y f x tại ( ) x 0

Ký hiệu là f x hay ( )0 y x ( )0

Nhận xét Do x x x nên: 0

0

0 0

0

x x

f x

b) Đạo hàm một phía

Cho hàm số y f x xác định trong lân cận phải ( )

0

( ; )x b của x Giới hạn 0

0

0 0

( ) ( ) lim

f x f x

x x (nếu có)

được gọi là đạo hàm bên phải của y f x tại ( ) x 0

Ký hiệu là f x( 0) Tương tự, f x ( 0)

Nhận xét Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi 0

VD 1 Cho f x( ) 3x f (0) , ( )f x x f (0 )

c) Đạo hàm vô cùng

• Nếu tỉ số y

x khi x 0 thì ta nói y f x có ( )

đạo hàm vô cùng tại x 0

• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía

Chú ý

Nếu ( ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x thì tiếp 0

tuyến tại x của đồ thị 0 y f x( ) song song với trục Oy

Trang 9

1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:

(u v) u v ; ( )uv u v uv ;

k kv2 ,k

2) Đạo hàm của hàm số hợp ( )f x y u x : [ ( )]

( ) ( ) ( )

f x y u u x hay ( ) y x y u u x ( ) ( )

3) Đạo hàm hàm số ngược của y y x : ( )

1 ( ) ( )

x y

y x

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1) x x 1; 2) 1

2

x

x;

3) sinx cosx ; 4) cosx sinx ;

tan

cos

x

1 cot

sin

x

x;

1 tan x2 ;

7) e x e ; x 8) a x a x.lna ;

ln x

1 log

.ln

a x

x a;

11)

2

1 arcsin =

1

x

; 12)

2

1 arccos =

1

x

;

arctan

1

x

1 cot

1

x

VD 2 Tính ( )y x của hàm số cho bởi

2 3

2 1 , 0 4

t

Giải Ta có:

2

(4 ) 12

4 (2 1)

t

1.3 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y f x có phương trình dạng tham số ( )

x x t y( ), y t Giả sử ( ) x x t có hàm số ngược ( )

và hàm số ngược này có đạo hàm thì:

( )

t x t

y t

VD 3 Tính y x(1) của hàm số cho bởi 2

2

t

y t t

Giải Ta có: (2 2 ) 2 2

( )

y

1.4 Đạo hàm cấp cao

• Giả sử ( )f x có đạo hàm ( ) f x và ( ) f x có đạo hàm thì

( ) ( )

f x f x là đạo hàm cấp hai của ( ) f x

• Tương tự ta có:

( )n( ) (n 1)( )

f x f x là đạo hàm cấp n của ( ) f x

Trang 10

VD 4 Cho hàm số f x( ) sin2x Tính đạo hàm f(6)(0)

A f(6)(0) 32; B f(6)(0) 32;

C f(6)(0) 16; D f(6)(0) 0

VD 5 Tính f( )n( )x của hàm số f x( ) (1 x)n 1

Giải Ta có f x( ) (n 1)(1 x)n

f x( ) n n( 1)(1 x)n 1

f ( )x (n 1) (n n 1)(1 x)n 2

………

Vậy f( )n( )x ( 1) (n n 1)!(1 x )

VD 6 Tính y của hàm số ( )n 2 1

3 4

y

Vậy ( ) ( 1) ! 1 1 1 1

n n

n y

§2 VI PHÂN

Nhận xét

• f x( )0 A x 0( x) f x( )0 0( x)

A

2.1 Vi phân cấp một

Hàm số y f x( ) được gọi là khả vi tại x0 D f nếu

( ) ( ) ( )

f x f x x f x có thể biểu diễn dưới

dạng: f x( )0 A x 0( x)

với A là hằng số và 0( x) là VCB khi x 0

Khi đó, đại lượng A x được gọi là vi phân của hàm

số y f x tại ( ) x Ký hiệu 0 df x( )0 hay dy x( )0

VD 1 Tính vi phân cấp 1 của f x( ) x e tại 2 3x x0 1

( )

x

f x

df x( )0 f x( ).0 x hay ( ) df x f x( ) x

• Chọn ( )f x x df x( ) x dx x

Vậy df x( ) f x dx( ) h y a dy y d x

Giải Ta có f x( ) (2x 3 )x e2 3x f ( 1) e 3

Vậy df( 1) e dx 3

VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y arctan(x2 1)

VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsin )x

VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y ln(sin )x

x

Vậy

2 2

2

sin

dx

d y

x

2.2 Vi phân cấp cao

Giả sử y f x có đạo hàm đến cấp n thì: ( )

được gọi là vi phân cấp n của hàm y f x ( )

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,59 MB