Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Tìm tọa độ tiếp điểm.. Tính xác suất sao cho có đúng ba cây viết đỏ.. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBC hợp với
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
ĐỀ ĐỀ XUẤT Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN NĂNG (Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= −(x m x) ( 2−2x m− −1) ( m là tham số thực)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=1
b) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị tuyệt đối của tích hai hoành độ cực trị bằng 1
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm môđun của số phức 1 3
3
i
i
+ b) Giải bất phương trình log 2(x+ 3)³ 1 log + 2(x- 1)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2
0
π
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0
Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 1 2+ cosx cos x+ 2 =0
b) Một hộp đựng 10 cây viết xanh và 5 cây viết đỏ Lấy ngẫu nhiên 6 cây viết Tính xác suất sao cho có đúng ba cây viết đỏ
Câu 6 (1,0 điểm) Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, BC = 2a Cạnh bên SA vuông
góc với đáy, mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 600 Gọi D là trung điểm cạnh AB Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD
Câu 7 (1,0 điểm) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác
trong qua đỉnh A, C lần lượt là (d1):3x−4y+27 0= và (d2):x+2y− =5 0
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 1 1 4
+ + − =
+ + + =
Câu 9 (1,0 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:
1 1 1 1
+ + + + + +
Trang 2
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1
(2,0 điểm) a.(1,0 điểm) Cho hàm số y= −(x m x) ( 2−2x m− −1) ( m là tham số thực)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=1
Ta có: y x= −3 3x2+2
♥ Tập xác định: D=¡
♥ Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên: 3 2 6 ; 0 3 2 6 0 0
2
x
x
=
′= − ′= ⇒ − = ⇔ =
0.25
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞) ; + Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( )0; 2
ￚ Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=y( )0 =2 + Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; yCT=y( )2 = −2,
ￚ Giới hạn: lim x→+∞y= +∞; limx→−∞y= −∞
0.25
ￚ Bảng biến thiên:
x - ¥ 0 2 + ¥
' y + 0 - 0 +
y + ¥
2
- 2
- ¥
0.25 ♥ Đồ thị: 0.25 b.(1,0 điểm) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị tuyệt đối của tích hai hoành độ cực trị bằng 1 ♥ Ta có: y x= −3 (m+2)x2+(m−1)x m+ 2+m y′ =3x2−2(m+2)x m+ −1 Cho y′ = ⇔0 3x2−2(m+2)x m+ − =1 0 (1) 0.25 ♥ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi phương trình (1) có hai ghiệm phân biệt
♥ Gọi x x là hoành độ của hai điểm cực trị (1, 2 x x là nghiệm của (1), 1, 2 x1≠x2) theo đề 0.25
Trang 3bài ta có: 1 2
1
3
m
4
2
m m
=
⇔ = −
♥ Vậy m = 4 và m = -2
0.25
2
(1,0 điểm) a (0,5 điểm) Tìm môđun của số phức 1 3 3
i
i
+
♥ Ta có: 1 3 1 3
3 3
2 2 i
=
-0.25
♥ Do đó
2 2
z = æöççç ÷çè ø çè÷÷÷+ -æçççç ö÷÷÷÷÷ø =
0.25
b (0,5 điểm) Giải bất phương trình log 2(x+ 3)³ 1 log + 2(x- 1) (1)
♥ Điều kiện: x >1
Ta có: ( )1 Û log2(x+ 3)³ log 22 (x- 1) (2)
0.25
♥ Û x+ 3 2³ (x- 1)
Û x£5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(1;5ù
û
0.25
3
(1,0 điểm) Tính tích phân 2
0
π
♥ Đặt t= 1 sin− x ⇔ = −t2 1 sinx
⇔2tdt= −cosxdx
0.25
♥ Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1
0
2
x= ⇒ =π t
0.25
1 2 0
2
1 3 0
3t 3
0.25
4
(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0 Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
♥ Mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên:
( ( ) )
( )2
1.1 1.1 2.0 3 5
;
3
+ +
-0.25
♥ Phương trình mặt cầu ( )S : ( ) (2 )2 2 25
9
♥ Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P Gọi N d= Ç( )P , suy ra N
là tiếp điểm của ( )P và ( )S Vì d^ ( )P nên VTPT n =(2;2; 1- )
r
của ( )P là
một VTCP của d Phương trình tham số của
1
2
ìï = + ïïï = + íï
ï =-ïïî
0.25
Trang 4
1 1 :
2
d
ìï = + ïï
ï = + ïïí
ï = -ïï
ïïî Giải hệ ta được 5, 1, 1, 5
t= - x= y= z= - Vậy 1 1; ; 5
6 6 3
Næçç - ö÷÷
÷
5
(1,0 điểm) a (0,5 điểm) Giải phương trình 1 2
cosx cos x
+ + = (1)
♥ Ta có: ( )1 Û 2cos x2 + 2cosx 0=
0
1
cosx cosx
Û
=
-ê ê ë
0.25
2 ( )
2
ê = + p ê
ê
ê = +p p ë
0.25
b (0,5 điểm) Một hộp đựng 10 cây viết xanh và 5 cây viết đỏ Lấy ngẫu nhiên 6 cây viết Tính
xác suất sao cho có đúng 3 cây viết đỏ
♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 6
15 5005
C
W 0.25
♥ Gọi A là biến cố: “Lấy 6 cây viết trong đó có đúng 3 cây viết đỏ”
3 3
A =C C5 10 =1200
W
♥ Vậy xác suất cần tính là ( ) A 240
A
1001
0.25
6
(1,0 điểm)
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, BC = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 600 Gọi D là trung điểm cạnh AB Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD
♥ Vì BC^ AC và BC^ SA Þ BC^ (SAB)
Suy ra SC^ BC và AB^ BC
( ) ( )
·SBC ABC; (·SC AC; ) ·ACS 600
ABC
S∆ = AC BC= a a a=
0.25
♥ SA AC= tan 600 =a 3
3 2
.
a
♥ Kẻ DM // BC và M thuộc AC Ta có BC // (SDM) do đó:
A
S
l
C
B D
M H
Trang 5( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
d SD BC =d BC SMD =d C SMD
Kẻ AI ⊥SM CH, ⊥SM , H và I thuộc SM
Ta có: CH ⊥SM CH, ⊥DM (do BC⊥(SAC)⊃CH DM, / /BC) ⇒CH ⊥(SMD)⇒d C SMD( ;( )) =CH
♥ Do S∆SAM =S∆SCM nên AI = CH
2 2
13
AI
+ Vậy ( ; ) 39
13
a
d SD BC =
0.25
7
(1,0 điểm)
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0
♥ Lập phương trình đường thẳng BC qua B vuông góc với d1
Suy ra BC: 4x+3y− =5 0
Khi đó C BC= ∩d2 Tọa độ đỉnh C là nghiệm hệ: 4 3 5 0 ( 1;3)
C
+ − =
+ − =
0.25
♥ Gọi B′ là điểm đối xứng qua d2 B′∈AC
Lập phương trình BB′qua B vuông với d2 Suy ra BB′: 2x y− − =5 0
Gọi H =BB′∩d2 Tọa độ đỉnh C là nghiệm hệ: 2 5 0 ( )3;1
x y
H
− − =
+ − =
0.25
♥ H là trung điểm của BB′ Suy ra B′( )4;3
Đường thẳng AC qua C và B′ có phương trình: y− =3 0
0.25
♥ Tọa độ A d= 1ÇAC Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
3 0 ( 5;3)
y
A
− =
− + =
Phương trình đường thẳng AB: 4x+7y− =1 0
0.25
8
(1,0 điểm) Giải hệ phương trình 1 1 4
+ + − =
+ + + =
♥ Điều kiện: x≥-1, y≥1
Cộng vế theo vế, trừ vế theo vế ta có hệ:
+ + + + − +x x 16 x x 16 y y 14 y y+ =4 101 2
+ − + + + − − =
0.25
♥ Đặt u= x+ +1 x+6 và v= y− +1 y+4 ta có hệ:
10
5 5 2
u v
u v
+ =
+ =
0.25
♥ 5
5
u v
=
⇔ =
0.25
♥ Thay u, v ta được nghiệm của hệ là: 3
5
x y
=
=
0.25
9
(1,0 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn
1
xyz= Chứng minh rằng:
1 1 1 1
+ + + + + +
♥ Đặt x a y b z c= 3, = 3, = 3 thì x, y, z >0 với abc=1 Ta có 0.25
♥ a3+ b3 = +(a b a) ( 2 + −b2 ab) ≥(a b ab+ ) , do a b+ >0 và a2+ −b2 ab ab≥
⇒a3+ b3+ ≥ +1 (a b ab abc ab a b c) + = ( + + >) 0
0.25
Trang 63 3 ( )
a b 1 ab a b c
Tương tự ta có:
3 3 ( )
c 1 bc a b c
3 3 ( )
a 1 ca a b c
0.25
Cộng vế theo vế ta có:
( )
a b c 1
1
a b c
ab bc ca
c a b
+ +
Dấu “=” xãy ra khi: x = y = z = 1
0.25