Viết phương trình mặt cầu S có tâm A và tiếp xúc với mp P và tìm tọa độ tiếp điểm của mp P và mặt cầu S.. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016
( Đề thi gồm 1 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x
x
2 1 1
+
=
− .
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2 2
3
y= f x = x −mx +m x+ m− đạt giá
trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 4.
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 52x+1− 6.5x + = 1 0
b) Tìm môdun của số phức ( )3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2
1
1 3ln ln
e x x
x
+
=∫
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có
phương trình:x y+ −4z+ =3 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp (P) và tìm tọa độ tiếp điểm của mp (P) và mặt cầu (S)
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Cho tanα =3 Tính 3sin3 2 cos3
−
=
+
b) Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ số
3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác
ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng
∆ − + = Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua 2;5
2
I
sao cho diện tích tam giác
ABC bằng15
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
4 3
1
2
x
x y
+ +
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x y z, , là ba số dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P= − +x − +y −z HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016
Môn thi: TOÁN
( Đáp án gồm 4 trang)
1
(1,0 điểm)
• Tập xác định: D=¡
• Sự biến thiên
- Chiều biến thiên: = − < ∀ ≠
−
x 2
3
( 1)
0,25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1)và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị
• Giới hạn và tiệm cận
x y x − y x + y
Tiệm cận ngang: y=2, tiệm cận đứng: x=1
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị
0,25
2
(1,0 điểm)
Hàm số xác định và liên tục trên [-1;3]
( )2
Suy ra giá trị lớnn nhất max ( )[ 1;3]− f x = f(3) 0,25
3
3
Trang 3(1,0 điểm)
1 5 5
x
x
pt
=
=
0 1
x x
=
⇔ = −
Vậy: x=0; x=-1 là nghiệm của phương trình.
0,25
13 ( 4) 185
4
(1,0 điểm)
1 3ln
3
x
x
2 3
2 2 1
1
1
t
=7
5
(1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm A(1; 2;3) và bán kính R=d(A;(P))= 2 0,25
Phương trình (S): (x−1)2 + −(y 2)2+ −(z 3)2 =2 0,25
Tiếp điểm M là hình chiếu vuông góc của A lên mp(P) Gọi d là đường thẳng qua A(1;2;3) và vuông góc với mp(P)
Phương trình tham số d:
1 2
3 4
= +
= +
= −
0,25
M=d∩(P) ⇒M(1+t;2+t;3-4t)∈ (P) ⇒t =1
3
3 3 3
0,25
6
(1,0 điểm)
a) (3tan 2)(1 tan3 2 )
5 tan 4
A
x
− +
=
2 3
(3.3 2)(1 3 ) 70
− +
b) Gọi a a a a a1 2 3 4 5 là số tự nhiên cần tìm, a a a a a1, , , ,2 3 4 5 ∈{1; 2;3; 4;5}
không gian mẫu có n(Ω)=C C53 42 =10.12 120= phần tử 0,25
Gọi A là biến cố: “số được chọn chia hết cho 3”
5.2! 5.2! 40
Xác suất của biến cố A là: ( ) 40 1
P A = =
0,25
Trang 4(1,0 điểm)
Ta có:AN = AB2−BN2 =2a 3 Diện tích tam giác ABC là: 1 2
2
ABC
Thể tích hình chóp S.ABC là:
2
S ABC ABC
V = S∆ SA= 32a3 3
3
2
2
AM = SB=
Gọi H là trung điểm AN thì MH ⊥AN, ⇒MH = AM2−AH2 =a 17 Diện tích tam giác AMN là 1 12a 3.a 17 a2 51
AMN
0,25
Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là:
3
2
17
B AMN AMN
V
d B AMN
S∆
8
(1,0 điểm)
Gọi ( ;3 4) (4 ;16 3 )
A a + ⇒B −a −
Khi đó diện tích tam giác ABC là 1 ( ; ) 3
2
ABC
S = AB d C ∆ = AB 0,25
+Theo giả thiết ta có
2
0 2
a a
a
=
−
= ⇔ − + ÷ = ⇔ = 0,25 Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) hoặc A(4;4) và B(0;1) 0,25 9
( )
2
1
4 3
1
2
x
x y
+ +
x y
x y x y
+ −
1 3
x y
⇔ + =
0,25 0,25
S
A
B
N
C M
H
Trang 5( ) 1 1 1 3 ( 1 )
2
x
+
1
2
t t
=
⇔ − +
=
0,25
Với t = 1
1 4 3
x y
= −
, Với t =
2
2
log 5 1 2
7
3
x y
= − −
− +
⇒
0,25
10
(1,0 điểm)
+ Áp dụng BĐT AM-GM, ta có ( )
2 1
+ Tương tự, ta thu được (1 ).2 (1 ).2 (1 ).2 5 3 5 3 5 3 2
+ Dấu bằng xảy ra khi 1
3
HẾT
