Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Tìm điểm M thuộc đồ thi C sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hà
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề )
Đề thi này có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (1)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 cos cos 2x x 2 2sin2xcos 3x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính nguyên hàm:
2
2x 1
x
Câu 4 (1,0 điểm)
4
log (2 3 1) log ( 1)
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
8ln
y xx trên đoạn [1;e]
Câu 5 (1.0 điểm) Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu
nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đủ 3 màu, có đúng một quả cầu màu đỏ và có không quá hai quả cầu màu vàng
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết ABa AD; 2a, tam giác
SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm của SD Tính thể tích khối chóp S.ACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD biết 3
2
AB AD Gọi F là
điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho 3
4
BF BC Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABF có phương trình
Đường thẳng d đi qua hai điểm A, C có phương trình
3x11y Tìm 2 0
tọa độ đỉnh C biết điểm A có hoành độ âm
Câu 8 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:
3
2
x y
Câu 9 (1.0 điểm) Cho a b c là ba số thực dương thỏa mãn , , a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2
2
a P
_ HẾT _
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Trang 2ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN LẦN 1 NĂM 2015 – 2016
1.1
* Tập xác định DR/ 1
* Sự biến thiên:
Ta có:
2
3
1
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1và 1;
Hàm số không có cực trị
0,25
* Giới hạn và tiệm cận:
Ta có:
đường thẳng y 2là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C)
đường thẳng x 1là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C)
0,25
* Bảng biến thiên:
x 1
'
y - -
y
2
2
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị (C) cắt Ox tai điểm 1;0
2
, cắt trục Oy tai điểm 0; 1
0,25
1điểm
1.2
1
a
(điều kiện a 1)
Gọi đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thi (C)
Ta có d M Oy , a ;
2 2
3 1
,
1
a a a
d M
a
0,25
Theo giả thiết khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến
đường tiệm cận ngang do đó: 2 3
a
0,25
2
6
2
a
Vì phương trình a2 vô nghiệm a 6 0
Trang 3+ Với 3 3;7
2
a M
+ Với a 2 M2;1
0,25
Phương trình đã cho cos 3xcosx 2 2 sin2 xcos 3xcosx 2 2 sin2x 0,25
cosx 2 2 1 cos x
1 cos
2
x x
0,25
2
+ Với
2
2
2 3
Ta có
2
2x 1 x 2x 1
2 2
1 2
1 2
u x
0,25
Do đó
2
0,25
1ln 1 1ln 1
0,25
Vậy 2 2 1 1ln 2 2 1 1 1ln 2 2 1 1
I x x x C 0,25
4.1
Điều kiện:
2
1 0
1
x
x
x
Khi đó phương trình
2
1 ) 1 ( log 2
1 ) 1 3 2 ( log 2
2 2
0,25
2 2
2 2(2 3 1) log ( 1)
1 (Ko TM)
3
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
3
1
x
0,25
0,5 điểm
4.2
Điều kiện: x 0
Hàm số y8lnxx2 xác định và liên tục trên [1;e]
2 1;
8
2 1;
0,25
Trang 4Ta lại có: y 1 1; y 2 8 ln 2 4 ; y e 8 e
Vậy :
1;
Max 8 ln 2 4
e y , giá trị lớn nhất đạt được khi x 2
1;
e y , giá trị nhỏ nhất đạt được khi x 1
0,25
Câu 5
Gọi là không gian mẫu của phép thử
Số phần tử của không gian mẫu là 4
Gọi B là biến cố: “ 4 quả lấy được có đủ 3 màu, có đúng một quả cầu màu đỏ và
không quá hai quả màu vàng”
Do đó để lấy được 4 quả có đủ 3 màu, có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá
hai quả màu vàng có 2 khả năng xảy ra:
+) 4 quả lấy được có 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng suy ra số cách lấy là: C C C14 52 17
+) 4 quả lấy được có 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng suy ra số cách lấy là: C C C41 15 72
0,25
+) Khi đó 1 1 2 1 2 1
+) Xác suất của biến cố B là
700 5
1820 13
n B
P B
n
Gọi H là trung điểm của AB, vì SAB là tam giác đều SH AB
Ta có
,
2
a
SH SA HA
0,25
Do đó
3 2
0,25
Gọi J là trung điểm của CD IJ / /SCSC/ / AIJ
, , ,
d AI SC d SC AIJ d C AIJ
Ta có CDAIJJ d C AIJ , d D AIJ , (vì J là trung điểm CD)
Vậy d AI SC , dD,AIJ
0,25
Trang 5Vì H là trung điểm AB, J là trung điểm của CD do đó tứ giác AHJD là hình chữ nhật
Gọi K là tâm của hình chữ nhật AHJD IK/ /SH (vì IK là đường trung bình tam
giác SHD)
/ /
IK SH
SH a
Ta có
2 1
ADJ
a
S AD DJ ;
2 3
2
a
AJ AD DJ
2 AIJ
AIJ
,
17
I ADJ a
d D AIJ
S
0,25
Ta có
A d
tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ pt
3 11 2 0
2
3
2 11
1
1 3
13
23 13
13
x y
y x
A
y
y
(vì x ) A 0
0,25
Gọi điểm E thuộc tia đối của tia BA sao cho AFCE
Đặt BExABBEx AB
, ta có:
CE BEBCx AB AD
4
Vì AFCE do đó
CE AF x ABAD AB AD xAB AD x
Vậy E thuộc tia đối của tia BA thỏa mãn 1
3
BE AB khi đó AFCE
0,25
Trang 6Xét tam giác ACE có AF CE
F là trực tâm tam giác ACE hay EFAC
Gọi H EFAC tứ giác ABFH nội tiếp hay
:
H T x y
do đó H là giao điểm (khác A) của đường thẳng d và đường tròn (T) 93; 23
13 13
0,25
Qua B kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại K BK/ /HE, khi đó ta có
3
3
; 132; 36
AH
12
8
2
12
a
a
b b
Vậy C8; 2
0,25
Điều kiện: 3
2
x
Biến đổi pt thứ (2) của hệ thành : 3 2 3
2 x1 3y x1 4y 0 Nhận xét y không là nghiệm của pt 0 y0, do đó pt
0,25
Đặt a x 1
y
khi đó pt trở thành
Vì pt 2a2 vô nghiệm a 2 0
y
0,25
Thay 2y vào pt (1) của hệ ta được pt x 1 3 x2 1 x x32
0,25
3
3
2
0
2
0
2
2
1 1
x x
Vì
2
3 2
1 1
x x
x x
x
Với x 3 y 2
0,25
Trang 7Vậy hệ pt đã cho có nghiệm x y ; 3; 2
Ta có:
2 2
2
16 27
a P
2 2
2
4
a b
Ta lại có
4 5
4
b c bc b c b c b c
0,25
Do đó
2
b c a c
2
a b
2 2
2
2
a b c
2
2 1
1 2
c c
c c
c
2
2
c
0,25
Theo giả thiết a b c thỏa mãn , , 0 a b c 1 c 0;1
2
2
c
với c 0;1
Ta có
3
c
vì c 0;1
0,25
Bảng biến thiên
9
f c
, c 0;1 Do đó 1
9
Vậy Min 1
9
3
abc
0,25
Hết
( )
f c
'( )
f c
–
1 9