Chị Mai chọn 8 quả trong số các quả mua về để bày thành mâm ngũ quả ngày tết.. Tính xác suất để mâm ngũ quả chị Mai bày có đủ các loại quả mà chị mua về trong đó có ít nhất 3 quả cam.. H
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU
THẦY TÀI – 0977.413.341
(Đề gồm 9 câu 1 trang)
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA ĐỢT I
NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2
yx x
Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số
f x x x x tại điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ là nghiệm của phương trình
2 '( )f x xf ''( ) 6x 0
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình 2
sin 2x2 3cos x2 cosx0 b) Giải phương trình 9 x 4.3 x 3 0
c) Chị Mai ra chợ mua 4 quả cam, 3 quả lê, 6 quả quýt, 1 quả bưởi và 2 quả thanh long Chị Mai chọn 8 quả trong số các quả mua về để bày thành mâm ngũ quả ngày tết Tính xác suất để mâm ngũ quả chị Mai bày có đủ các loại quả mà chị mua về trong đó có ít nhất 3 quả
cam
Câu 4 (1,0 điểm) Tính nguyên hàm 2 1
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức Newton của 3 5
4
2 n
x x
, biết
49 8
A C C
Câu 6 (1,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ biết AB=a, AC=2a và
0 60
BAC Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a:
a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung
điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABM, (7; 2) D là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA=GD, phương trình đường thẳng AG là 3x y 13 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đỉnh A và B có hoành độ nhỏ hơn 4
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
Câu 9 (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực thỏa mãn 0 a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hết
Trang 2TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA ĐỢT I
NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN
Đáp án gồm 7 trang ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2
2 3
1,0 đ
TXĐ : R
Sự biến thiên:
3
0
1
x
x
0,25
Hàm số đồng biến (-1;0) và (1;+), nghịch biến trên ( ; 1) va (0;1) Hàm số đạt cực tiểu tại xCT=1; y
ct =-4 Hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0; yCĐ=-3 Giới hạn:
limx y ;limx y
0.25
Bảng biến thiên
x -1 0 1
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
-3
-4 -4
0,25
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ 3
4
2
-2
-4
0.25
Trang 3Câu 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số 3 2
( ) 6 9 1
tại điểm thuộc (C) có hoành độ là nghiệm của phương trình
2 '( )f x xf ''( ) 6x 0
1,0 đ
Ta có f’(x)=3x2
2
12 9
2 '( ) f x xf ''( ) 6 0 x 2(3 x x ) x x (6 12) 6 0 x 1 0,25
Tung độ là y= f(1) 1 3 612 9 1 5, hệ số góc k=f’(1)=0 0,25
Câu 3
a)
0,5 đ
sin 2 x 2 3cos x 2cos x 0 Phương trình tương đương với
cos 0
2 cos (s inx 3 cos 1) 0
s inx 3 cos 1
x
x
cos 0
2
x x k
0,25
2 2
s inx 3 cos 1 sin( ) sin
7
2 6
Vậy phương trình có nghiệm 7 2 ,
x k x k
0,25
b)
0,5 đ
Giải phương trình 9 x 4.3 x 3 0
Đặt 3 x t t, 0 ta có phương trình t2 -4t+3=0 t= 1 hoặc t=3 0.25 + Với t=1 thì 3 x 1 x 0 x 0
+ Với t=3 thì 3 x 3 x 1 x 1
KL: x=0, x=1
0.25
c)
0,5 đ
Chị Mai ra chợ mua 4 quả cam, 3 quả lê, 6 quả quýt, 1 quả bưởi và 2 quả thanh
long Chị Mai chọn 8 quả trong số các quả mua về để bày thành mâm ngũ quả
ngày tết Tính xác suất để mâm ngũ quả chị Mai bày có đủ các loại quả mà chị
mua về trong đó có ít nhất 3 quả cam
Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 8 của 16 quả
16 ( )
n C
Để mâm ngũ quả có đủ các loại quả và có ít nhất 3 quả cam thì có các trường
hợp sau:
Th1: mâm ngũ quả gồm 4 quả cam, 1 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
Số cách bày là 4 1 1 1 1
1 4 3 6 1 2
n C C C C C
0.25
Th2: Mâm ngũ quả gồm
Trang 4 3 cam, 2 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
3 cam, 1 lê, 2 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
3 cam, 1 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 2 thanh long
Khi đó số cách bày là
3 2 1 1 1 3 1 2 1 1 3 1 1 1 2
2 4 3 6 1 2 4 3 6 1 2 4 3 6 1 2
n C C C C C C C C C C C C C C C Vậy xác suất cần tìm là
4 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 1 2 1 1 3 1 1 1 2
4 3 6 1 2 4 3 6 1 2 4 3 6 1 2 4 3 6 1 2
8 16
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P
C
0,25
Câu 4
1,0 đ
cos 3cos 2
sin
cos 3cos 2
x
x xdx xd x x x xdx x x x C
Đặt t=cosx ta có dt=-sinxdx
sin cos 3cos 2
dt
dt
x
dx
cos 1
x
x
0,25
Câu 5
1,0 đ
Tìm hệ số của x 4
trong khai triển nhị thức Newton của 3 5
4
2 n
x x
,
49 8
A C C
Điều kiện n3,nN
Ta có phương trình
7 7 49 0 ( 7)( 7) 0 7 ( )
0,5
Ta có
4
2
( 2) 2
k
k
x
x x
Hệ số của x4
k
Vậy hệ số của x4
là 4 4
7( 2)
Câu 6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ biết AB=a, AC=2a và 0
60
BAC
Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác
ABC, góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a
a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC)
Trang 5A'
B'
B
C'
C A
M H
K G
a)
0,75 đ
Gọi M là trung điểm BC, thì
2 ,
3
AG
G AM
AM
0 ' ( ), A'A 60
Ta có
2 0
.sin 60
ABC
a
0.25
Theo đính lí cosin và công thức trung tuyến ta có
2
2 os60 3
0
' tan 60
AG A GAG
0,25
Thể tích
3 ' ' '
7 '
2
a
b)
0,75 đ
Gọi I AC'A C' suy ra I là trung điểm của AC’
Từ đó d C( ',( 'A BC))d A A BC( ,( ' ))3 ( ,( 'd G A BC)) (do AM 3GM)
Trong (ABC) kẻ GHBC tại H
Trong (A’GH) kẻ GKA H' tại K
Ta có GK( 'A BC)d G A BC( ,( ' ))GK
0,25
Ta có
2
a
3
GBC
GH
BC
0,25
Theo hệ hức lương cho tam giác vuông
a GK
GK A G GH a a a
Vậy ( ', ( ' )) 3 3 7
66
a
d C A BC GK
0,25
Trang 6Câu 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm
của BC, G là trọng tâm tam giác ABM, (7; 2) D là điểm nằm trên đoạn MC sao
cho GA=GD, phương trình đường thẳng AG là 3x y 13 0 Xác định tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh A và B có hoành độ nhỏ hơn 4
1,0 đ
B
M
D
Gọi N là trung điểm của AB ta có , 2
3
MG
G MN
MN
Ta có MN là đường trung trực của AB nên GA=GB lại có GA=GD nên G là tâm
ABM AGD hay tam giác AGD vuông cân tại G
Đường thẳng GD qua D(7;-2) và vuông góc với AG nên có phương trình
3 1 0
x y Tọa độ G là nghiệm của hệ 3 13 0 4 (4; 1)
G
0.25
( ;3 13)
AAGA a a
3.7 2 13
10
3 ( )
a loai
Vậy A(3;-4)
0,25
Đặt NG=x thì ta có AN=3x và AG= 2 2
AN NG x x AB Gọi B(a;b) ta có BG 10, AB6 suy ra hệ
Do G(4;-1) là trọng tâm tam giác ABM suy ra M(6;-1) Lại có M là trung điểm
BC nên từ đó có C(9;-4)
0,25
Câu 8
Giải hệ phương trình
2
(1)
Từ phương trình (1) của hệ ta có
0,25
Trang 7(1 đ)
2 2
2
2
Thế vào (2) ta có
2( 1) 1 ( 1) 2 2( 1) (1 2 ) ( ) 2 2( ) (3)
0.25
2
( ) (2 1) 2 2 , '( ) 2 2 (2 1) 2 0
2
t
t
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
0,25
2
Từ đó ta tìm được y=1
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1
2; 1)
0,25
Câu 9 Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn 0 a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a b c a b c
a b a c a b c
1,0 đ
Ta có P 21 2 2 1 2 1 1 20(a b c)
a b a c a b c
Vì 0 a b c
nên
2
a
a b ab b b
dấu bằng xảy ra khi a=0 Tương tự
2
a
a c c
dấu bằng xảy ra khi a=0
0,25
Áp dụng các bất đẳng thức sau:
x y x y
Dấu bằng xảy ra khi x=y (phải chứng minh)
x y x y
Dấu bằng xảy ra khi x=y
a b c a b c
0,25
Đặt t=a+b+c với t>0
Xét hàm số f t( ) 82 4 20 ,t t 0
t t
Ta có
3
'( ) 8 t 20 t t
f t
'( ) 0 20 4 16 ( 1)(20 20 16) 0 1
f t t t t t t t
0,25
Bảng biến thiến
Trang 8t 0 1
f’(t) - 0 +
f(t)
32
Suy ra P32 dấu bằng đạt được khi
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 32
0,25
