Khi đó xác su t ta đi theo h ng này đúng là cao.
Trang 1Tr c Ệhi ệàm bài t p ph n này, các b n xem tr c bài 3 “Tích phân và s đ gi i tích phân t ng quát”
Bài 1 Tính tích phân
2
2
dx I
v i : 1) 3
4
k
2) k 3) 1 k4
Gi i:
1) V i 3
4
k thì :
2
2 2
2 4
7
2) V i k thì : 1
2
0
1
I
3
I
t x 1 3 tantv i ;
2 2
t
2 2
3
3.(1 tan ) cos
dt
t
t
2
6
t dt
t
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
3
x
2)
0
dx I
3)
1
dx I
4)
1
dx I
5)
6)
2
1
x
7)
2
1
3
x
Gi i:
1)
2 2
1
1 1
ln 4 1
x
2)
0
dx I
1( 1)(2 3)
dx
5
0
1
dx
0 0
x dx
5
3)
1
0
1
I
1
0
2
x
NGUYÊN HÀM H U T
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Nguyên hàm h u t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2t x 1 tantv i ;
2 2
t
2
2 (1 tan ) cos
dt
t
4
t Khi đó
0
4
(1 tan )
t dt
Chú ý: Vi c phân tích 4x 5 x 1 3(x2)có đ c là do ta đi tìm h s a b, th a mãn:
6)
x x
2
1
ln 2 1
ln 3
7)
1
x
+) Tính
2 2
+) Tính
B
t x 1 3 tantv i ;
2 2
t
2 2
3
3.(1 tan ) cos
dt
t
và x: 1 2 thì : 0
3
2
3
t dt
t
(2)
Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c: I7 ln 2 4 3
3
1)
1 1
x
2)
0
3)
1
4)
0
( 1) 1
x
x
5)
2 2
0
6)
2 2
1
(B – 2014)
Gi i:
1)
2
2 1
3 2
I
4x 5 a x( 1) b x( 2) 4x 5 (ab x a) 2b
Trang 3
1
2
x
3
3)
2 2
1
ln 2 1
x
x
x
11 3
ln 3
6 2
4)
0
( 1)
1
x
x
2
5)
3
x
dx
2 2
0
Tính
I
t x 1 3 tant (v i ;
2 2
t
2 2
3
3(1 tan ) cos
t
và : 0x thì 2 :
t
2
2
6
t dt
t
Thay (2*) vào (*) ta đ c:I5 4 3ln 3 3
6)
2 2
1
(B – 2014)
( 1)
V y I6 1 ln 3
2
1
2
2 1 1
Trang 4Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)
x
(B – 2012) 2) 2 1 7 4 2
0(3 2 )
x
x
3)
1
1
x
4)
2
1
x
5)
2
1
x
6)
2
1
dx I
7)
1
0(1 2 )
x
x
8)
2
1 1
dx I
9)
0 2
1(1 )
x dx I
x
10)
1 3
0
2 1
x
Gi i:
tx dt 2xdx hay
2
dt xdx và : 0x 1thì
1
0
1
2
3
ln 3 ln 2 2
2)
3
t
3 3
2
ln
16
2
2
dt
t x dt xdx xdx và :1x 2 thì
Khi đó
Lúc này ta s phân tích 2 1
t
thành t ng các phân th c có m u b c 1 b ng ph ng pháp đ ng nh t
(*)
Vi c tìm A B C, , có th làm theo 2 cách :
x
0 (3 2 )
x
x
4
4
1 8
8
3 2
3 2
t x
1
1
x
Trang 5
Cách 1: khi đó
1
2
A
A B C
A
C
Cách 2: +) Ch n t thì (*) có d ng: 0 1 2 1
2
+) Ch n t thì (*) có d ng: 21 B B 2
+) Ch n t thì (*) có d ng: 2
4
V y 3 7 ln 3 11.ln 2
4
4)
Cách 1: (đ i bi n)
t tx23xdt(2x3)dx và :1x 2 thì t: 4 10
Khi đó
10
4
ln
2 12
Cách 2: (tách ghép và s d ng ph ng pháp vi phân)
2
ln
2 12
5)
Chia c t và m u trong bi u th c tích phân cho 2
x ta đ c:
Cách 1: (đ i bi n)
2
2
1 1 1 2
x
x
và : 2x thì 1
2
(*) t 1 (A B C t ) (3A2B C t ) 2A
3
3 2
2
2 2
3
2
1
x
5
1
1
dx x x
1
t x
x
2
Trang 6Khi đó
2
5
2
1
I
Cách 2: (tách ghép và s d ng ph ng pháp vi phân – dành cho nh ng ai cự Ệ n ng phân tích t t)
1 36
6)
Cách 1: (đ i bi n)
2
dt
Khi đó
1
I
1
dt
t t
ln
82 8
Cách 2: (Dùng Ệ thu t tách ghép)
dx
2 2 2
1
ln
82 8
8)
: 2 1 2
Khi đó
2015ln 2 ln(1 22014)
2014
9)
1
2
1 1
I
x
x
I
4 4
2
ln
t dt
2
1 1
dx I
2014
dt
t x dt x dxx dx
1
2014
1 2
2
ln 2014
t t
0 2
1(1 )
x dx I
x
Trang 7t và : 1x 0 thì t:12
Khi đó
33 4480
10)
+) Tính
1
4
0
+) Tính
1
4 0
2 1
x
x
2
tx dt xdx ; i c n x và 0 t 0 x 1 t 1
Khi đó 1 2
dt B
t
cos
du
u
2 2
t
; i c n t và 0 u 0 1
4
t u
Suy ra
2
4
(1 tan )
t dt
t
V y 10 1ln 2
Bài 5 Tính các tích phân sau:
1)
2) 3)
1
0( 1) ( 2)
dx I
5)
1 2014
0(1 )
x
x
Gi i:
1)
Nh n xét: D ng tích phân và cách gi i t ng quát cho bài toán trên nh sau:
2)
2013 2013
1
t x dt dx
(1 t dt) 1 2t t
2 2
dt
0
( 3) (2 1)
x
x
1
(ln 2) (ln 1)
e
x
1
dx I
1
1
n
n
2014
e e
d
Trang 83)
2 1
0
1 2
x x
1 0
2
3
x t
Khi đó
2
2
1
2
t
Nh n xét :
bài toán trên ngoài ph ng pháp đ i bi n ta có th s d ng ph ng pháp tách ghép ho c ph ng
pháp đ ng nh t h s nh sau
(x 1) (x 1) (x 1)(x 2) (x 1) (x 1) x 1 x 2
suy ra A B C D, , ,
4)
2
I
x x
i c n x ; 0 t 1 x 1 t 3
Khi đó
1
3
4 ln
dx I
2
( 2)
I
x
4
Trang 9,
m n
cx d
2
m n
m n
I
cx d
2
m n
m
m n
cx d
5)
1 2014
0(1 )
x
x
Cách 1:
t
5
5
5
1
dt
dt x dx x dx
; i c n x ; 0 t 1 x 1 t 2
Khi đó 5 402
402
4
2
2
403
2015.2
I
Cách 2:
402
2
x t
Khi đó
403
402
Nh n xét:
Trong các bài toán đ i bi n các b n s nh n ra m t đi u (r t quan tr ng trong ph n đ i bi n), khi
chúng ta đ i bi n thì b c ti p theo là b c vi phân c 2 v Sau khi làm xong đi u này các b n s bi t
ngay là bài toán chúng ta đi có đúng h ng hay không C th : N u sau khi vi phân ta có:
thì x y ra 2 kh n ng:
còn l i c a bi u th c d i d u tích phân (n u có) còn ch a bi n mà ta rút đ c theo Khi đó xác
su t ta đi theo h ng này đúng là cao
t nhân thêm vào (đ bài không cho thì ta t cho) và ch nh b ng cách nhân v i l ng t ng ng d i
m u s và ph n phát sinh thêm sau khi nhân cùng v i bi u th c tr c đó s rút đ c theo ( c hai bài toán trên ta đã t nhân c t và m u l n l t v i và )
f t dtg x dx
( )
g x dx
( )
( )
t
e