Bài 1 Trong m t ph ng t a đ , cho hai đ ng th ng , L p
ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m sao cho đ ng th ng đó c t hai đ ng th ng và
t o ra m t tam giác cân t i đ nh là giao đi m c a và
Gi i:
Cách 1:
Ta có
Khi đó c t hai đ ng th ng và s t o ra m t tam giác vuông cân
Suy ra góc t o b i v i (ho c ) b ng
Do đó:
Cách 2:
+) G i là đ ng th ng c n l p Do c t hai đ ng th ng và t o ra m t tam giác cân t i đ nh
là giao đi m c a và nên vuông góc v i phân giác trong c a góc
Oxy d1: 2x y 5 0 d2: 3x6y 7 0
(2; 1)
1
1, 2
0
2 5
3
3
1
a b
3
a b
3x y 5 0 x3y 5 0
PH NG TRÌNH NG TH NG (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Ph ng pháp vi t ph ng trình đ ng th ng (d ng 2) thu c
n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2+) Các đ ng phân giác t o b i có ph ng trình:
Nh n xét:
Cách 1 ta khai thác y u t đ c bi t c a bài toán khi ch ra N u không khai thác đi u này
thác theo m t góc nhìn khác khi ch ra đ ng th ng c n l p vuông góc v i phân giác trong c a đ nh là
giao c a và
Bài 2 Trong m t ph ng t a đ , cho tam giác vuông cân t i và là trung đi m c a
Gi i:
t
Do đó có ph ng trình:
1, 2
d d
1 2
1
1 (3;1)
3(x 2) (y 1) 0 3x y 5 0
2
2 (1; 3)
,
1
11
; 4 2
3 cos
3
IAN
0
3
AN
2
2
a b
2
Trang 3Suy ra t a đ đi m là nghi m c a h
M t khác ta có:
Suy ra t a đ đi m là nghi m c a h :
Do là trung đi m c a , suy ra và là trung đi m c a , suy ra
Do đó có ph ng trình:
Bài 3 Trong m t ph ng t a đ , cho hình vuông i m là trung đi m c a
i m n m trên đo n sao cho Tìm t a đ đi m bi t ph ng trình đ ng th ng
Gi i:
G i đ ng th ng đi qua song song v i và c t l n l t t i
Suy ra t giác n i ti p đ ng tròn và có ph ng trình:
N
11
2
1
I
y
A
2
1
a b
2
2
N
1 5
; 2
2
x
N
( 2; 4), (7; 7), (1;5)
2 2
4
0
3
90
Trang 4Khi đó t a đ đi m là nghi m c a h :
Do A có hoành đ nh h n 2 nên ta đ c A(1; 2)
Nh n xét:
*) N u bài toán không cho đi u ki nA có hoành đ nh h n 2, ta v n có m t đi u ki n đ lo i b t
nghi m c a A là MAN 0
45
2
ho c 14 28;
*) Ngoài cách tìm A b ng vi c vi t ph ng trình AC đ chuy n v đi m lo i 2 nh trên
Chúng ta có th tìm A nh ch ra A là giao đi m c a hai đ ng tròn (M MA; ) và ( ;N NA)
Bài 4 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có A(0; 2) G i H là hình chi u vuông
góc c a B lên AC Trên tia đ i c a BH l y đi m E sao cho BEAC Bi t ph ng trình đ ng th ng
DE x y Tìm t a đ đ nh C c a hình ch nh t, bi t B có tung đ d ng và D không trùng v i g c
t a đ
Gi i :
N
11
; 2 2
2
y
2 2
AC DN
a
0
2
( ; 2)
a
n b
11
; 2 2
(7 3 ; 4 )
14 28
4
;
A t
Trang 5
K EF AD t i F và EF c t BC t i K
Khi đó ta có: 1 4
0
Suy ra FED vuông cân t i F nên 0
45
G i n1( ; )a b là vecto pháp tuy n c a AD, (v i 2 2
0
a b ) và n2 (1; 1) là vecto pháp tuy n c a
ED
2
( )2 2 2 0 0
0
a
b
+) V i a , ch n 0 b ta đ c ph ng trình 1 AD y: 2 0
0
y
Suy ra ph ng trình AB: x G i 0 B(0; )b AB v i b , khi đó: 0
SABCD AD AB 6 2.b ho c 2 b 5 b (lo i), suy ra 1 B(0;5)
Trung đi m c a BD có t a đ 1;7
2
, c ng là trung đi m c a ACC(2;5) +) V i b , ch n 0 a1 ta đ c ph ng trình AD x: 0
0
x
V y C(2;5)
Bài 5 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và AC2BD i m 2;4
3
thu c đ ng th ng AB và đi m 3;13
3
thu c đ ng th ng CD Vi t ph ng trình đ ng chéo BD
Gi i :
Trang 6
Cách 1 :
+) G i N ' là đi m đ i x ng v i N qua I (hay I là trung đi m c a NN ) suy ra ' ' 3;5
3
thu c đ ng
làm véct ch ph ng , suy ra nAB (1; 3)
Ph ng trình AB x: 3y 2 0
+) t ABI Do AC2BDAI 2BI, suy ra :
1 cos
5 4
G i nBD ( ; )a b là vecto pháp tuy n c a đ ng th ng BD, khi đó :
3 1
BD AB
7
+) V i a , ch n b a hay b 1 nBD (1;1) Khi đó BD đi qua I(3;3) nên có ph ng trình :
x y
+) V i a , ch n 7b 7
1
a b
hay nBD (7; 1) Khi đó BD đi qua I(3;3) có ph ng trình :
7x y 180
V y ph ng trình BD là : x y 6 0 ho c 7x y 180
Cách 2: Các b n tham kh o cách gi i theo góc nhìn tìm đi m lo i 2 (đã trình bày các bài tr c)
( ví d này có thêm đi u ki n t a đ B nguyên)
Bài 6 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD G i E là trung đi m c a AD, 11; 2
là hình chi u c a B lên CE và 3; 6
là trung đi m c a đo n BH Xác đ nh t a đ các đ nh c a
hình vuông ABCD , bi t A có hoành đ âm
Gi i :
Trang 7
+) Do M là trung đi m c a BH, suy ra B( 1; 2)
Ta có CE đi qua 11; 2
và vuông góc v i MH nên có ph ng trình: 2x y 4 0
G i F đ i x ng v i E qua A, khi đó BCEF là hình bình hành nên FB//ECFBBH
Suy ra AM là đ ng trung bình c a hình thang vuông BHEF, do đó AMBH
Khi đó AM có ph ng trình: 2x y 0
Ta có:
cos
5 5
ECD
2 cos
5
G i A a( ; 2 ) a AM, suy ra BA(a 1; 2a 2) và ta có uAM (1; 2)
Khi đó
cos
AM
AM
MAB
2
5
a (lo i) , suy ra A( 1; 2)
Do AD đi qua ( 1;2)A và vuông góc v i AB nên có ph ng trình: y 2 0
Ta ABCDC(3; 2) V y A( 1;2), ( 1; 2), (3; 2), (3;2) B C D
Bài 7 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân t i A Bi t ph ng trình c nh BC là
d x y , đi m (7;7)N thu c đ ng th ng AC, đi m (2; 3)M thu c đ ng th ng AB Tìm
t a đ các đ nh c a tam giácABC
Gi i:
+) G i vecto pháp tuy n c a AB là nAB ( ; )a b v i a2b2 , 0 AB đi qua (2; 3)M có ph ng trình:
a x( 2) b y( 3) 0 ax by 2a3b 0
Ta có nBC (1;7), khi đó:
2
Trang 812 2 7 12 2 0 (3 4 )(4 3 ) 0 3 4
+) V i 3a4b, ch n 4
3
a b
suy ra ph ng trình AB: 4x3y 1 0 Khi đó AC đi qua (7;7)N vuông góc v i AB nên AC có ph ng trình: 3x4y 7 0
A
B
C
+) V i 4a 3b, ch n 3
4
a b
suy ra ph ng trình AB: 3x4y18 và 0 AC: 4x3y49 0 Khi đó ta có (10;3)A B(10;3) (lo i) V y ( 1;1), ( 4;5), (3;4)A B C
Bài 8 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i A có ph ng trình hai c nh AB và AC
l n l t là x2y và 22 0 x , đi m (1;2)y 1 0 M thu c đo n BC Tìm t a đ đi m D sao cho
DB DC có giá tr nh nh t
Gi i:
+) Ta có vecto pháp tuy n c a AB AC l, n l t là: n1(1; 2) và n2 (2;1)
G i vecto pháp tuy n c a BC là n3( ; )a b v i a2b2 Khi đó tam giác 0 ABC cân t i A nên:
+) V i a b, ch n 1
1
a b
ta đ c n3 , suy ra ph ng trình (1; 1) BC: x y 1 0
B
T a đ đi m C là nghi m c a h
2
;
3
x
C
y
MB MC MC MB
+) V i ab, ch n a b 1 ta đ c n3(1;1), suy ra ph ng trình BC: x y 3 0
B
C
Trang 9Ta có 5
3
+) G i I là trung đi m c a BCI(0;3)
Ta có
DB DC DIIB DIIC DI DI IB IC IB ICDI IB ICDI
D u “=” x y ra khi DI(0;3) V y D(0;3)
Bài 9.Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i A, c nh BC n m trên đ ng th ng có
ph ng trình x2y 2 0 ng cao k t B có ph ng trình x , đi m ( 1;0)y 4 0 M thu c
đ ng cao k t đ nh C Xác đ nh t a đ các đ nh c a tam giác ABC
Gi i:
B
+) Ta có vecto pháp tuy n c a BC, đ ng cao k t B l n l t là: n1 (1; 2) và n2 (1; 1)
G i vecto pháp tuy n c a CM là n3( ; )a b v i a2b2 Khi đó tam giác 0 ABC cân t i A nên:
5 2
2 8 7 2 0 ( )( 7 ) 0
7
+) V i a b, ch n a 1;b 1 n3 cùng ph ng v i (1; 1) n2 (lo i) (1; 1)
+) V i a 7b, ch n a7;b 1 n3(7; 1) , khi đó CM có ph ng trình: 7x y 7 0
V y t a đ đi m C là nghi m c a h
4
;
5
x
C
y
Khi đó ph ng trình AB AC l, n l t là: x7y12 và 50 x5y 3 0
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h
13
;
10
x
A
y
V y 13 19; , ( 2;2), 4 7;
Trang 10Bài 10 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân t i A, ph ng trình
BC x y , đ ng th ng AC đi qua đi m ( 1;1)M , đi m A n m trên đ ng th ng
:x 4y 6 0
Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC, bi t r ng đ nh A có hoành đ d ng
Gi i:
Cách 1: +) ng th ng BC có vecto ch ph ng uBC (1; 2)
G i AC có vecto pháp tuy n nAC ( ; )a b v i a2b2 Khi đó tam giác 0 ABC vuông cân t i A nên:
0
45
2 5
AC BC
3
+) V i 3a b, ch n 1
3
a b
nAC (1; 3) nAB(3;1)
V y AC đi qua ( 1;1)M có vecto pháp tuy n nAC nên có ph ng trình: (1; 3) x3y 4 0
A
T ng t ta có (3; 1)B và (5;3)C
+) V i a 3b, ch n 3
1
a b
nAC (3;1), suy ra ph ng trình AC: 3x y 2 0 Khi đó đi m A là nghi m c a h
14
;
13
x
A
y
(không th a mãn)
V y A(2;2), (3; 1), (5;3)B C
Cách 2: G i (4A t6; )t v i 3
2
t , suy ra MA(4t5;t1) Vì tam giác ABC vuông cân t i A nên :
2
BC
MA u
2(6t7)2 5(17t242t26)13t242t32 ho c 0 t 2 16
13
t (lo i) (2; 2)
A
A
T đó ta suy ra đ c (3; 1)B và (5;3)C
V y (2;2), (3; 1), (5;3)A B C
Trang 11Bài 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i A ng th ng AB và BC l n l t có
ph ng trình 7x6y24 và 0 x2y Vi2 0 t ph ng trình đ ng cao k t B c a tam giác
ABC
Gi i:
+) T a đ đi m B là nghi m c a h
3
3;
1
2
x
B
+) ng th ng AB BC l, n l t có vecto pháp tuy n n1(7;6), n2 (1; 2)
G i vecto pháp tuy n c a AClà n3 ( ; )a b v i a2b2 Do tam giác 0 ABC cân t i A nên:
+) V i 2a 9b, ch n 9 3 (9; 2)
2
a
n b
Suy ra ph ng trình đ ng cao k t Blà:
1
y x
+) V i 6a7b, ch n 7 3 (7;6)
6
a
n b
V y đ ng cao k t B có ph ng trình : 4 18x y 3 0
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Trang 125 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng