Vi t ph ng trình đ ng th ng BC... Vi t ph ng trình đ ng th ng AB.
Trang 1Bài 1 Trong m t ph ng t a đ , cho đ ng tròn , và đi m Vi t
ph ng trình đ ng th ng đi qua và c t t i và sao cho
Gi i:
+) ng tròn có tâm và bán kính
Ta có , suy ra n m ngoài đ ng tròn
G i là đ ng th ng c n l p và là hình chi u vuông góc c a trên
Lúc này ta s đi tính theo hai cách sau:
Cách 2: Ph ng tích c a đi m đ i v i đ ng tròn :
Suy ra
+) V i , ch n suy ra ph ng trình
V i , ch n suy ra ph ng trình
Oxy ( ) :T x2y26x2y 6 0 A(1;3)
2 5
IH
4
ABBCAH BH a
IH AH IA a a a a IH 2
A T
n( ; )a b 2 2
(a b 0) A(1;3)
a x b y ax by a b
7
a b
a b a b 1 :x y 4 0
7
1
a b
x y 4 0 7x y 100
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Ph ng pháp vi t ph ng trình đ ng th ng (d ng 1) thu c
khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th
n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2Bài 2. Trong m t ph ng t a đ , cho đ ng tròn n i ti p tam giác đ u
ng th ng đi qua đi m Hãy xác đ nh t a đ đi m
Gi i:
+) ng tròn có tâm và bán kính
trình:
G i là hình chi u c a trên và g i , khi đó (*)
Suy ra t a đ đi m là nghi m c a h :
Khi đó
Suy ra t a đ đi m là nghi m c a h :
qua c t đ ng th ng t i G i là hình chi u vuông góc c a lên tr c Vi t ph ng trình đ ng th ng , bi t kho ng cách t đ n b ng
Gi i:
Oxy ( ) : (T x1)2 (y2)2 5
2
2
7
2
a x b y ax by a b
2
2
2
1
a b
x y
H
(2;1)
IH
A
2
1
a b
x y
H
(2; 1)
IH
A
( 3;0)
A A( 3; 4)
Oxy :x y 2 0 M(3;0) '
'
5
Trang 3
+) G i (v i ) là vecto pháp tuy n c a , khi đó đi qua
nên có h ng trình :
+) Khi đó t a đ đi m là nghi m c a h :
Do là hình chi u vuông góc c a trên
+) Ta có:
+) V i ch n ta đ c ph ng trình :
V i ch n ta đ c ph ng trình :
Bài 4 Trong m t ph ng t a đ , cho hình thang vuông đ nh có di n tích b ng 50, đ nh
Vi t ph ng trình đ ng th ng không song song v i các tr c t a đ
Gi i:
Do không song song v i các h tr c t a đ nên ta g i (v i ) là vecto pháp tuy n
c a , suy ra vecto pháp tuy n c a là
( ; )
0
ax by a
A
;
2 0
x
A
y
a b
a b
a b
2
a b
2a ab2b 0
2 ,
1
a b
' 2x y 6 0
2
a b
'
2x y 6 0 x2y 3 0
(2; 5)
2
( 3;5)
3
Trang 4Khi đó đi qua nên có ph ng trình
đi qua nên có ph ng trình
+) Ta có:
M t khác , suy ra :
Nh n xét: bài toán trên thay vì g i vecto pháp tuy n theo 2 n nh các bài toán quen
thu c chúng ta đã làm, thì trong bài toán này ta đã “linh hoat” g i theo m t n nh d
ki n đ ng th ng không song song v i các tr c t a đ
Bài 5 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD ngo i ti p đ ng tròn ( )T có ph ng trình
(x2) (y 3) Xác đ nh t a đ các đ nh c a hình vuông, bi t đ ng th ng ch a c nh 10 AB đi qua
đi m M( 3; 2) và đi m A có hoành đ d ng
Gi i:
+) ng tròn ( )T có tâm I(2;3) và bán kính R 10
+) G i AB có vecto pháp tuy n nAB ( ; )a b 2 2
(a b , do 0) AB đi qua ( 3; 2)M nên có ph ng trình:
a x( 3) b y( 2) 0 ax by 3a2b0, khi đó do AB ti p xúc v i ( )T nên ta có:
3 2 10 3 2 0 ( 3 )(3 ) 0 3
3
2
1
2
x by
( , ) 3 ( , ) ( , )
2 ( , ) ( , )
ABCD
50
ABCD
5 5
5 10 2
b b
d C AB d C AD
2
4 3
3 4
b b
b
b AB x y AB: 6x8y 3 0
b AB x y AB: 4x3y 2 0
AB 6x8y 3 0 4x3y 2 0
( ; )
(1; )
AB
AB
Trang 5+) V i a , ch n 3b 3
1
a b
suy ra ph ng trình AB: 3x y 7 0
G i A t t( ;3 7) AB v i t , khi đó : 0
2
t
t
(lo i – không th a mãn t ) 0
+) V i 3a , ch n b 1
3
a b
suy ra ph ng trình AB x: 3y 3 0
Do IA2 IB2 2R2 20, nên A B thu, c đ ng tròn tâm I(2;3) bán kính 20
Suy ra t a đ đi m A B, là nghi m c a h :
(6;1) (0; 1)
A B
(do xA ) 0
M t khác I là trung đi m c a AC và BD nên suy ra C( 2;5), (4;7) D
V y A(6;1), (0; 1), ( 2;5), (4;7)B C D
đ c t t i hai đi m phân bi t A và B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t
Gi i:
+) ng tròn ( )C có tâm I( 2; 2) và bán kính R 2IA IB
2
IAB
S IAIB AIB = sin AIB 1 Suy ra di n tích tam giác IAB l n nh t b ng 1, khi sin AIB = 1 AIB = 0
90 IAB vuông cân t i I
+) G i H là hình chi u vuông góc c a I trên , khi đó:
2
IA
m
2
0
15
m
m
+) V y m ho c 0 8
15
m
( ) : (C x1) (y 2) và đi m 5 M(6; 2) Ch ng minh r ng M n m ngoài đ ng tròn và vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M và c t ( )C t i hai
đi m A B, sao cho MA2MB2 50
Gi i:
+) ng tròn ( )C tâm I(1; 2) và bán kính R 5 Ta cóIM 5 5 , suy ra R M n m ngoài đ ng tròn
( ) :C x y 4x4y 6 0
( )C
Trang 6+) Ta có ph ng tích c a đi m M đ i v i đ ng tròn ( )C :
PM C/( ) MAMB MI2R2 25 5 20 V y MAMB 20
G i H là hình chi u vuông góc c a I trên Khi đó ta có:
MA2MB2 50(MA MB )22MAMB 50(MA MH HB)22.2050
+) G i véct pháp tuy n c a là n( ; )a b 2 2
(a b , do 0) đi qua (6;2)M nên có ph ng trình:
(a x 6) b y( 2) 0 ax by 6a2b0, khi đó :
2
3
a b
+) V i 3a , ch n b 1
3
a b
suy ra ph ng trình :x3y120
V i 3a , ch n b 1
3
a b
suy ra ph ng trình :x3y0
V y ph ng trình đ ng th ng c n l p là : x3y120 ho c x3y0
Bài 8 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 3) , B(5;1) i m M n m trên đo n
th ng BC sao cho MC2MB Tìm t a đ đi m C bi t r ng MA AC và đ ng th ng BC có h s 5 góc là m t s nguyên
Gi i:
+) G i H là hình chi u vuông góc c a M trên AC, khi đó H là trung đi m c a MC
t BMMHHC Xét tam giác x 0 ABH ta có: AH2 AM2MH2 25 x2
Khi đó xét tam giác AMH ta có:
AB2 AH2HB2 5225 x2 (2 )x 2 x2 9 AH2 16AH 4
+) G i nBC ( ; )a b là vecto pháp tuy n c a BC (v i a2b2 0)
Khi đó BC đi qua (5;1)B có ph ng trình: ax by 5a b 0
0
a
+) V i a , ch n 0 b ta đ c ph ng trình :1 y 1 0
Vì AM AC nên 5 C M, thu c đ ng tròn tâm A bán kính là 5 có ph ng trình:
(x1) (y 3) 25
Khi đó t a đ đi m C M, là nghi m c a h :
Trang 71 02 2 2; 1 (2;1), ( 4;1)
4; 1 ( 4;1), (2;1)
Do M thu c đo n th ng BC nên ta đ c C( 4;1)
+) V i 5a 12b ta có h s góc c a đ ng th ng BC là 12
5
k (lo i) V y C( 4;1)
Bài 9 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng tròn 2 2
( ) :C x y 4x2y có tâm 15 0 I ng
th ng đi qua M(1; 3) và c t ( )C t i hai đi m A B, L p ph ng trình đ ng th ng , bi t di n tích
tam giác IAB b ng 8 và AB là c nh l n nh t c a tam giác IAB
Gi i:
+) ng tròn ( )C có tâm (2; 1)I và bán kính R2 5
IAB
3 cos
5 3 cos
5
AIB AIB
Ta có AB l n nh t khi góc AIB l n nh t cos 3
5 AIB
+) G i véct pháp tuy n c a là n( ; )a b 2 2
(a b , do 0) đi qua M(1; 3) nên có ph ng trình:
a x( 1) b y( 3) 0 ax by a 3b0
G i H là hình chi u vuông góc c a I trên , khi đó:
AH 4 IH IA2AH2 2
d I
( 2 )2 4( 2 2) 3 2 4 0 0
a
+) V i a , ch n 0 b ta đ c ph ng trình 1 : y 3 0
+) V i 3a4b, ch n 4
3
a b
ta đ c ph ng trình : 4x3y 5 0
V y ph ng trình c n l p là: y 3 0 ho c 4x3y 5 0
CHÝ Ý: Ngoài cách tìm IH theo cách gi i trên các b n có th tìm b ng cách sau:
t IH m AH 20m2 AB2 20m2 ( v i 0 m 2 5), khi đó:
IAB
AB l n nh t suy ra m hay 2 IH2
Bài 10.Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn ( )T có ph ng trình x2y26x2y 6 0 và
Trang 8đi m L p ph ng trình đ ng th ng đi qua và c t ( )T t i hai đi m sao cho kho ng cách
gi a hai đi m đó b ng đ dài c nh c a hình vuông n i ti p đ ng tròn ( )T
Gi i:
+) ng tròn ( )T có tâm I(3; 1) và bán kính R4
Do A( )T nên g i ABCD là hình vuông n i ti p đ ng tròn ( )T
Suy ra AC2R8 4 2
2
AC BC
+) G i véct pháp tuy n c a là n( ; )a b 2 2
(a b , do 0) đi qua A(3;3) nên có ph ng trình:
a x( 3) b y( 3) 0 ax by 3a3b0
G i H là hình chi u vuông góc c a I trên , khi đó: 2 2
2
BC
+) V i a , ch n b a ta đ c ph ng trình b 1 :x y 6 0
+) V i a , ch n b a 1;b 1 ta đ c ph ng trình :x y 0
V y có ph ng trình x y 6 0 ho c x y 0
Bài 11 Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD Các đi m
( 2; 2), (4; 2), (3; 1), (0; 2)
M N P Q l n l t thu c các đ ng th ng AB BC CD DA, , , Xác đ nh t a đ các
đ nh c a hình vuông ABCD
Gi i:
G i n( ; )a b ( a2b2 0) là vecto pháp tuy n c a đ ng th ng AB Khi đó :
Ph ng trìnhAB ax by: 2a2b0 Ph ng trình AD bx ay: 2a0
Do ABCD là hình vuông nên ta có:
d P AB d N AD
+) V i a , ch n b a 1,b 1 Khi đó ta đ c ph ng trình các đ ng th ng:
AB x: y 4 0 ; AD x: y 2 0 ; BC x: y 6 0 ; CD x: y 4 0
(3;3)
Trang 9Suy ra t a đ các đ nh: A( 3;1), (1;5), (5;1), (1; 3) B C D
+) V i 9a 7b, ch n a 9,b7 Khi đó ta đ c ph ng trình các đ ng th ng:
AB: 7x9y 4 0 ; AD: 9x7y140 ; BC: 9x7y220 ; BC: 7x9y120
Suy ra t a đ các đ nh: 77; 31 , 113; 59 , 141; 23 , 21 1;
Bài 12.Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, và hai
đ ng chéo AC và BD vuông góc v i nhau Bi t A(0;3), (3; 4)B và đi m C thu c tr c hoành Tìm t a
đ đ nh D c a hình thang ABCD
Gi i:
G i C c( ;0)Ox, khi đó ph ng trình AC có d ng: 3x cy 3c0
Do BD đi qua B(3; 4) và vuông góc v i AC , nên BD có ph ng trình: cx3y 3c 120
Do ABCD là hình thang cân nên ta có:
6
2
c
d A BD d B AC
c
+) V i c thì 6 C(6;0), khi đó ph ng trình BD: 2x y 2 0 và ph ng trình CD x: 3y 6 0
Suy ra t a đ đi m D là nghi m c a h 2 2 0 0 (0; 2)
D
2
c thì 3; 0
2
C
, khi đó ph ng trình BD x: 2y 11 0 và ph ng trình 3
2
CD x y
Suy ra t a đ đi m D là nghi m c a h
5 6;
2
D
Mà ABCD là hình thang nên ta có ABkDC v i k nên 0 D(0; 2) th a mãn yêu c u
V y D(0; 2)
Bài 13 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có đ nh A thu c đ ng th ng
:x y 4 0
, đ ng th ng BC đi qua đi m M(4;0), đ ng th ng CD đi qua đi m N(0; 2) Bi t tam giác AMN c n t i A Vi t ph ng trình đ ng th ng BC
Gi i:
Trang 10
+) G i A t t( ; 4) , khi đó tam giác AMN cân t i A nên :
AM AN 2 2
(t 4) (t 4) t (t 6) t 1 A( 1; 5)
+) G i vecto pháp tuy n c a BC là nBC ( ; )a b , khi đó BC đi qua (4;0)M nên có ph ng trình :
(a x 4) by 0 ax by 4a (v i 0 2 2
0
a b ) Suy ra CD đi qua N(0; 2) và vuông góc v i BC nên có ph ng trình: bx ay 2a 0
+) Vì ABCD là hình vuông nên:
+) V i b , ch n 3a 1
3
a b
ta đ c ph ng trình BC : x3y 4 0
V i a3b, ch n 3
1
a b
ta đ c ph ng trình BC : 3x y 120
V y BC có ph ng trình x3y 4 0 ho c 3x y 120
Bài 14 Trong m t ph ng t a đ Oxy Vi t ph ng trình đ ng th ng ti p xúc v i đ ng tròn
1
1 ( ) : ( 1)
2
2
(C ) : (x2) (y2) 4 t i hai đi m ,M N sao cho
2 2
MN
Gi i :
+) ng tròn (C có tâm 1) I1(1;0) và bán kính 1 1
2
R
ng tròn (C có tâm 2) I2(1;0) và bán kính R2 2
+) G i H là hình chi u vuông góc c a I trên 2 , khi đó 2
2
MN
+) G i đ ng th ng có d ng: ax by c 0
Trang 11Ta có
1
1 1
2
a c
d I
+) T
2
3
c
Tr ng h p c2b thay vào (1) ta đ c:
7
1
a
b
V i a , ch n 7b 7 2 : 7 2 0
1
a
b
3
thay vào (1) ta đ c:
2
7 3
a b
a b
1
a
b
7
a
b
V y có ph ng trình x y 2 0, 7x y 2 0, x y 2 0 ho c x7y 6 0
Bài 15 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích
b ng 16, các đ ng th ng AB BC CD DA l, , , n l t đi qua các đi m M(4;5),N(6;5), (5; 2), (2;1)P Q Vi t
ph ng trình đ ng th ng AB
Gi i:
+) G i AB có vecto pháp tuy n nAB ( ; )a b v i a2b2 0
Khi đó AB đi qua (4;5)M nên có ph ng trình: ax by 4a5b 0
Do BCAB và BC đi qua đi m N(6;5) nên BC có ph ng trình: bx ay 5a6b0
Trang 12
3
1
a
AB x y b
3
a
b
V y AB có ph ng trình x y 1 0 ho c x3y 11 0
Bài 16 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn 2 2
1
(C) :x y 13, đ ng tròn
2
(C ) : (x6) y 25 G i giao đi m có tung đ d ng c a (C và 1) (C là 2) A Vi t ph ng trình
đ ng th ng đi qua A, c t (C và 1) (C theo hai dây cung có đ dài b ng nhau 2)
Gi i:
+) ng tròn (C có tâm 1) O(0;0) và bán kính R1 13
ng tròn (C có tâm 2) I(6;0) và bán kính R2 5
T a đ giao đi m c a (C ,1) (C là nghi m c a h : 2)
Do A có tung đ d ng nên suy ra (2;3)A
+) G i có vecto pháp tuy n n( ; )a b v i a2b2 0 , đi qua A(2;3) nên có ph ng trình:
a x( 2) b y( 3) 0 ax by 2a3b0
+) G i H , K l n l t là hình chi u vuông góc c a O I, trên
G i M N, l n l t là giao đi m th hai c a v i đ ng tròn (C ,1) (C 2)
AMANAH AKAH AK OA OH IA IK
3
b
+) V i b , ch n 0 a , suy ra ph ng trình :1 x 2 0
V i b , ch n 3a 1
3
a b
, suy ra ph ng trình :x3y 7 0
V y có ph ng trình x ho c 2 0 x3y 7 0
Bài 17 Trong m t ph ng t a đ Oxy Vi t ph ng trình b n c nh c a hình vuông không song song v i
các tr c t a đ , có tâm O và hai c nh k l n l t đi qua M( 1; 2) và N(3; 1)
Gi i:
Trang 13
+) G i hình vuông ABCD th a mãn đi u ki n đ bài
Không m t tính t ng quát gi s AB BC, l n l t đi qua M( 1; 2) và N(3; 1)
+) G i vecto pháp tuy n c a AB là n( ; )a b v i 0
0
a b
(do 4 c nh hình vuông không song song v i các tr c t a đ )
Khi đó ph ng trình AB: a x( 1) b y( 2) 0 ax by a 2b0
ph ng trình BC b x: ( 3) a y( 1) 0 bx ay 3b a 0
+) Do ABCD là hình vuông nên:
V i 2a , ch n b 1
2
a b
, khi đó AB: x2y 5 0 và BC: 2x y 5 0
B
Do O là trung đi m c a BD nên D( 1; 3)
T đó ta suy ra ph ng trình CD x: 2y 5 0 và AD: 2x y 5 0
V y AB: x2y 5 0; BC: 2x y 5 0; CD x: 2y 5 0 và AD: 2x y 5 0
Bài 18 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn 2 2
( ) :C x y 2x2y23 và đi m 0 M(7;3)
Vi t ph ng trình đ ng th ng qua M c t ( )C t i hai đi m phân bi t A B, sao cho MA3MB
Gi i:
+) ng tròn ( )C có tâm (1; 1)I , bán kính R Ta có 5 MI 52 R M n m ngoài đ ng tròn
( )C
Theo ph ng tích c a đi m M v i đ ng tròn ( )C ta có: