Bài 1.M t cái h p đ ng 3 viên bi đ và 7 viên bi xanh L n l t l y 2 viên bi t h p đó (m i l n 1 viên bi ) H i có bao nhiêu cách l y, đ l n l y viên bi th hai là viên bi xanh
Gi i:
Tr ng h p 1: L n 1 l y đ c viên bi đ và l n 2 l y đ c viên bi xanh, s cách l y: 3.7 21 (cách)
Tr ng h p 2: L n 1 l y đ c viên bi xanh và l n 2 l y đ c viên bi xanh, s cách l y: 7.6 42
(cách)
V y s cách l y th a mãn đi u ki n bài toán là: 21 42 63 (cách)
Bài 2. Có bao nhiêu s t nhiên ch n, g m 5 ch s đôi m t khác nhau và ch s chính gi a luôn là 2
Gi i:
G i s t nhiên có 5 ch s th a mãn đi u ki n đ bài có d ng: 2ab cd
Theo yêu c u bài toán, suy ra d0; 4;6;8
Tr ng h p 1: d , khi đó 20 ab c có s cách ch n là: 3
8 336
(ch n 3 s a b c, , t 8 s 1,3,4,5,6,7,8,9 và có quan tâm t i th t )
Tr ng h p 2: d4;6;8: 3 cách ch n, khi đó:
a có 7 cách ch n , 2b c có A72 42 cách ch n
Suy ra có 3.7.42882 (s ) trong tr ng h p 2
V y s các s th a mãn bài toán là: 336 882 1218 s
Bài 3 Trong kì thi THPT Qu c Gia n m 2016, m i thí sinh có th d thi t i đa 8 môn : Toán, Lí, Hóa, Sinh, V n, S , a và Ti ng Anh M t tr ng đ i h c d ki n tuy n sinh d a vào t ng đi m c a ba môn trong kì thi chung và có ít nh t m t trong hai môn là Toán ho c V n H i tr ng đ i h c đó có bao nhiêu
ph ng án tuy n sinh
Gi i:
Cách 1 (Tr c ti p)
Tr ng h p 1: Trong 3 môn thi có 1 Toán, 1 V n và 1 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: 1 1 1
1 1 6 6
Tr ng h p 2: Trong 3 môn thi có 1 Toán và 2 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: 1 2
1 6 15
Tr ng h p 3: Trong 3 môn thi có 1 V n và 2 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: 1 2
1 6 15
V y tr ng đ i h c có 6 15 15 36 ph ng án tuy n sinh
Cách 2 (Gián ti p)
S cách ch n 3 môn tùy ý t 8 môn là: 3
8 56
S cách ch n 3 môn không có Toán và V n là: 3
6 20
V y tr ng đ i h c có 56 20 36 ph ng án tuy n sinh
Bài 4 Trong m t ph ng cho 8 đi m, trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng H i :
1.Có bao nhiêu đo n th ng n i li n t các đi m đó
QUY T C I M ậ CÁC CÔNG TH C M NHANH
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Quy t c đ m – các công th c đ m nhanh thu c khóa
h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocm ai.vn có th n m
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian
Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
2.Có bao nhiêu tam giác mà đ nh là các đi m đó
3.N u 8 đi m trên t o thành m t đa giác l i 8 c nh thì s đ ng chéo là bao nhiêu
Gi i:
1. ng v i 2 đi m luôn t o cho ta 1 đo n th ng, do đó s đo n th ng c n l p chính là s cách ch n 2 đi m
t 8 đi m không quan tâm t i th t Do đó, s đo n th ng t o thành là: 2
8 28
2. ng v i m i 3 đi m b t kì không th ng luôn t o cho ta 1 tam giác Do đó, s tam giác t o thành:
3
8 56
C
3.V i 8 đ nh c a đa giác l i, ta t o đ c 2
8
C đ ng th ng (m i đ ng th ng đi qua 2 đ nh c a đa giác)
Trong C82 đ ng th ng này bao g m s c nh c a đa giác ( 8 c nh) và s đ ng chéo
Do đó s đ ng chéo c a đa giác l i 8 c nh là : 2
8 8 20
Chú ý:
S đo n th ng đ c t o thành t n đi m (không có 3 đi m nào th ng hàng) là: 2
n
C
S tam giác đ c t o thành t n đi m (không có 3 đi m nào th ng hàng) là: 3
n
C
S đ ng chéo trong m t t giác l i n đ nh ( n c nh) là: 2 2 3
2 n
C n
Bài 5 M t l p h c có 10 h c sinh nam và 15 h c sinh n Trong đ i h i chi b c a l p, giáo viên ch
nhi m c n ch n ra 3 h c sinh làm cán b l p g m m t l p tr ng, m t l p phó và m t bí th Giáo viên
ch nhi m có bao nhiêu cách ch n mà th kí ph i là h c sinh n và cán b l p ph i có nam
Gi i:
S cách ch n 1 n làm th kí: 1
15 15
Vi c ch n 2 b n làm l p tr ng, l p phó, x y ra các tr ng h p sau:
Tr ng h p 1: Ch n 1 nam, 1 n và hai ng i này có th hoán đ i ch c v (lúc này còn l i 14 n )
S cách ch n là: 1 1
10 14
2.C C 280
Tr ng h p 2: Ch n 2 nam và hai ng i này có th hoán đ i ch c v
S cách ch n là: 2
10
2.C 90
Suy ra s cách ch n 2 b n làm l p tr ng, l p phó là: 280 90 370
V y s cách ch n th a mãn đi u ki n bài toán là: 15.370 5550
( 1)!
M
n
, bi t r ng: 2 2 2 2
1 2 2 2 3 4 149
n
Gi i:
i u ki n n 3*
n
Ta có 21 2 2 2 2 2 3 2 4 149 ( 1)! 2( 2)! 2 ( 3)! ( 4)! 149
2!( 1)! 2! ! 2!( 1)! 2!( 2)!
( 1) ( 1)! ( 2)( 1) ! ( 3)( 2).( 1)! ( 4)( 3)( 2)! 149
( 1) ( 2)( 1) ( 3)( 2) ( 4)( 3) 149
3
9
n n n
n
Khi đó 64 3 53 3
M
Bài 7.Có 5 hành khách lên m t toa tàu g m 4 toa, m i toa đ u có ít nh t 5 ch (các toa đ c đánh s th
t : toa 1, toa 2…) H i có bao nhiêu cách lên tàu c a nh ng hành khách trên, sao cho không có đúng 3
hành khách nào lên cùng 1 toa
Gi i:
Trang 3 M i khách có 4 cách ch n toa tàu, do đó s kh n ng ch n toa c a 5 hành khách m t cách b t kì
là:
5
4.4.4.4.44 1024
Ta s đi tính s cách x p 3 hành khách lên cùng 1 toa
S tr ng h p 3 khách lên cùng 1 toa t ng ng v i s cách phân tích: 3 2 3 1 1
Tr ng h p 1: Có 1 toa 3 khách và 1 toa 2 khách
+) 3 khách lên cùng 1 toa, s cách: 3
5
C ; s cách ch n t a cho 3 khách này là: 4
+) S cách x p cho 2 khách còn l i lên 1 toa: 3
Suy ra s cách x p cho tr ng h p 1 là: 3
5.4.3 120
Tr ng h p 2: Có 1 toa 3 khách và 2 toa m i toa 1 khách
+) 3 khách lên cùng 1 toa, s cách: 3
5
C ; s cách ch n t a cho 3 khách này là: 4
+) S cách x p cho 2 khách còn l i lên 3 toa (1 khách 1 toa): 2
3
A Suy ra s cách x p cho tr ng h p 2 là: 3 2
5.4 3 240
C A (cách)
V y s cách ch n th o mãn đi u ki n bài toán là: 1024 (120 240) 664 (cách)
Bài 8.T các ch s 0,1, 2,5, 7,9 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên chia h t cho 6 mà s đó có 5 ch
s khác nhau
Gi i:
Vì s chia h t cho 6 thì đ ng th i ph i chia h t cho 2 và 3
S c n tìm chia h t cho 2 nên có d ng abcd 0 ho c abcd 2
Tr ng h p 1: S có d ng abcd 0 , khi đó abcd0 3a b c d 3
M t khác a b c d, , , {1, 2,5, 7,9} và 1 2 5 7 9 24 3
Nh v y ta c n lo i đi 1 ch s chia h t cho 3 trong t p {1, 2,5, 7,9}, suy ra s c n lo i là 9
V y a b c d, , , đ c ch n t t p {1, 2,5, 7}, v y có 4! 24 s th a mãn tr ng h p này
Tr ng h p 2: S có d ng abcd 2 , khi đó abcd2 3a b c d 2 3
Suy ra a b c d chia 3 d 1
M t khác a b c d, , , {0,1,5, 7,9} và 0 1 5 7 9 22 chia 3 d 1
Nh v y ta c n lo i đi 1 ch s chia h t cho 3 trong t p {0,1,5, 7,9}, suy ra s c n lo i là 0 ho c 9
V i a b c d, , , đ c ch n t t p {1,5, 7,9}, s cách l p 4! 24 (s )
V i a b c d, , , đ c ch n t t p {0,1,5, 7}, s cách l p 3.3! 18 (s )
V y có 24 18 42 s th a mãn tr ng h p này
Suy ra có 24 42 66 s th a mãn đi u ki n bài toán
Bài 9 Có bao nhiêu s có b n ch s có d ng abcd sao cho a b c d
Gi i:
Tr ng h p 1: a b c d
Khi đó ta c n ch n 4 ch s a b c d, , , phân bi t t 9 ch s 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9
ng v i b 4 s ( , , , )a b c d ta ch có th t o ra đ c 1 s abcd th a mãn a b c d
Do đó s cách ch n là: 4
9 126
Tr ng h p 1: a b c d
Khi đó ta c n ch n 3 ch s a b c, , phân bi t t 9 ch s 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9
ng v i b 3 s ( , , )a b c ta ch có th t o ra đ c 1 s abcd th a mãn a b c d
Do đó s cách ch n là: 3
9 84
V y có 126 84 210 s th a mãn đi u ki n bài toán
Trang 4Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian
Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
Bài 10 T m t nhóm g m 15 h c sinh kh i A, 10 h c sinh kh i B và 5 h c sinh kh i C Ch n ra 15 h c sinh tr c nh t sao cho ít nh t có 5 h c sinh kh i A và có đúng 2 h c sinh kh i C
Nh n xét:
Bài toán này n u ti p c n theo cách tr c ti p, ta s ph i chia khá nhi u tr ng h p Khi đó, ta ngh t i cách làm gián ti p C th :
Gi i:
S cách ch n 2 h c sinh kh i C là: 2
5 10
Thay vì đi tính s cách ch n 13 h c sinh t hai kh i A và B, trong đó ít nh t có 5 h c sinh kh i A, ta s
đ m s cách ch n sao cho có ít h n 5 h c sinh kh i A Khi đó x y ra hai tr ng h p:
Tr ng h p 1: Ch n 4 h c sinh kh i A và 9 h c sinh kh i B, s cách ch n là: 4 9
15 10 13650
Tr ng h p 2: Ch n 3 h c sinh kh i A và 10 h c sinh kh i B, s cách ch n là: 3 10
15 10 455
S cách ch n tùy ý 13 h c sinh t hai kh i A và B là: C13255200300
V y s cách ch n 13 h c sinh t hai kh i A và B, trong đó ít nh t có 5 h c sinh kh i A là:
5200300 (13650 455) 5186195
V y s cách ch n th a mãn bài toán là: 10.5186195 51861950
Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Trang 55 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng