BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ THẦY LÊ ANH TUẤN

Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 7 3 y x 3 y x CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Đây là tài liệu tóm lược các kiến thư

Bài 1 Cho

2 2

1

y x

 



  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có hoành độ bằng 1

Giải

Ta có

2 2 2

'

y

x



 Lần lượt thay x1 vào các biểu thức của y và y', ta được   1

' 1

8

  1

1

4

y  Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:

Bài 2 Cho 3 2

yx  x  x  C Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của

 C với trục hoành

Giải

Từ phương trình của  C , cho y0 ta được:

3 2

x  x  x     2

x x   2

1

x x

 



  

Suy ra  C có hai giao điểm với trục hoành là M12;0 và M21;0

y  x  x suy ra y'  2 1, y'  1 0 Do đó phương trình tiếp tuyến với  C tại các điểm

1

M , M2 lần lượt là:

1:y 1 x 2 0

2:y 0 x 1 0

Bài 3 Cho 2 3 2 2 2

3

y x x  x  C Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C

Giải

Ta có

 0

0 0

2x 2x  2 2  2

0 0 2 0

0

1 2

x x

 



 

1 3

y   ,   2

2 3

y   Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1

7

3

y x

3

y x

CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Các bài toán về tiếp tuyến thuộc khóa học Luyện thi

THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần

này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

(Bài tập tự luyện dung chung cho cả 2 phần)

 

2

2

3

y x

3

y x

Bài 4 Cho 3 5 2

4

yx  x  C và 2

2

yx  x  C Chứng minh '  C và  C tiếp xúc nhau và viết ' phương trình tiếp tuyến chung

Giải

4 2

f x x  x và   2

2









Ta có  I 

'

'

5

4 5

4

     









3 2

4 2

0 5

4

x

   





1 2

x

Vậy  C và  C tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng ' 1

2

1

2

g

g

     

  



 

  



y x 

9 2 4

y x

Bài 5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A1; 2  và tiếp xúc với parabol 2

2

yx  x

Giải

Phương trình đường thẳng qua A1; 2  có hệ số góc k có dạng :yk x  1 2  :ykx k 2

Xét phương trình 2

x  k x k   1 (  2  

2

k k

 



 

 k  2  :y 2x 1 2  :y 2x

 k 2  :y2x 1 2  :y2x4

Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y 2x và y2x4

Bài 6 Cho 1

x y

x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách 1; 1

I  

10

Giải

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x (0 0 1

2

x   ) là:

:y y x' 0 xx0  y x0



0 0

1 3

:

x

x x







: 3x 2x 1 y 2x 4x 1 0

    

2 2

0

;

x

d I

Do đó:

;

10

0 4 0

10

x x





2x 1 10 2x 1  9 0   

2 0 2 0

x x







0 0

0

0

0 1 1 2

x x x x





  



 



 



 

0

0

1

y x

y x

 







  :y  3x 1

 

0

0

2

y x

y x

 





 

  :y 3x 1 2  :y  3x 5

 

0

0

1 '

3 0

y x

y x







3

 

0

0

1 '

3 1

y x

y x







3

Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x 1, y  3x 5, 1 1

y  x ,

y  x

Bài 7 Cho y4x36x21  C Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M 1; 9 của  C

Giải

Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng :yk x  1 9

 là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

 

3 2

2





Thế  2 vào  1 ta có:

4x 6x  1 12x 12x x 1 9  3 2

4x 3x 6x 5 0 

5 4 1

x x

 





 



4

x là nghiệm của  2 hoặc x 1 là nghiệm của  2

 Thay x 1 vào  2 ta có k24  :y24x 1 9  :y24x15

Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 21

y x , y24x15

Bài 8: Cho (C): y = 2x3 – 6x2 – 12x - 5 Viết PTTT biết:

a) Tiếp tuyến đó // với đt y = 6x – 4

3

y x

2

y  x góc 450

Lời giải:

a, Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 6x – 4 có dạng (d): y = 6x + b với b ≠ - 4

Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:

3 2

2







3

x

x

 





- Với x = -1 b = 5

- Với x = 3  b = - 59

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là : (d1): y = 6x + 5 và (d2): y = 6x – 59

3

y x sẽ có hệ số góc k = -3

Phương trình hoành độ tiếp điểm là:

1

2

2

2

x

x













2

x 

 là: y 3(xx1)y x( )1    3x 18 5 10

2

x  

là: y 3(xx2)y x( )2   3x (18 7 10)

c, Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm Theo giả thiết ta có:

0

1 2

1 2

2

1

3 2

k k













- Với k = 3 ta có phương trình hoành độ tiếp điểm:

1

2

2

2

x

x













2

x  

là y3(xx1)y x( )1

+ PTTT tại 2 2 14

2

 là y3(xx2)y x( )2

- Với k = -1 ta có pt hoành độ tiếp điểm:

3

4

18 954

18

x

x













18

3

y  xx y x

18

x  

3

y  xx y x

Bài 9: Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x3 + 3x2 trong đó

có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Lời giải:

Lấy M(m; 0) bất kì thuộc trục hoành Ox Đường thẳng đi qua M với hệ số góc k có phương trình

y = k(x – m) = kx – km tiếp xúc với (C)

3 2

2

x x kx km

x x k





Thế (2) vào (1) ta có: x3 + 3x2 = (3x2 + 6x)(x – m)

2

2

0

x







Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình g(x) = 2x2 + (3 – 3m)x – 6m = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 khác 0 sao cho k1.k2 = - 1 (k xác định theo x trong (2))

1 2 1 2

1 1 2 2

27 0

27

m

    



; 0 27

; 0 27

Bài 10: Cho (C): 3 1

3

x y x





 và M (C) Gọi I là giao 2 đường tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận tại

A và B Chứng minh

a M là trung điểm của AB

b SΔIAB không đổi

Lời giải:

a, Đồ thị (C) có TCN: (d1): y = 3 và TCĐ: (d2): x = 3  Tọa độ điểm I(3; 3)

Lấy điểm bất kì M 3 m;3 10 ( ),C m 0.

m

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

2

3

x





Dễ thấy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2)

Ta có:

2

1 2

2

m m

m



     ; y1 y2 102(x1 x2) 2 3 20 302 6 20 2y M

Vậy M là trung điểm của AB

b, Do tam giác IAB vuông tại I, mà M là trung điểm của AB nên ta có:

2

IAB

S IA IB d M d d M d m

m

Vậy diện tích tam giác IAB không đổi

Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Hocmai.vn

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng

 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực

 Học mọi lúc, mọi nơi

 Tiết kiệm thời gian đi lại

 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN

 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất

 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên

 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo

chương trình sách giáo khoa

(lớp 10, 11, 12) Tập trung

vào một số kiến thức trọng

tâm của kì thi THPT quốc gia

Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài

bản

Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng

thể

Là nhóm các khóa học tổng

ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia

1, 2 tháng

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN

 Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng

 Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực

 Học mọi lúc, mọi nơi

 Tiết kiệm thời gian đi lại

 Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN

 Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất

 Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên

 Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn

bộ kiến thức cơ bản theo

chương trình sách giáo khoa

(lớp 10, 11, 12) Tập trung

vào một số kiến thức trọng

tâm của kì thi THPT quốc gia

Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài

bản

Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng

thể

Là nhóm các khóa học tổng

ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia

1, 2 tháng