Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

Hà Tiến Ngoạn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các t

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ

vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

P h ạm T hị Hương

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Hà

Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i to á n

C a u c h y c h o h ệ p h ư ơ n g t r ì n h hyperbolic cấp m ộ t " được hoàn

thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

P h ạm T hị Hương

1.2 Biến đối Fourier

1.2.1 Biến đỗi Fourier trong khống gian Schwartz ổ?

1.2.2 Biến đỗi Fourier trong khống gian L2

1.2.3 Biến đỗi Fourier trong khống gian y

1.3 Toán tử làm t r ơ n

1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị

1.5 Khái niệm nửa n h ó m

1.5.1 Nửa nhóm

1.5.2 Toán tử sinh của, nửa n h ó m

1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach

1.5.4 Định lý Hille-Yosida

3

333

4 4455

6

77

2 H ệ phương trìn h hyperb olic với hệ số biến th iên và không

2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một 152.1.1 Đinh nghĩa 152.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh 172.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh 192.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 đối với hệ đối xứng 23

phương khả tích 232.2.2 Trường hợp đạo làm theo t của nghiệm khống bình

2.3 Bài toán Caưchỵ cho hệ phương trình đối xứng với đạo

hàm theo t của nghiệm thưộc c°([0, T] , L2)

2.3.1 Các tính chất của toán tử A

2.3.2 Bất đẳng thức năng lượng trong Ịj_

2828312.3.3 Định lỷ tồn tại dưỵ nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thưộc cũ([0,T\ , L 2) 312.4 Bài toán Caưchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo

hàm theo t của nghiệm thưộc c ° ([0, T] , Wg)

2.4.1 Các tính chất của toán tử Ẵì

2.4.2 Bất đẳng thức năng lượng trong

3232362.4.3 Định lỷ tồn tại dưỵ nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc c° ([0, T] , W j) 37

M ở đầu

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô

tả các quá trình truyền sóng khác nhau Song bài toán Cauchy đối với

hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với hai biến độc lập Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thường được xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình là

hằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t Việc tổng quan lý thuyết

trên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trường hợp khác nhau

Bố cục luận văn gồm hai chương

Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị, khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân trong không gian Banach

Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trình hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian, bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu

và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2]

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyper­bolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian

C hương 1

C ác kiến th ứ c chuẩn bị

1.1.1 K hông gian L 2

Đ ịnh nghĩa 1.1 Không gian L 2 (hay L 2 (M71)) là không gian gồm các

hàm u đo được và có chuẩn:

Đ ịnh nghĩa 1.2 Không gian ỗẽm (hay ỗẽm (Mn)) là không gian bao gồm

tấ t cả các hàm u(x) thỏa mãn D°u(x), |qí| < m liên tục và bị chặn trên

1.1.3 K hông gian S obolev

Đ ịnh nghĩa 1.3 Không gian (hay w2™ (M71)) là không gian bao

gồm tấ t cả các hàm u (z) G L2, sao cho D au (a:) G L 2 với mọi |a| < m

và được trang bị bởi chuẩn

IMIlV2m(Kn) = Ị Ị \Đau { x ) \ 2 d x \ (1 1 )

\\a\<mịn /

N hận x é t 1.2 Không gian là không gian Hilbert với tích vô hướng

Không gian [JK2m], là không gian đối ngẫu của W f

1.1.4 K hông gian c m ([ữ, b] , E )

Đ ịnh nghĩa 1.4 Giả sử E là không gian Banach Không gian c m ([ữ, b} , E)

gồm các hàm u (t ) xác định trên [ữ, 6], nhận giá trị trong E, khả vi liên tục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau

1.1.5 K hông gian 5? và 5?'

Đ ịnh nghĩa 1.5 Không gian 5? (hay (Mn)) là không gian véc tơ gồm

tấ t cả các hàm u (s) xác định trên Mn, khả vi vô hạn và thỏa mãn

với mọi đa chỉ số a, /3 G Nn, trong đó Xp = x ị 1 x ị 2 x^n.

Dãy (a;)}^°=1 c được gọi là hội tụ về 0 trong không gian nếu

dãy { x aD aípk (a:)}^°=1 hội tụ đều về 0 trên Mn

Đ ịnh nghĩa 1.6 Không gian y (hay y (Mn) là không gian vec tơ

gồm tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 5?.

Mỗi phần tử của không gian y được gọi là một hàm suy rộng tăng

1.2 B iế n đ ổ i Fourier

1.2.1 B iến đổi Fourier tron g không gian Schw artz y

Đ ịnh nghĩa 1.7 Cho u G y Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là

& u hay ủ (£), là hàm được xác định bởi

ịị) & [D%ú\ (£) = [ư] (£) với mọi đa chỉ số a.

Hi) D£ ^ [u] (£) = (—i ỷ a^ [xau\ (£) với mọi đa chỉ số a

iv) & [u * v] (£) = [it] (£) [v] (£), trong đó

được gọi là tích chập của hàm u và V.

Đ ịnh lý 1.2 Phép biến đổi Fourier & ỉà một đẳng cấu tuyến tính trên

5? với ánh xạ ngược chính ỉà phép biến đổi Fourier ngược

Đ ịnh lý 1.3 Dối vói mỗi u , v G ổ?, ta có các đẳng thức sau:

N hận x é t 1.3 Từ Định lí 1.3, chọn U = Vta nhận được

/ i « ( » ) i * d = / i ^ « ( f )i*de (1.7)

với mọi U G y Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parsevaỉ.

1.2.2 B iến đổi Fourier tron g không gian L 2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ

không gian Schwartz ổ? lên không gian rộng hơn L 2.

Giả sử U (æ) G L 2 D o y trù mật trong không gian L 2, vì vậy tồn tại

dãy {Uj (æ)}0! ! c ^ sao cbo

||itj (æ) — U (æ )||£2 —> 0 khi j —> 00.

Vậy dãy {Uj (æ )}°!=1 là dãy Cauchy trong L 2 Từ đây và do đẳng thức Parseval suy ra dãy {ûj (æ )}°!=1 cũng là dãy Cauchy trong L 2 Do L 2 là đầy đủ, nên dãy {ûj (æ)}0! ! hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu

là hay Ü (£) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm U (æ).

Đ ịnh lý 1.4 Cho U, V G L 2, khi đó ta có

J u ( X) W ) d * = Ị * u ( O J ^ W ) đ í (1 8)

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parsevaỉ trong L 2.

Khi cho u = V ta suy ra G L 2 Tương tự ta định nghĩa được phép biến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L 2.

Giả sử u(£,) G L 2 và {Uj ( 0 } ° l i c y bội tụ đến u ( trong L 2 . Nhờ

đẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {Uj (0 } ° li

là dãy {Uj đây là dãy Cauchy trong L 2 Do đó {Uj (s)} hội tụ

đến một hàm nào đó thuộc L 2 , kí hiệu hàm này là u (s) và được gọi là

phép biến đổi Fourier ngược của hàm u(£).

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 tương tự như các tính chất của biến đổi Fourier trong ổ?.

1.2.3 B iến đổi Fourier tron g không gian y

Đ ịnh nghĩa 1.9 Cho u G y Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là

hay ủ (£), là hàm được xác định bởi

(&u,ip) = (u, y ỳ ) , Vip G y

Đ ịnh nghĩa 1.10 Cho u G y Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kí

hiệu là y ~ 1u, là hàm được xác định bởi

(Ky ~ l u, lộ) = (it, ,Víp e y

Mục này mô tả phép toán xấp xỉ các hàm cho trước bởi hàm trơn

Giả sử tp (z) là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

i) tp (z) > 0, tp G giá của tp (a;) nằm trong hình cầu đơn vị: |a?| < 1, trong đó giá của hàm (p (a:) kí hiệu là supp<^, là tập hợp

Sau đó, lấy £ > 0 là một tham số và đặt

Chú ý rằng tpe (x) cùng thỏa man i) và ii), nhưng trong trường hợp này, giá của tpe (s) nằm trong hình cầu |s| < £ Bây giờ, cho u G Ljoc ta định

nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của tpe và u.

(a) ípe * U G c°°, tức là hàm khả vi vô hạn.

(b) Giá của ipe * u nằm trong miền £-lăn cận của giá của u.

(c) Khi U G cm và £ —> 0, ta có <pe * u —»■ u trong cm.

(d) Khi U G Lp,p > 1, ta có <pe * u —»■ u trong Ư

Từ trên ta thấy rằng ự>e* được xem như phép xấp xỉ các hàm bởi các

hàm trơn trong các không gian hàm khác nhau Tích chập này được đưa

vào đầu tiên bởi Friedrichs Ông gọi là toán tử làm trơn <pe*.

ở đó a là đa chỉ số, aa là các hàm số trơn xác định trên Mn.

Nếu thay thế D a ở công thức (1.10) bằng đơn thức £Q, (£Q = ■■■£“")thì ta được đa thức tương ứng sau

(1.11)

Đa thức p (z,£) được gọi là biểu trưng của toán tử p (a;, D )

Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:

Rn

ủ (£)

Khi hàm số p (X, £) không là đa thức theo biến £, ta có thể định nghĩa

toán tử giả vi phân p (x, D ) theo công thức sau

p {x, D ) u (x) = (27r)~ * J ei{xẰ)P {x, £) ủ (£) dC (1 12)

Mn

Hàm số p (a;, £) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân p (x,D).

V í d ụ 1.1 Khi p (x, £) = |£| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kí

V i du 1.2 Giä suf j € N, 1 < j < n lä co dinh vä bieu triftig P (x,£)

dufưc xac dinh bưi

D inh nghla 1.11 Cho E la mot khưng gian Banach, Tt , (t > 0) la ho

cac toan tut tuyen tinh bi chan tren E Khi dư ho Tt dufưc goi la ntia

1.5.2 Toan tu1 sinh cüa m ia nhưm

Cho tộn tut A co mien xac dinh (A) lä tap hưp D trong (1.17)

Tộn tut A cho bưi

Au = lim

i—>0 +

Tt t I

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tị.

N hận x é t 1.4 Toán tử sinh Ả là toán tử đóng có miền xác định 3 (A)

là trù m ật trong E, nhưng nói chung A không là toán tử bị chặn.

1.5.3 Phương trìn h vi phân tron g không gian B anach

Ta xét bài toán Cauchy sau

du (t )

dt = Au (t) ,t > 0, (1.19)

trong đó u0 e E , A là toán tử sinh của nửa nhóm Tị nào đó trên E.

Đ ịnh lý 1.6 Bài toán Cauchy (Ị1.19D, fll. 20|) có nghiệm duy nhất u ( t )

được cho bởi công thức

Cho A là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach E Tập

các A e c sao cho (XI — A)~l không tồn tại và bị chặn được gọi là phổ

của toán tử A.

Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính guy của toán tử A Nếu A thuộc tập chính quy của toán tử A thì (XI — A)~l được gọi là giải thức của A.

Đ ịn h lý 1.7 (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác định

trù mật trong E Giả sử tồn tại số thực ß sao cho với mọi X > ß, tồn tại giải thức (XI — A)~l của A thỏa mãn

||(A/ - A)~m|| < ^ , X > ß , m = 1,2,

Khi đó tồn tại một nửa nhóm Tị mà có toán tử sinh là A.

(1.22)

Chứng minh Cho A\ = Ả — Ị5I Từ (1 22) ta có

c

| | (A /-A 1) - " | | < ^ , A > 0 (1.23)

Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm Sị có toán

tử sinh là Aị, và nếu II »Si II < c , khi đó Tị = e ^ S t thỏa mãn điều kiện

T hật vậy, cho X G @ (A), ta có

(Jx — I) X = (1/A) JxA x —> 0 khi A —> +oo.

(1.26)(1.27)

Vì vậy từ II J A|| < c , (A) trù mật, do đó fll.27p đúng

Nói chung, khi A là toán tử bị chặn thì ta định nghĩa

Ai

^) = z f

3 = 0

Trong trường hợp này ta có

||exp (A) II < exp II A||

Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có

exp (A + B) = exp (A) exp (B ),

exp (t A ) = A exp (t A ) = exp (t A ) A.

Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với X € (A)

Ta có Jx, ( \ , h 0) la giao hoan, VI thc A J ị ị (— ị í ((7n — / ) ) va cxp (t A J x)

giao hoán Ta viết = exp (t A J x) Cho X € @ (A), ta có

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tị. Để làm được, ta

gọi A' là toán tử sinh của Tị và chỉ ra A' D A.

T hật vậy, cho A > 0, (XI — A') là một song ánh từ @ (A!) lên E Do

đó, (XI — A) cũng là một song ánh từ @ (A') lên E Vậy & (A)= (A').

Để chứng minh A' D A ta làm như sau Với X € & (A) ta có

Chứng minh tính duy nhất Cho Tị là một nửa nhóm bất kì có toán tử

sinh cực tiểu A Trong trường hợp này ta giả sử Tị chưa là một toán tử

C hương 2

H ệ phương trìn h h y p erb o lic với hệ

số biến th iê n và không phụ th u ộ c

Xét các nghiệm đặc trưng Xi (£) của

Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = z£i ± ¿6 ^ 2

Do đó ReAi 2 (£i) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5) Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic

P { A,£i) = det [AI - i & A i

Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic

Đ ịnh nghĩa 2 2 Hệ phương trình (Ị2.3D được gọi là hệ hyperbolic mạnh

du n ỡu

nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [it] = Z A k

ut fc=i <thì hệ vẫn là hyperbolic

d x k

Đ ịnh nghĩa 2.3 Hệ phương trình (2 T ) được gọi là hệ đối xứng nếu các

ma trận A k là các ma trận Hermitian, tức là (À k) T = A k, k = 1,2, .,n.

2.1.2 Đ iều kiện cần cho tín h h yperb olic m ạnh

Đ ịnh lý 2.1 Diều kiện cần để (Ị2.3Ị) ỉà hệ hyperbolic mạnh đó là các

n

nghiệm \ ị (£) của (2.4) đều là thực, và với £ € K" bất kì, X) Afc£fc là ma

k=1

trận chéo hóa được.

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra rằng với £* và Ai nào đó (ở đây ta giả

sử đó là Ai), nếu ImAi (£*) Ỷ 0; tính liên tục của nghiệm với giá trị ban

đầu không còn đúng T hật vậy, ta giả sử

— ImAi ( t ) = c > 0

Với ma trận B bất kì thì (2/2) tương đương với

p (A,z£) = p(A,z£) + avj (i£Ỵ \ j = 0.

IIII + j < m — 1

(2.8)

(2.9)

Cho A* (£) là nghiệm của (2.9) Ta xét

Uị (x, t ) = exp (A* (£) t) exp (i£x), £2; = £1^2 + + £nZn- (2.10)