Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

Brow­der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic, p.. Toán tử đơn điệu được sử dụng tron

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

===#T)tïïIoa===

v ũ T H Ị LOAN

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIÉN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẨN

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học Thạc

sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

V ũ T h i L o an

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của G S T S K H N g u y ễ n X u â n Tấn

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

V ũ T h i L o an

K ế t lu ậ n

T ài liệu th a m k h ảo

H : không gian Hilbert thực

l2 : không gian các dãy bình phương khả tổng

M" : không gian Euclide n-chiều

K" : ortan không âm trong M"

\x I : chuẩn của véc-tơ X

\X,y} : tích vô hướng của véc-tơ X và y

n , X : giao, hợp, tích Decart

F : u V : ánh xạ từ u vào V

B { u , r ) : hình cầu mở tâm u bán kính T

B{u,r) : hình cầu đóng tâm u bán kính r

V I { K , F) : bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi tập K và ánh xạ F

CP{K , F) : bài toán bù xác định bởi nón K và ánh xạ F

L C P { M , q) : bài toán bù tuyến tính xác định bởi ma trận M và véc-tơ

Q Sol{K, F) : tập nghiệm của V I { K , F) hoặc C P{K , F)

Sol{M,q) : tập nghiệm của L C P { M , q )

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

M ở đầu

Bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu đóng vai trò quan trọng,

có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống Những bài toán này được coi như những bài toán điển hình của bài toán cân bằng

Toán tử đơn điệu được nghiên cứu từ đầu những năm 1960 F Brow­der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic,

p Hartm an và G Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic, trong nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu và cân bằng Cho đến bây giờ toán tử đơn điệu tiếp tục là một đề tài được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Khái niệm toán tử giả đơn điệu được giới thiệu bởi s Karamardian,

là một mở rộng quan trọng của toán tử đơn điệu Tác giả đã chỉ ra rằng, một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn điệu Từ đó,

s Karamardian và s Schaible đưa ra một số khái niệm đơn điệu tổng quát như giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, và tựa đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ về tính đơn điệu của các toán tử tương ứng với tính đơn điệu của các hàm Nó cho thấy rằng toán tử giả đơn điệu là trường hợp đặc biệt của toán tử tựa đơn điệu Trong thập kỉ qua, sự tồn

tại nghiệm và phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và ứng dụng trong thực tế Sau khi được học những kiến thức về bất đẳng thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã chọn đề tài: “P h ư ơ n g p h á p h iệ u ch ỉn h T ik h o n o v cho b à i to á n b ấ t

đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n g iả đ ơ n đ iệ u ”

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân, đưa ra định nghĩa, các khái niệm liên quan, sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nó Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

3 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sự tồn tại nghiệm, phương pháp tìm nghiệm

4 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Tìm hiểu các bài báo đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và các sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu và ứng dụng của chúng trong việc giải phương trình, bất phương trình Tham gia các xemina

về giải tích phi tuyến liên quan đến các ánh xạ đơn điệu và giả đơn điệu

Sử dụng các phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các phương pháp của giải tích hàm.

5 Đ ó n g g óp m ới củ a lu ận văn

Luận văn trình bày tổng quan có hệ thống cùng với sự phân tích

về một số tính chất của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa ra phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

C hương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

Bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nhiều bài toán về lý thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bất đẳng thức biến phân Để dễ hình dung ta xét bài toán trong không gian M"

1.1 B ấ t đ ẳ n g th ứ c b iến p h â n và b ài to á n bù

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 ( Xem([12j, Định nghĩa 1.1)) Cho một tập con K khác rỗng của M" và ánh xạ F : K —>• M" Bài toán bất đẳng thức biến phân, được ký hiệu V I { K , F), là bài toán tìm UT~^ K sao cho

u ¥ được gọi là nghiệm của bài toán.

Tập hợp nhưng điểm u r~thỏa man (1.1) được gọi là tập nghiệm của

V I ( K , F) và được kí hiệu là Sol{K, F) Sau đây, ta luôn giả sử rằng K

là tập lồi đóng, khác rỗng và F là ánh xạ liên tục trên K.

Khi K là một nón (nghĩa là u b K thì T U b K với mọi vô hướng

T ^ 0) thì ta có bài toán sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 Cho nón ỉồi K và ánh xạ F : K —^ Mn Bài toán bù,

ki hiệu C P {K , F), ỉà bài toán tìm ú - K sao cho

F ( u ’) ; K \ {F {u’) , u ’> - 0, (1.2)

trong đó, K r là nón đối ngẫu của K , được định nghĩa

K* {d = R n/ { d , u ) ^ 0 , V u = K \ , (tức là K r bao gồm mọi véc-tơ d sao cho d tạo với véc-tơ u bất kỳ thuộc

K một góc không tù).

Nếu u ^ K và F[u) e K f thì u được gọi là véc-tơ chấp nhận được của

C P { K , F ) Nếu bài toán C P { K , F ) có một véc-tơ chấp nhận được thì

nó được gọi là có tính chấp nhận được

Khi F là ánh xạ affin, nghĩa là F{u) — M u + q với

và K — K" (trong trường hợp này K* — K "), CP{K , F) được gọi là bài toán bù tuyến tính L C P { M , q)\

u r’ ^ 0, M u + q ^ 0, ( M u r’ + q, u r’) — 0 (1.3)

Kết quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa V I { K , F) và CP{K , F).

M ệ n h đ ề 1 1 1 Cho K là một nón lồi trong Mn Khi đó, u"‘ là nghiệm của V I { K , F) khi và chỉ khi u r’ là nghiệm của C P [ K , F).

Chứng minh Đ iề u k iệ n c ầ n Giả sử u ¥ là nghiệm của V I { K , F ) , ro ràng u* t K Bằng cách lấy u — 0 t K , trong (L1) ta có

( F { u ¥), —u ¥} ^ 0.

Lấy u — 2u* e K , trong (1.1) ta được

< F ( tT ),tr> ^ 0,

Nói cách khác điều này cho thấy

(F{u*),u — u*y — {F{u r’),u} — ( F { u v) , u ‘) ^ 0, Vit t K.

'• - V - "

-0Tức là,

ự { u ) , u ) ^ 0,Vu fc

Vì vậy,

) £ ; r

Thế nên, u* là nghiệm của CP{K , F).

Đ iề u k iệ n đ ủ Giả sử íif là nghiệm của CP{K , F), ta có

Đ ịn h lý 1.2.1 ( Xem([lJ, Định lý Brouwer)) Cho K c_ Mn khác rỗng, compact và ỉồi, ánh xạ F : K —> K liên tục Khi ấy, F có một điểm bất động, tức là tồn t ạ i x - K ^ x — F{x).

suy ra

B ổ đ ề 1.2.1 ( Xem([lJ, Bổ đề 2.1)) Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian M" Khi đó với mỗi u b có duy nhất V b K sao cho

wbK Điểm V thỏa mãn

ự ( u ) , u - u } ^ 0 , V u ^ K Chứng minh Xây dựng ánh xạ ệ bằng cách với mỗi u t K đặt

ộ{u) PK (u - F[u)).

Ta có

ệ - K ^ K

Do F liên tục trên K và phép chiếu PK liên tục nên ệ liên tục Vậy theo

Định lý điểm bất động Brouwer tồn tại

u ’ — ệ { u ) Theo định nghĩa của ậ, thì

u ' — ộ{u~) — P k { u * — F{u*)).

Theo tính chất của hình chiếu và Định lý 1.2.2, ta có

[F{u¥) , u - u ¥y 0,Vu z K.

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm □

Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K không bị chặn, ví dụ nếu K — K thì bài toán

F{u){v — u) ^ 0, Vu e K, không có nghiệm khi F{u) — eu.

Tiếp theo định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

Cho tập lồi K 7^ 0 , đặt iCK = K n trong đó là hình cầu đóng

bán kính R và tâm o b M" Khi đó K R là tập compact Vậy theo Định

Giả sử U r e K r thỏa mãn I U r I < R, thì U r cũng là một nghiệm của bàitoán fll.ip.

T hật vậy, vì I U r I < R, cho V t K, w — U r T s{v — U r ) e K r với £ ^ 0 đủ

nhỏ Vì vậy

U r ^ K r ^ K : 0 ^ ( F[ u r ) , w - U r> - s (F{ ur ) , v - U r ) , V v K.

Điều này có nghĩa là U r là một nghiệm của bài toán (1.1) □

Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau

H ệ q u ả 1.2.2 ( Xem([lJ, Hệ quả 4.3))vế« F : K —> ■ M" thỏa mẫn

(F{u) - F{u0), u - u 0)

x>

\u — U q \ khi

u b K, \u I —> ■ f x ) ( 8)

với u0 nào đó thuộc K , thì tồn tại một nghiệm đối với bài toán (1.6)

1.3 T ín h đơn đ iệu và đơn đ iệu tổ n g q u át

Dưới đây ta chỉ ra rằng một trong những tính chất của toán tử đảm bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 ( Xem[10j) Ánh xạ F : K —> ■ Mn được gọi là:

(a) Dơn điệu nếu

\F{u) — F{v), u — v) ^ 0, Vĩí, V t K]

(b) Đơn điệu mạnh nếu 1I7 > 0 sao cho

\F{u) — F[ y) , u — v) ^ 7 |it — V |2, Vit, V t K ; Giả đơn điệu nếu

(.F{u),v — u) ^ 0 ( F { v ),v — u) ^ 0, mọi u , v ^ K]

(d) Giả đơn điệu mạnh nếu tồn tại 7 > 0 sao cho

M ệ n h đ ề 1.3.1 Cho K Mn lồi, đóng và F - K —> W1 liên tục.

(a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì V I ( K , F ) có nhiều nhất một nghiệm (b) Nếu F giả đơn điệu thì S o l { K , F ) lồi.

Chứng minh Giả sử F giả đơn điệu mạnh với vô hướng 7 > 0 và ù \ v r' e Sol{ K ,F ) Khi đó

\F{v*),u* — v r’} ^ 0 và {F{vr’) , v r’ — u r') ^ 7 l'a" — V* \2.

Từ đó suy ra 0 ^ 7 Iu* — v ụ |2 =ĩ u f' — v ụ Khẳng định (a) được chứng

T hật vậy, nếu U* e Sol{K, F) thì {F{uv),u — u ụ} 0 với mọi U e K Vì

F giả đơn điệu nên \F{u), u — u r') ^ 0, Vit t K Do đó, u* thuộc vế phải của đẳng thức trên Trái lại, giả sử u* thuộc vế phải của đẳng thức Lấy

u t K tùy ý, từ Tur' T (1 — t ) u t K với mọi r t (0, l),ta có

\ F [ tu T fl — t ) u ) , u — u~y ^ 0,Vt t (0, 1)

Cho T —> 1 ta được \ F { u T’),u — u r’} ^ 0 Do đó, u* Sol{K, F) Với mỗi

u e K thì tập (it* e K : ( F {u),u — u ụ) ^ 0} lồi và vì giao của các tập

Trong chứng minh Mệnh đề |l.3 l|(b) ta thấy nếu F liên tục và giả đơn điệu trên nón lồi K thì UT' e Sol{K, F) khi và chỉ khi

ự { u ) , u - u ) ^ 0,Vr¿ f= K.

Đây chính là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [lj, [1 1 ]

tắ t TRM) là một trong những phương pháp như vậy.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Vì bài toán đơn điệu có thể không có tính chất ổn định như bài toán đơn điệu mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Điều thú vị là sự nghiên cứu bài toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Xét bài toán V I { K , F ) trong không gian Mn Kí hiệu ánh xạ đồng nhất của Mn là I và đặt Fe — F + e l với mọi £ > 0 Để giải bài toán

V I { K , F ) , ta giải dãy bài toán V I { K , F£k) với là một dãy số thực

dương hội tụ tới 0 và F£k — F + ekF Với mỗi k b N, chọn một nghiệm

u k r- Sol{K, Fgk) và tính giới hạn lim u k Khi giới hạn tồn tại, ta có thể hi vọng nhận được nghiệm của V I { K , F) Để kết thúc quá trình tính toán sau một số hữu hạn bước và nhận được nghiệm xấp xỉ của V I ( K , F), ta

đưa ra tiêu chuẩn dừng Chẳng hạn, ta có thể kết thúc quá trình tính

toán khi |itfc — u k~l I ^ 6, với 6 > 0 là hằng số

Đ ịn h lý 2.1.1 ( Xem([5j, Định lý 2.2)) Giả sử rằng K M" là tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K M" là ánh xạ giả đơn điệu liên tục Nếu bài toán V I { K , F ) có nghiệm thì

(a) Sol{K, Fe) khác rỗng và compact với mọi £ > 0;

(b) Dãy {it(e)b với {it(e)f thuộc S o l{ K ,F e) hội tụ tới phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong Sol{K, F) khi £ crì;

(c) lim diamSol{K, Fe) — 0, với dỉa m ũ sup{ \u — v\ : u , v £ íì\ là eịo

đường kính của tập íì ^ M".

2.2 V ấn đ ề m ở liên q u an đ ến ph ư ơn g p h áp h iệu

ch ỉn h T ik h o n o v cho b ài to á n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iến

p h â n g iả đơn đ iệu

Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu

K ££ Mn là tập lồi, đóng, khác rỗng, F K —> W 1 là ánh xạ giả đơn điệu liên tục và bài toán V I { K , F ) có một nghiệm, khi đó có tồn tại £l > 0 sao cho ánh xạ Fe — F -\-£Ỉ là giả đơn điệu với mỗi (0, £i) hay không?