Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên

HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒ VŨ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HỒ VŨ

CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TpHCM

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Phư PGS.TS Lê Sĩ Đồng

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

Phản biện 2: TS Trần Minh Thuyết

Phản biện 3: TS Nguyễn Tiến Dũng

Phản biện độc lập 1: TS Trần Minh Thuyết

Phản biện độc lập 2: TS Trần Thanh Tùng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Đại học Khoa học Tự nhiên TpHCM vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

Tổng quan vấn đề

Phương trình vi phân mờ (Fuzzy differential equation) đã được nghiên cứu đầu tiênbởi Kaleva [20] dựa vào khái niệm đạo hàm Hukuhara Kaleva đã thiết lập nhữngkhái niệm cơ bản, chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchycho phương trình vi phân mờ dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiêncứu về sau Ngoài ra, trong cùng giai đoạn này, phương trình vi phân với điều kiệnđầu mờ cũng được nghiên cứu bởi Seikkla [44], Wang và Wu [48]

Trong gần một thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực phương trình vi phân mờ đã phát triểnhết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới Nhìn chung việcnghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm cho phương trình vi phân mờ dựavào khái niệm khả vi Hukuhara đã thu được khá nhiều thành tích đáng kể Chúng

ta có thể tham khảo các kết quả nghiên cứu đầy đủ hơn trong các cuốn sách chuyênkhảo [10, 47] Tuy nhiên khái niệm khả vi Hukuhara có nhược điểm là bán kính tậpmức của hàm khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian Vì vậy khái niệm khả viHukuhara không thích hợp để nghiên cứu các biểu diễn tiệm cận nghiệm hoặc cácbài toán biên tuần hoàn Để khắc phục nhược điểm trên, Bede và các đồng nghiệp[7] đã xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa trên hiệu Hukuharatổng quát Khái niệm này cho phép bán kính của tập mức của nghiệm có thể giảmtheo biến thời gian hoặc có thể tồn tại các điểm chuyển giữa các phần bán kínhtăng hay giảm Việc nghiên cứu các lớp hàm giá trị tập hoặc giá trị mờ dưới tínhkhả vi Hukuhara tổng quát đã tạo ra một số lĩnh vực nghiên cứu mới cho lý thuyếtphương trình vi phân mờ trong các không gian giải tích trừu tượng, đó là sự tồntại và tính duy nhất của các dạng nghiệm khi xét tính khả vi theo các nghĩa khácnhau, điểm chuyển giữa các dạng nghiệm, các điều kiện đủ để nghiệm khả vi theocác nghĩa khác nhau, Một số kết quả nghiên cứu đạt được gần đây có thể kể đếnnhư: Allahviranloo và các đồng nghiệp [1, 3, 4, 5, 6], Khastan và các đồng nghiệp[22, 23], Nieto và các đồng nghiệp [37, 38], Trong những năm gần đây cónhiều nhà toán học trong nước quan tâm nghiên cứu lĩnh vực phương trình vi phân

mờ và cũng đã đạt được những kết quả nghiên cứu rất tốt, đóng góp thiết thực cho

sự phát triển cho lĩnh vực nghiên cứu non trẻ này Chẳng hạn, Nguyễn Đình Phư

và các cộng sự [41, 42], Ngô Văn Hòa [17, 18], Trần Thanh Tùng [46], Hoàng ViệtLong, Nguyễn Thị Kim Sơn, Lê Hoàng Sơn, [27, 28, 29]

Cùng với với sự phát triển lớp phương trình vi phân mờ, lớp phương trình vi phân

có tích hợp hai yếu tố không chắc chắn gồm tính mờ và tính ngẫu nhiên cũng đượccác nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như: Fei [12, 13, 14], Feng[15, 16], Li và các đồng nghiệp [26], Malinowski [30, 31, 33, 34], Agarwal và cácđồng nghiệp [35], Michta [36], Ojha và các đồng nghiệp [39], Zhao và các đồngnghiệp [49], Trong [16], Feng đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên dưới điều kiện Lipschitz dựa vàoĐịnh lý điểm bất động Banach và tính ổn định của nghiệm khi các hệ số, điều kiệnđầu bị nhiễu trong phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên bằng cách sử dụng các kháiniệm đạo hàm trung bình bình phương, tích phân trung bình bình phương, liên tụctrung bình bình phương, được giới thiệu bởi chính tác giả [15]

Hiện nay, việc sử dụng các công cụ giải tích mờ (thay vì sử dụng các khái niệm củaFeng [15] và Fei [11]) để nghiên cứu lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên đãđược nhiều nhà toán học quan tâm Trong [31, 32, 34], Malinowski đã chứng minhđược sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên(Random fuzzy differential equation) dưới một vài điều kiện thích hợp Một số tínhchất (bị chặn, ổn định, ) của nghiệm cũng được xem xét Park và Jeong [40] đãchứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp phương trình vi phân mờngẫu nhiên có trễ

Tiếp tục những kết quả của các tác giả trên, chúng tôi nghiên cứu một số tính chấtđịnh tính cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên, phương trình vi-tích phân mờngẫu nhiên và phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Đó chính là nộidung của đề tài Luận án này

Luận án sử dụng các công cụ của giải tích mờ để nghiên cứu một số tính chất địnhtính (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định, ) và địnhlượng của nghiệm đối với một số lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên Xâydựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm dạng Picard và phương pháp giải nghiệm dạng giảitích cho các lớp phương vi (tích) phân mờ ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứuchủ đạo trong đề tài Luận án là các phương pháp xấp xỉ nghiệm để xây dựng dãyxấp xỉ Picard, sử dụng một số quy trình tìm nghiệm mờ theo nguyên lý mở rộngcủa Zadeh, phát triển một số thuật toán trong cổ điển nhằm để giải số cho các lớpphương trình vi phân mờ ngẫu nhiên và các lớp bài toán liên quan như phươngpháp Euler, Runge-Kutta, phương pháp Adomian, phương pháp Adams-Bashforth-

Moulton, Cụ thể, Luận án nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm

cho một vài lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên theo các hướng sau: (1)

Phân tích và viết công thức nghiệm cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên

tuyến tính dưới đạo hàm Hukuhara (2) Nghiên cứu các tính chất định tính của

nghiệm (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định) của các lớpphương trình vi phân mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát Với mỗilớp phương trình, chúng tôi sẽ đề xuất phương pháp giải nghiệm tương ứng

Luận án được cấu trúc như sau: Tổng quan vấn đề, nội dung chính của Luận án (4chương), kết luận, danh mục công trình của tác giả và tài liệu tham khảo

Nội dung chính của Luận án gồm 4 chương sau: Chương 1 Cơ sở toán học.Trình

bày các kiến thức cần sử dụng trong luận án: bao gồm các khái niệm về tập, mờ

và mờ ngẫu nhiên Các kết quả và chứng minh chi tiết của nó có thể được tìmthấy trong sách chuyên khảo của Lakshmikantham và Mohapatra [47], Diamond và

Kloeden [10] và các bài báo của Puri và Ralescu [43], Bede và Gal [7], Chương

2 Công thức nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên Phân tích và

xây dựng công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính

Kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo [V1] Chương 3 Phương

trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của

lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm mờ được giới thiệu bởiBede và Gal [45] và vế phải của bài toán thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn điềukiện Lipschitz thông thường Một vài tính chất (ổn định, so sánh) của nghiệm cũngđược xem xét Ngoài ra, chúng tôi xây dựng phương pháp giải nghiệm phương trìnhvi-tích phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra Kết quả trong chương này đã được công

bố trong bài báo [V2] Chương 4 Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có

trễ Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi-tích phân

mờ ngẫu nhiên có trễ Một vài tính chất (ổn định, so sánh) của nghiệm cho phươngtrình vi tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ cũng được xem xét Ngoài ra, chúng tôi xâydựng phương pháp giải cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạngVolterra dựa vào nhát cắt-0 và nhát cắt -1 Kết quả trong chương này đã được công

bố trong bài báo [V3].

Các kết quả chính của Luận án được viết dựa trên 3 bài báo [V1]-[V3], đăng ở tạp

chí uy tín trong lĩnh vực Lý thuyết tập mờ (Fuzzy Set Theory) và các kết quả đã báocáo, thảo luận tại Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 (Nha Trang, 8/2013),

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 Một số kiến thức về không gian Rd

1.1.1 Họ các tập con lồi, compact và không rỗng của Rd

Cho A, B ⊂ Rd và λ ∈ R, phép cộng Minkowski và phép nhân vô hướng được định

nghĩa như sau:

A+B = {a+b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A}.

Ta ký hiệu Kcc(Rd) là họ các tập con lồi, compact và không rỗng củaRd

Định nghĩa 1.1 Cho A, B ∈ Kcc(Rd) Nếu tồn tại tập con C ∈ Kcc(Rd) sao cho

A = B+C thì ta nói C là hiệu Hukuhara giữa A và B Ta ký hiệu C = A B

Chú ý 1.1 Cho A, B ∈ Kcc(Rd), ta có A A = θ và A B 6= A+ (−1)B

Định nghĩa 1.2 (xem Lakshmikantham, Bhaska và Devi [25]) Cho A, B là hai tập

con lồi, compact và không rỗng của Rd Khoảng cách Hausdorff từ A đến B đượcđịnh nghĩa: dH(B, A) = sup inf

b∈B,a∈A

||a−b||và khoảng cách Hausdorff từ B đến A được

định nghĩa như sau: dH(A, B) = sup inf

max{dH(B, A), dH(A, B)}, trong đó dH là khoảng cách Hausdorff trongRd

1.2 Một số kiến thức về không gian mờ Ed

1.2.1 Không gian mờ Ed

Ký hiệu Ed = {x : Rd → [0, 1] | x thỏa (i) - (iv) bên dưới}

i) x là chuẩn, nghĩa là tồn tại u0 ∈ Rd sao cho x(u0) =1;

ii) x là mờ lồi, nghĩa là x(λu1 + (1−λ)u2) ≥ min{x(u1), x(u2)}, với bất kỳ

trong đó D là khoảng cách Pompeiu-Hausdorff trong Kcc(Rd)

Định lý 1.1 (xem Diamond và Kloeden [10]) (Ed, D0) là không gian mêtric đầy đủ.

Tính chất 1.2 (xem Diamond và Kloeden [10]) Cho x, y, z, w ∈ Ed và λ ∈ R, ta có

(i) với mọi x, y, z ∈ Ed, D0[x+z, y+z] = D0[x, y];

(ii) với mọi x, y ∈ Ed, λ ∈ R, D0[λx , λy] = |λ|D0[x, y];

(iii) với mọi x, y, z, w ∈ Ed, D0[x+y, z+w] ≤ D0[x, z] +D0[y, w]

Định nghĩa 1.6 (Hukuhara [19]) Cho x, y ∈ Ed Nếu tồn tại z ∈ Ed sao cho

x = y+z thì z được gọi là hiệu Hukuhara giữa x và y Ký hiệu x y Ta chú ý rằng

x y 6= x+ (−1)y

Định nghĩa 1.7 (xem Chalco-Cano và Román-Flores [9]) Cho f : (a, b) → Ed và

t0 ∈ (a, b) Ta nói f có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t0nếu tồn tại DgHf(t0) ∈ Edsao cho

(i) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara f(t0+h) f(t0) và f(t0) f(t0−h) tồn tạivà

Định nghĩa 1.8 (xem Ahmad và các đồng nghiệp [2], Diamond và Kloeden [10])

Cho f : [a, b] → E1 Đường kính của f là hàm diam([f(·)]α) : [a, b] → R+ đượcxác định bởi: diam([f(t)]α) = fαr(t) − fαl(t), trong đó [f(t)]α = [fαl(t), fαr(t)] với mỗi

α ∈ [0, 1]

Định lý 1.2 (xem Ahmad và các đồng nghiệp [2], Diamond và Kloeden [10]) Cho

f : [a, b] → E1 và ký hiệu[f(t)]α = [fαl(t), fαr(t)] với mỗi α ∈ [0, 1]

1) Nếudiam([f(t)]α) tăng theo t và f αl(t), fαr(t) khả vi thì f khả vi-(i).

2) Nếudiam([f(t)]α) giảm theo t và f αl(t), fαr(t) khả vi thì f khả vi-(ii).

Định lý 1.3 (xem Nieto, López và Franco [38]) Cho x, y ∈ E1 và λ > 0 Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1]

i) diam([x+y]α) = diam([x]α) +diam([y]α); ii)diam([λx]α) =λdiam([x]α).

Định lý 1.4 ( xem Chalco-Cano và Román-Flores [9], Kaleva [20]) Cho f : [a, b] →

E1 và ký hiệu [f(t)]α = [fαl(t), fαr(t)] với mỗi α ∈ [0, 1] t ∈ [a, b]

1) Nếu f khả vi-(i) thì f αl(t) và fαr(t) khả vi và [DHg f(t)]α = [(fαl(t))0,(fαr(t))0]

2) Nếu f khả vi-(ii) thì f αl(t) và fαr(t) khả vi và [DgHf(t)]α = [(fαr(t))0,(fαl(t))0]

1.3 Quá trình mờ ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, A, P)

1.3.1 Quá trình ngẫu nhiên giá trị tập

Định nghĩa 1.9 (xem Diamond và Kloeden [10]) Ánh xạ X : Ω → Kcc(Rd) đượcgọi là biến ngẫu nhiên giá trị tập nếu

{ω ∈ Ω : X(ω) ∩C 6= ∅} ∈ A, với mỗi tập đóng C ⊂ Rd

Định nghĩa 1.10 xem (Diamond và Kloeden [10]) Ánh xạ X : [a, b] ×Ω → Kcc(Rd)

được gọi là quá trình ngẫu nhiên giá trị tập nếu X(t,·) : Ω → Kcc(Rd) là biến ngẫunhiên giá trị tập với mọi t ∈ [a, b]

1.3.2 Biến ngẫu nhiên mờ

1.3.3 Quá trình mờ ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.11 (Puri và Ralescu [43]) Ánh xạ x : [a, b] ×Ω → Ed được gọi là quátrình mờ ngẫu nhiên nếu x(t,·) : Ω → Ed là biến ngẫu nhiên mờ với mọi t ∈ [a, b]

Định nghĩa 1.12 (Puri và Ralescu [43]) Ánh xạ x : [a, b] ×Ω → Ed được gọi là liên

tục nếu với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo x(·, ω) là hàm số liên tục trên [a, b] đối vớikhoảng cách Pompeiu-Hausdorff D0

1.3.4 Định nghĩa hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.13 (xem Malinowski [30]) Hai biến ngẫu nhiên mờ x và y được gọi

là bằng nhau hầu chắc chắn (viết gọn h.c.c hoặc P.1) nếu tồn tại Ω0 ⊂ Ω sao cho

P(Ω0) = 1 và x(ω) = y(ω) với mọi ω ∈ Ω0 Khi đó ta viết x(ω)P.1

= y(ω) hoặc

x(ω) = y(ω) với P.1.

Định nghĩa 1.14 (xem Malinowski [30]) Hai quá trình mờ ngẫu nhiên x(t, ω) và

y(t, ω) được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn (viết gọn h.c.c hoặc P.1) nếu tồn tại

Ω0 ⊂ Ω sao cho P(Ω0) = 1 và x(t, ω) = y(t, ω) với mọi ω ∈ Ω0, t ∈ [a, b] Khi đó

ta viết x(ω)[a,b],P.1

= y(ω) hoặc x(t, ω) =y(t, ω) với mọi t ∈ [a, b], vớiP.1.

Các bất đẳng thức xảy ra hầu chắc chắn giữa hai biến ngẫu nhiên mờ hoặc hai quátrình mờ ngẫu nhiên được định nghĩa tương tự như Định nghĩa 1.13 hoặc Địnhnghĩa 1.14 Ngoài ra, để thuận tiện, nếu biến ngẫu nhiên a(ω)có giá trị trong [a, b]

hầu chắc chắn thì ta viết gọn thành a(ω)P.1

∈ [a, b]

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ NGẪU

NHIÊN

2.1 Phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên

Chúng tôi phân tích và viết công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫunhiên tuyến tính dạng sau:

x0(ω) ∈ E1, trong đó x, q : [0, b] ×Ω → E1 là haiquá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là biến ngẫu nhiên giá trị thực sao cho

p(ω)P.1

∈ [p1, p2]với p1, p2 là hai hằng số dương và p1 < p2

2.2 Công thức nghiệm của bài toán (I)

Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:

Định lý 2.1 Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất x : [0, b] ×Ω → E1 được xác định bởi

x(t, ω)[0,b],P.1

nếu với mỗi t ∈ [0, b], tồn tại một số δ > 0 sao cho hiệu Hukuhara x(t+h, ω)

x(t, ω) và x(t, ω) x(t−h, ω) tồn tại, với mọi 0 < h < δ, với mỗi ω ∈ Ω.

2.3 Công thức nghiệm của bài toán (II)

Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:

Định lý 2.2 Nghiệm duy nhất x(t, ω)của bài toán điều kiện ban đầu (2.3) trên[0, b]

được có dạng sau: với mỗi α ∈ [0, 1]

0 (qrα(s, ω) −qlα(s, ω))e−p(ω)sds



+ e−p(ω)t2

với mỗi (t, ω) ∈ [0, b] ×Ω.

2.4 Công thức nghiệm của bài toán (III)

Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên như sau:

trong đó x, q : [0, b] ×Ω → E1 là hai quá trình mờ ngẫu nhiên , p :Ω → R+ là biếnngẫu nhiên giá trị thực sao cho p(ω)P.1

∈ [p1, p2] với p1, p2 là hai hằng số dương và

2.5 Công thức nghiệm của bài toán (IV)

Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên như sau:

diam([x0]α) +

0 diam[q(s, ω)]αe−p(ω)sds



+ ep(ω)t2

0 diam[q(s, ω)]αe−p(ω)sds



+ ep(ω)t2

Nếu Lα(t, ω) không giảm theo α với P.1, U α(t, ω) không tăng theo α với P.1 và tồn

tại β > 0 sao cho hiệu Hukuhara x(t+h, ω) x(t, ω), x(t, ω) x(t−h, ω) tồn tại với 0 < h < β, với P.1 thì x : [0, b] ×Ω → E1 là nghiệm của bài toán điều kiện ban đầu (2.3).

Kết luận chương 2

Các tính chất định tính của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên đã được nhiềunhà toán học quan tâm nghiên cứu như: Feng [15, 16], Fei [12, 13], Malinowski[30, 31, 32, 34] Tuy nhiên cấu trúc nghiệm cho lớp bài toán này ở dạng tuyến tínhchưa được giải quyết Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này để nghiên cứu trong chương

2 và kết quả đã được công bố trong bài báo [V1].

Áp dụng Định lý 1.4, Định nghĩa 1.5 và phương pháp giải phương trình vi phân mờđược đề xuất bởi Kaleva [21], chúng tôi tìm được công thức nghiệm tổng quát chophương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính Kết quả đạt được Định lý 2.1, Định

lý 2.2, Định lý 2.3 và Định lý 2.4

Trong trường hợp x0(ω) ∈ R, q(t, ω) là quá trình ngẫu nhiên giá trị thực liên tục

Bài toán (I) tương đương với bài toán (II) và nghiệm tổng quát của bài toán (I) hoặc (II) là một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực và được xác định như sau: