huong dan on luyen thi mon toan tap 5 luong giac (nxb dai hoc quoc gia 2003) vu viet yen 321 trang

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẨN LƯU Ý A- Các dạng phương trình lượng gidc PTLG, ptLG mau muc.. Dạng phương trình bậc n đối với một hàm số lượng giác.. Biến đổi tương đương phương trình đã cho dể đ

Trang 1

NHOM GIANG VIEN TOAN - ĐHSP

VŨ VIỆT YÊN - TRIỆU KHUI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC

Trang 2

NHÓM GIẢNG VIÊN TOÁN - DHSP HÀ NỘI

*On luyện thì đại học và cao đẳng

* Thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

* Tuyển chọn học sinh khá - giỏi

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Trang 3

Chịu trách nhiệm xuất bản

Giám đốc _ NGUYÊN VĂN THỎA

Tổng biên tập NGUYÊN THIỆN GIÁP

HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THỊ MÔN TOÁN

TẬP V~ LƯỢNG GIÁC

ð: 01.11.1211 3003

1.500 cuốn tại Xí nghiệp in Bắc Thái

Giấy phép xuất bản số: 241/27/CXE Số trích ngang: 47 KH/XB

In xong và nộp lưu chiểu Quý Ï năm 2003

Trang 4

MỤC LỤC

“sont ) ; NỘI oun có Trang

Chú 4 [| Phương trình ham wie Không chứa tham sô 4

| Chú để 2 | Phương trình lượng giác có tham số 101

Chủ để 3| Hệ phương trình lượng giác 146

ị Chủ để 4 | Đăng thức, bal đẳng thức lượng giác 176

! Chủ đẻ 5 | Nhận đạng tam giác 247

Chủ đẻ 6 | Bấi phương trình, hệ bát phương trình lượng giác | 285

| Chủ để 7 | Giá trị lớn nhi, giá trị nhỏ nhất của | 298

ham số lượng giác

Trang 5

CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHÔNG CHÚA THAM SỐ

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẨN LƯU Ý

A- Các dạng phương trình lượng gidc (PTLG, ptLG)

mau muc

a Dạng phương trình cơ bản

b Dạng phương trình bậc n đối với một hàm số lượng giác

c Dạng phương trình bậc nhất đối với sinu, cosu Chú ý các kết quả:

B - Dạng phương trình lượng giác không mẫu mực

C - Một số phương pháp thường dùng để giải PTLG

1 Biến đổi tương đương phương trình đã cho dể đưa về một phương trình mẫu mực

2 Biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho vẻ

phương trình gồm tổng số học các số không âm đưa đến việc

giải một hệ phương trình

4

Trang 6

+ Đặt một biểu thức trong phương trình đã cho làm an

phụ để có một phương trình đại số để giải hơn Chú ý phải đặt điều kiện cho ẩn phụ

+ Đặt mội cung trong phương trình đã cho làm ấn ›hụ để

c hàm số lượng giác quen thuộc

đề thấy

Š Giải tích hoặc đoán nhận nghiệm

+ Thuong ding bang biến thiên, định lý về !ính chất hàm

số liên tục để xét nghiệm phương trình

+ Đoán nhận nghiệm phương trình và chứng mính nghiệm đó duy nhất,

II ĐỀ BÀI

§I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A MOT SO BAI TOAN MINH HOA PHUONG PHAP GIAL

Giải các phương trinh sau:

> 1 Bail sin (x? + 1} = —~+——+ 4——

Trang 7

COS(TXỶ) = cos[ft(X - 1)"}

Bài 9 Giải phương trình

x? - 2xsiny - 2cosy + 2 = 0 Bài 10 Giải phương trình

tg5x - tgx =0

L - 32sin*xcos*x - sin®x - cos°x

Trang 8

sinX + sin 2x + sin 3x Wel q

COS x + COS 2X + COs IN

Trang 9

sin 2x cosx ] logs 2

(Cdu HH; - Đề 125) Bài 25 Tìm các nghiệm x € (0, 2m) của phương trình

sin 3x —sinx

(Câu H,- Để 4) Bài 26 Giải phương trình

dcasx - 2cos2x - cos4x = 1

(Cân E1, - Dé 6%

Trang 10

CON + 2MHÖK COSäX: ml + JSHIN + COSON

(Cau ĐH, - Đề Soi

sinx + V3,c0sxX v2 +€COS2X + v3sin2x

Trang 11

Bài 38 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

cos "` = Vox? + 160K cam) =i

(Can lil, DHUSPHN 4-2000)

Zeos’x + 2COS 2X + 2cos 3x - 3 = cosdx(2sin2x + 1)

(Câu THỊ - ĐHSP TPHCM-D-3000)

Bài 4Ù Giải phương trình

(gx + 2cotg2x = sin2x

(Cau HL, -DHSPHN-B-2001) Bài 41 Giải phương trình

sin’s + sin 2x + sinŸ3x = 2

(Câu TH,-ĐHSP kệ thuật TPHCM-A-2001)

sinŠx + cosx = 2(sin!9x + cos!“x) + qẴ0528

(Câu HH, -ÐH Ngoại thương HN-D-2000)1

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

(Cán 1H, -ÐH Ngoại thương-CS,-A-2000) Bài 44 Giải phương trình

2sin| 3x + < |= 4

(Câu TH-ĐH Kinh tế Quốc dán HN-A-2000)

Trang 12

Bài 46, Guu phường hình

SHEN + Cos xX + SIDS COlgy + Cus’N TEX =

Can UE BH Kren Trie LIN-2000)

Bài 48 Giai phường trình

(2sinx + 1) (3cos4y + 2sinx - dì + deos?x = 3

(Can tH, BH Hang Hai - 2000)

Bài 49, Giải phương trình

SỈR2X(COIEN + [BN) = d€OS2x

+Câu JH-ĐH Alo Địa chất HN-2000)

sinx Vl-cosx | +cosx sin” X

(Cam TH,-ÐH GTVT-CX,-2000)

tex - 3cotgsx = 4(sinx + V3cosx)

(Can )-ÐH Thúy lại-CS,-2000)

yd Tm 3x

i 2 102

(Cám 1,-Ð11 Thúy lợi HN-2001) Bài 53 Giải phương trình

CÔN N + KHHỈN = COS2X

(Cand, -DOH Y HN-3000)

it

Trang 13

3sinx + 2eosx = 2 + 3tgx

(Câu 1H, HỶ Quận Y-2001)

COS2X + GOS4X + COSỐX = COSX COS2X COS3X + 2

(Cau H-DH Due HN-2000)

Bai 56 Giai phuong trinh

tg’x cotg? 2x colg3x = tg’x - colg”2x + cotg3x

(Cân H,-DH Ditoc va DH Luét HN-2001}

sinÄx = cosx cos2x(tg?x + tg2x)

(Cau H,-DH OGHN + HV Ngan hang HN-D-2007)

sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x

(Câu 11 ,-DH Thai Nguyén-A+B-2000)

42Í3 sinx:cosx.cos2x = sin§x

(Câu IH;-ÐH Cần Thơ-D-2000)

tg?x = 1+cosx

cos X

(Câu II.-ÐH Đà Nẵng-A-2001)

2cos?2x + cos2x = 4 sin?2x cos’x

(Cau HĨ,-ÐH Công Đoàn-2000)

sin’, [5}r(3)- 1-2sinx

(Cau 11-BH Cong Doan-2001}

12

Trang 14

Bai 63 Gi phíọđp trình

|

KONỀN, VỐN ÁX SH ẰẬN, SH NT COS SÍN + j

(Can HH DH Ngoại Haữ-2001)

Bai 64 Cho foxy 2 cos'x sin’x + cos2x

L Giải phương trình: Í(X) = 2coX(SIHX + cosX) - |

2, Chứng mình răng: 'fX)[ < 1 với Vx

tCữu HEDH Da Lat-D-2000)

§3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC đ ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ

LUONG GIAC CUA MOT CUNG

A MOT SỐ BAL TOAN MINH HOA PHUGNG PHAP

3 sin’x - 2sinx + cos*x = 0

(1+ cos 2x)

Bài 66 Giải phương trình sin? x+ =cos2x

2sin2x Bài 67 Chứng mình rằng phương trình:

sings + cos2x = 1 + 2sinx cos2x aly

va sin3x - 3sinx + 2sin’x = 0 Q)

tương đương nhau

Bài 68 Giải phường trình

CŨYX

cos'x + 2coss = 4sinx - sin2x Bài 70 Giải phương trình

Zoos’s = 1 = sin dx

Trang 15

THỊ TUYẾN

R CÁC BÀI TOÁN CHON LOC TRONG BO DE VA DE

SINH VÀO TRUỜNG CB-ĐH CÁC NĂM 2000, 2001

l + 1 : cosx sin2x sin4x

(Cdn H,-Deé 30)

Bai 72 Giai phucng trinh

I7 sin’x + cas*x = =—c0S 2X

|eotgx Ì Sigx+

(Cada 1)-Pé 46)

3cosx + 2|sinx| = k trong trường hợp k = 2 và k= 3

(Cau ME Dé 37) Bài 78 Giải phương trình

Gtpx + acotg3x = tg2x:trong trường hợp a = Ô và ú

tản Hụ-Để 97)

14

Trang 16

Bái 79 Giai phương trình

Bài 8S Giải phường trình

deoxx + TVỢ viH2A = §€OSX

Trang 17

+ 5tgx +Šcotgx +4= 0

(Câu 1H,-CĐSPIIN và ĐH Thương mại HN-2001)

Tinh dao ham f(x) va giai phuong trinh f(x) =0

(Câu 1II,-HVQHQT Hà Nội-D-2000)

VI-sin2x + xl+sin2x

(Câu 1I,-ÐH Luật Hà Nội và ĐH Xây dựng Hà Nội-2000)

(Cân IH,-ÐH Canh sát nhân dan - A, B-2000)

3 cotg x + 242 sin°x = (2 + 342) cosx

(Cau HH,-HVKTQSHN-2001)

16

Trang 18

Đài 94 Giải phương trình

3A2 GSIẾN C0SX NON Ầ + Coyềx

tCủu DU GIVE Ha Noi - 2000)

Bái 95 Giải phường trình

xin +sin" xe lasintix 2] °

(Cau fil, DE GIVT Hà Nói - 2001)

Bai 96, Giai phuong trinh

sin2x + =3

(Cea l-DH Bach khoa Hà Nói - 3001) Bài 97 Giải phường trình

U a2 -(L-+ cotex.cotg2x)=0 COS ”K sin” x

(Cau HL,-DH Me Dia chat Ha Néi - 2001)

(Cau HH )-CD Cong nghiệp Hà Nội - 2000)

thoã mãn điều kiệ

(Cau IN,-ÐH Thuy lợi Hà Nội - 3000)

Trang 19

sinds = 1gx

(Cau ty DU Y Ha Nội - 2000)

Bài 103 Giái phương trình

y3+46~- 1673 - 8/2 kosx = 4cosx— V3

(Câu II;-ÐĐH KTQD Hà Nội - 2001)

sin’x + sin?3x - 3cos”2x = 0

(Cân IH-ĐH TCKT-HA- 2001)

§3 PHUGNG TRINH ACOSU + BSINU = C

A MOT SO BAL TOAN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIÁI

cos7x - sinSx = V3 (cos5x - sin7x)

cos?x + 2-¥3 sinxeosx + 3sin’x = 1 Bài 107 Giải phương trình

3sin| x= = |+ 4sin bu —sin| 2x + ^

sin x - sin2x - 3sinx - 2cosx - 4 = Ö

B8 CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC TRONG BỘ ĐỂ VÀ ĐỀ THỊ VÀO

TRƯỜNG CĐ-ĐH CÁC NĂM 2000, 2001

2sin2x - cos2x = 7SINX + 2c0SX - 4

(Câu IH,-DH QGHN và HÀ Ngân hàng-A-20011

=0

18

Trang 20

Bái LH Giải nhường trình

Hsin cosas + doos'x, sin3y + 3-3 cosdx = 3

(Can HAV Cong aghe Bun chink - Vien thong Ha Nội - 2001)

sin2x + 2cos2x = 1 + sink - dooss

(Cdn Hf-PH An nink - D- 2001)

§4 PHƯƠNG TRINH DOL XUNG VOI SINU VÀ COSU:

a(cosu + sinu} + b.sinu cosu +e = 0

hoặc phản xứng: a(cosu - sinu) + b.sinucosu + ¢

A MOY SO BAI TOAN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bai 113 Giai phuong winh

3

1+ sin’x + cos‘x 5 sinds

Scos*x + 3cos"x.sinx + 6cos” 7x - cosx, sin’x + si

= 2+ —cos2x

2

Bai E15 Giai phuong trinh

sinx + sin’x + cos*x =0

3 [+cox`x

1g X=——-

lesin' x

B CAC BAL TOAN CHON LOC TRONG BỘ ĐỀ VÀ ĐỀ THỊ TUYỂN SINH

¥AO TRUONG CD-DE CAC NAM 2006, 2001

Trang 21

COtBX - LEX = SỈNX + COSX

(Cau H-Dé 92)

2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + § = 0

(Câu 1;-Để 106)

Bài 120 Giái phương trình

tgx + tg’x + te*x + cotgx + cotg’x + COIBÌX = Õ

(Câu H,-Đề 141) Bài 121 Giải phương trình

2sinx + cotgx = 2sin2x + | (Cau 1l,-DHOGHN và HV Ngắn hàng -A-2000) Bài 122 Giải phương trình

sin2x + 4/2 sin [ZF I 4

(Câu HH,-ĐDH Ngoại ngữ Hà Nội - 2000)

Bài 123 Giải phương trỉnh

2sin2x - 2(sinx + cosx) + | =0

(Câu HHH,- Phản viện Báo chí va Tuyén truyền

HV CTQG HCM - 20001

sin’x + cos’x + cosx = 0

(Cau tl ,- HV Quan Y - 2000}

Bai 125 Giai phuong trinh:

2cos2x + sin’xcosx + cos*xsinx = 2(sinx +-cOsx?

(Cáu HH- ĐHDL Phương Đông-A- 2001)

20

Trang 22

§5 PHUONG TRINH LUGNG GIAC KHONG MAU MUC

+, MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HOA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Sử dụng phương phán tổng cde so khong am

I

sinx + =sin 3x =sinx sin3x

sinSx + sin6x + sin7x = 3

1= sinx sin3x + sn2% +cos2x

3cos2x + sin'x - 3/3 cosx - 3sinx + V3sin2x +2 =0

Trang 23

B CÁC BÀI TOÁN CHON LOC TRONG BO DE VA DE THE TUYEN SINH

VAO TRUONG CD-DH CAC NAM 2000, 2001

cos*x - sin’x = |cosx| + [sinx|

(Cán 1HI,-Để 80)

Giải phương trình cos2x - cos6x + 4(3sinx - 4sin'x + 1) =0

(Cau Hl ,-Dé 83)

Giải phương trình sin’x + sin’y + sin’?(x + y) =

_ (Câu 11,-Để 105)

Giải phương trình 1g”x + tg'y + cotg’(x + y) =1

(Cau V,-Dé 99}

Giải phương trình

4cos2x + 3tg”x - 423cosx + 24/3tgx + 4 =0

(Cau IHH,-Để 32) Giải phương trình

1 + 3tgx = 2sin2x

(Cau 111;-ÐHQGIIN-D-2000)

Giải phương trình 8cos4x cos? (2x) + Xi~cos3x+1=0

(Cán TH,-ÐSp Vinh-A+B+E-2000)

Trang 24

Bái 142, Giải phường trình

COS N 4 sins Fenedy + sins 2 1+ V2

(Cau ĐH Nóng nghiên 1-B- 2000) Bai E43, Giải phường trình

2cokx + V2) sinIUX = 3v + 2cox28xsinx

(Cam TH,-ĐH An Ninh-A-2001¡

2 Phuong phap doi lap

Bai 144: Giai phuong trình

cos3x + ¥2-cos* 3x = 21 +sin’ 2x)

(Cau HI,-Dé 24)

sinx + cosx = V2 (2-sin3x)

(Cau H,-Dé 35)

(cos4x - cog2x)” = 5 + sin3x

(Cau H,-Đề 74) Bài 147 Giải phương trình

Trang 25

cos3x + ¥2-cos? 3x = 21 + sin” 2x)

(Câu TH-HU Ngắn hàng - Phan vicn

sinx + ¥2~sin? x +sinx¥2-sin’?x =3 (1)

(Câu IH,-Đề 146)

* Ban đọc có thể tham khảo bài ïïI,- Đề thị vào Phân viện Báo chí - HVCTQGHCM-1998: HÌ, - Để thi vào Học viện Công nghệ BCVT-I999

4 Phương pháp giải tích và đoán nhận nghiệm

Bài 154 Với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, hãy tìm

xe (9 5] thỏa mãn phương trình

aa

sin’x + cos"x = 22

(Cau Hi DUBKHN-1999)

2log ,cotgx = log;cosx

(Cau HI,-Dé 78)

Trang 26

HÍ- HƯỚNG DẦN GIẢI, PAP SO - CHU DE 1

~a-1+k2n voik € Zthoa man điều kiện

(ao: nh theo radian)

Trang 27

Bài 3 Trước hết, chứng minh sin15" =

Ta có sin45” = > 3 sin15° - 4sin15"

26

Trang 29

x = ka hay x= > + kon (a)

« Voi sinx = 1+ 4k, phai c6-1 <5 14+4kslvake Z%

Tr

-+K=0 Vậy có sinX=] x= > + ken (b)

* (a) va (b) > DS: x = km5 chon, keZ

Vike Zva lcosx] $1 = ta có k= {0,41} >

Trang 30

Neu các đâu cũng nghiệt +

cua các nhường trình được biên

điện tại các định của một da

giác đều n cạnh trên đường tròn

lượng giác, thì các nghiệm đó

Các đầu ho cung (*) được biểu diễn tại các điểm A B, C

trên đường tròn lượng giác

Trang 31

Bai 8 Phuong Winh @ mx? =ta(x-1¥ +k2n ke Z

Bài L1 Phương trình

1 - 32§inXCOSX - sin’x - cos*x = sin6x

Trang 32

eo) Vs wees 8 Gm Fees sin XCOR NT = SinOx

Trang 33

cof Fox]=0 cos; Tà =0

1+ 8sin 2x cos * axe dsin' +5]

|) + 2(sin @x + sin 2X) = 2 + 2sin 6x

Trang 34

Vậy Để: x= |Z 40am Es ren), tcz

Bài 15 Điều kiện phương trình:

cot g2x # cos2x sin2x #1

Khi đó phương trình đã cho:

| 3cos2x(1 + sin 2x) _

3 cos

cos 2x(1 — sin 2x cot g2x — cos 2x

Trang 35

k—, keZ

Bài 17 Phương trình

«> cos x (2 cos? x}+ cos 2x +sinx = 0

< cos x + cos x.cos 2x + cos 2x +sinx =0

<> (cos x + sin x)+ cos x(cos? x — sin? x}+ cos’ x ~ sin? x = 0

(cos x + sin xi sin? x)+ cos x(1 ~ sin x)+ (1 -sin x) =0

Trang 37

= sin xe + sin| ax-2 + sin} x2 =0

> (2sinx - 1) (sin2x - sinx) =0

cosx <0 Sin3x = —cosx cosx 20

x= {Ey kn 8 “+ kế, ke z) 2

2

cosx <0

x-{E +d, ke zh B82

Trang 38

Biểu điển các đâu cũng mài họ nghiệm trên đường tròn lượng giác vũ dối chiếu với điều kiến vesx > 0, cosx <0, ta co:

sinx + cosx = 0 ¬ yee ate ps

> dôi chiếu điều kiện, có:

Đồi chiếu diéu kién, =3 DS: x =

Trang 39

Bài 25 Điều kiện phương trình: Vxe (0, 27) Khi đó phương

«> Trong (0, 27) ta có ĐS: x= On ain Khu

16 16 lố 16

* Chú ý: x = mr thay vào phương trình đã cho không thoả mãn

Bài 26 Dùng công thức hạ bậc ta có phương trình

sin?2x - cos’8x = sin + 108

cos 10x = 0

e - 1 (e0816x + cos 4x) = cos 10x ep [CORE™

DS: x= {Bone Fae, kez} 20 10 6 3

Bài 27 Điều kiện phương trình

xa Dt kn ke Z sao cho xe [1,70]

Trang 40

Các đầu cung nghiệm được biểu diễn tại

các điểm A B, C trên đường tròn lượng giác = gộp nghiệm lại

3 Bài 28 Điều kiện phương trình:

[sin x # I H 4

exer +kn ke Z

Định dạng
Số trang	321
Dung lượng	2,12 MB