TÀI LIỆU 7 ĐIỂM MÔN TOÁNTHẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: a.. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z.. Trong các số phức z thỏa mãn đi

Trang 1

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

Trang 2





 Tính giá trị của biểu thức:

20152

 Bước 1: Giải phương trình với ẩn z (hoặc z) , suy ra z (hoặc z)

 Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán, suy ra đáp số

Trang 3

1

2

3(1 ) (1 )

1 22

3(1 ) (1 )

22

Chú ý : Việc viết được :   2i (1 i)2 ở phần tính  trong bài toán trên có thể hiểu theo 3 hướng

+) Hướng 1 : Vì ta khá quen thuộc với công thức : 2

a b





  

 +) Hướng 3 : (Đây là hướng đi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)

Gọi a bi là căn bậc hai của   2i (a bi)2   2i a2 b2 2abi 2i

1; 10

1

2

3(1 ) (1 )

1 22

3(1 ) ( 1 )

22

phương trình có biệt thức   (4 3 )i 24(1 7 ) i  7 24i 4 28i   3 4i (2 i)2

Trang 4

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan (Làm ra nháp: Nhẩm a b, thỏa mãn

(4 3 ) (2 )

1 22



 

 Tính môđun của số phức

21

Trang 5

+) Trong điều kiện z  2 chứa dấu " " , cụ thể là z nên gọi z a bi ( ,a bR)

+) Từ hai điều kiện z  2 và z là số thuần ảo 2 1

2

( , ) 0 ?( , ) 0 ?

Ví dụ 4 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Trang 6

Loại 1: Biểu diễn hình học số phức

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức:

“ Một số phức z x yi (x y, ) được biểu diễn bởi điểm M x y( ; ) trong tọa độ phức Oxy và ngược lại”

a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân

b.Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D, sao cho ABCD là hình vuông

0(3; 1)

AB

AB CB CB

Vậy số phức biểu diễn bởi điểm D( 1; 1)  là:  1 i

Ví dụ 2 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Trang 7

 Bước 1: Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z x yi (x y, )

 Bước 2: Cắt nghĩa bài toán để tìm mối liên hệ giữa x và y Cụ thể ta có được đẳng thức f x y( ; )0 dưới

Ví dụ 2 (B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

a Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z

b Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun bé nhất

Trang 8

min

26x 30x9 15

b x a

Đường thẳng d có phương trình: 5x  y 3 0 có véctơ chỉ phương ud (1;5)

Ta có: z OM  zmin OMmin OM d OM u  d   0 x 5y0 (2*) (với OM ( ; )x y )



 



a Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z

b Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện trên, tìm số có môđun lớn nhất và số có môđun nhỏ nhất

  i x( yi) 2     1 ( y 2) xi  1 (y2)2x2 1

(y2)2x2 1 (*)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;0) có bán kínhR1

b Cách 1 (Phương pháp đại số)

Từ (*)(y2)2         1 1 y 2 1 1 y 3 (1) Mặt khác từ (*) ta có: x2y2 4y3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1x2y2 9 hay 1 z2   9 1 z 3

Do đó: zmin 1 khi y1 và x0 hay số phức có môđun nhỏ nhất là: zi

Trang 9

zmax 3 khi y3 và x0 hay số phức có môđun lớn nhất là: z3i

Cách 2 (Phương pháp hình học)

CHUYÊN ĐỀ 2 : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

SƠ ĐỒ GIẢI

( Nghĩa là: Khi điểm M thuộc đường thẳng, ta sẽ tham số hóa điểm M để M chỉ phụ thuộc vào một ẩn t Sau đó cắt nghĩa bài toán để thiết lập phương trình f t( )0, tìm t và suy ra tọa độ điểm M) Chúng ta có thể chia thành 2 bước cụ thể sau: Bước 1: Do 0 0 0 0 0 0 : ( ; ; ) x x at M y y bt M x at y bt z ct z z ct                 Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) ta được phương trình f t( )  0 t M Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Cho đường thẳng : 1 1 2 1 1 x y z     và hai điểm A(1; 1; 2) , B(2; 1;0) Xác định tọa độ điểm M thuộc  sao cho :

1) Tam giác AMB vuông tại M 2) Tứ diện OABM có thể tích bằng 1 2 3)

2

MA  MB nhỏ nhất

Giải

Gọi M(1 2 ; 1 t  t t; )d , khi đó:

Bài toán 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  và thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.

Trang 10

t t

  Tìm tọa độ giao điểm của

 P và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến  P bằng 2 3

M t

Trang 11

Ví dụ 4 ( B – 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 5

x y z

 và hai điểm A( 2;1;1) , B( 3; 1; 2)  Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

Giải

Do M M( 2 t;1 3 ; 5 2 ) t   t AM ( ;3 ; 6 2 )t t   t

Ta có AB  ( 1; 2;1), suy ra:  AM AB,     ( t 12;t6; )t

Khi đó:

( 12) ( 6) 1

MAB

2 0 ( 2;1; 5)

12 0

12 ( 14; 35;19)

  Vậy M( 2;1; 5)  hoặc M( 14; 35;19)  .

( Nghĩa là: Khi điểm M thuộc mặt phẳng đã cho thì ta sẽ chấp nhận gọi điểm M theo 3 ẩn M x y z( ; ; ) Và lúc này ta cần đi tìm 3 dấu “=” (cần thiết lập 3 phương trình) Phương trình (1) chính là phương trình mặt phẳng Hai phương trình (2), (3) có được nhờ cắt nghĩa dữ kiện bài toán Sau đó đi giải hệ 3 phương trình , tìm được bộ 3 số ( ; ; )x y z và suy ra tọa độ điểm M ) Chúng ta có thể chia thành 3 bước cụ thể sau: Bước 1: Gọi M x y z( ; ; ) Do M( ) ax by cz   d 0 (1) Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) ta được hệ phương trình ( ; ; ) 0 (1) ( ; ; ) 0 (2) f x y z g x y z      Bước 3: Từ (1), (2) và (3), suy ra 0 0 0 0 0 0 ( ; ; ) x x y y M x y z z z           CHÚ Ý: Do M thuộc mặt phẳng ( ) chúng ta có thể “linh hoạt” gọi điểm M theo hai ẩn, ví như gọi M x y h x y( ; ; ( ; ))( thực ra việc gọi 2 ẩn như trên là ta đã khai thác luôn phương trình (1) (phương trình của mặt phẳng) và đang gián tiếp giải hệ 3 phương trình ở trên theo phương pháp thế) Song có một số trường hợp khi làm thế lại khiến cho quá trình tính toán phức tạp và cồng kềnh

Ví dụ minh họa

Bài toán 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) : ax by cz   d 0và thỏa mãn điều kiện (*)

Trang 12

Ví dụ 1 Cho mặt phẳng ( ) : x  y 1 0 và điểm A(1; 2;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( ) sao cho: 1) 7

Trang 13

+) Với 5 9 (5;9; 11)

11

y

z





13

y

z

 



Cách 2: Ta có u   (1; 2; 1),n( )P (1;1;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của ( )P





  

là vectơ chỉ phương của IM

Suy ra phương trình

1 : 1 2

1 3

 



  



  



(1 ;1 2 ;1 3 )

    , khi đó

2 224 2 (2 )2 (3 )2 224 2 16 4 (5;9; 11)

( 3; 7;13)

M







 Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta nhận thấy khi gặp bài toán tìm điểm việc đưa về Bài toán 1 sẽ giúp chúng ta sử

lí “nhẹ nhàng” hơn so với Bài toán 2 Vì vậy trong một số bài toán tìm điểm ta nên đặt câu hỏi, có chuyển bài toán về Bài toán 1 được hay không ? Nếu được hãy ưu tiên đi theo hướng này

( Nghĩa là: Khi điểm M không thuộc Bài toán 1 và Bài toán 2 thì ta sẽ ưu tiên hướng đi 1 bằng cách trả lời câu hỏi “liệu có chuyển được về Bài toán 1 hoặc Bài toán 2 ?” Nếu câu trả lời là “có” ta sẽ quay về 2 bài toán đầu Nếu không làm được điều này ta sẽ “chấp nhận” đi theo hướng 2 Cụ thể, gọi M x y z( ; ; ) và cắt nghĩa điều kiện bài toán để thiếp lập hệ phương trình 0 1 2 0 0 0 0 3 0 ( ; ; ) 0 ( ; ; ) 0 ( ; ; ) ( ; ; ) 0 x x f x y z f x y z y y M x y z f x y z z z                  ) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho bốn điểm A(1;0;0), (1;0; 2), (1;1; 1), (2;0; 1)B  C  D 

1) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA vuông góc với trục tung, song song với mặt phẳng(BCD) và tứ diện

MABC có thể tích bằng 1

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S đi qua bốn điểm A B C D, , ,

Bài toán 3 Tìm tọa độ điểm M không thuộc Bài toán 1 và Bài toán 2

Trang 14

Vậy phương trình mặt cầu ( ) : (S x1)2y2 (z 1)2 1

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;3; 2) và mặt phẳng

( ) : x2y 2 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằngM cách đều các điểm A B C, , và mặt phẳng ( ).

x x

Trang 15

Trang 16

1) Đi qua A song song với ' 2) Đi qua A và vuông góc với ( )

3) Đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)

4) Đi qua A vuông góc đồng thời với AB và ' 5) Đi qua A vuông góc với ' và cắt trục Ox

6) Nằm trong ( ) đồng thời cắt và vuông góc với '

7) Vuông góc với ( ) , đồng thời cắt cả hai đường thẳng AB và '

8) Cắt ' và ( ) lần lượt tại M N, sao cho A là trung điểm của MN

9) Song song với mặt phẳng ( ) , cắt hai đường thẳng OA và ' lần lượt tại hai điểm P Q, sao cho

4 2

PQ và P có hoành độ nguyên

10) Là đường vuông góc chung của AB và '

Giải

1) Do //'u u'(2; 1;3) là vectơ chỉ phương của 

Mặt khác  đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình: 1 1 2

2) Do  ( ) u n( )   (1; 2; 1)là vectơ chỉ phương của 

 đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình: 1 1 2

Do  (OAB)u  n(OAB)  (1; 5; 2) là vectơ chỉ phương của 

Ta có G là trọng tâm tam giác 1; ;1 1

là vectơ chỉ phương của 

 đi qua A(1;1; 2) nên có phương trình:

1

1 32

Trang 17

là vectơ chỉ phương của 

Vậy  đi qua N( 13;6; 21)  có vectơ chỉ phương u(7;5; 3) có phương trình: 13 6 21

(1 ;1 ; 2 3 )

(2 ; 2;3 3 2)(1 2 ; 1 ;3 ) '

Đường thẳng  đi qua P(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương u (1;0;1)nên có phương trình:

112

Trang 18

10) Với A(1;1; 2), (2;0;1) B , suy ra phương trình

1 : 1

2 3

 



  



   

 Gọi I J, lần lượt là giao điểm của  với AB và ' (với u'(2; 1;3) )

Gọi (1 ;1 ; 2 3 )

(1 2 ; 1 ;3 ) '



 IJ (2m n   ; m n 2;3m3n2)



Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung, khi và chỉ khi:

'

0 (2 ) ( 2) 3(3 3 2) 0

2(2 ) ( 2) (3 3 2) 0 0

IJ u



 

 

9 1 7

; ;

I m

m n



 

'

AB

u AB u

 



  

là vectơ chỉ phương của  Suy ra phương trình

9 5 1

5 7 5

x

 



    



  



( Nghĩa là: Khi đứng trước một bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) ta sẽ đặt ra hai câu hỏi:

“ Bài toán đã cho điểm và véc tơ pháp tuyến chưa? Nếu chưa cho thì tìm bằng cách nào?” Nếu câu trả lời cho câu hỏi 1 là đã biết, thì ta chỉ việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số Nếu

Cách ra đề 1: Cắt nghĩa được yếu tố điểm và véc tơ pháp tuyến

Trang 19

phải trả lời câu hỏi 2 thì ta sẽ đi theo sơ đồ trên như sau:

 Nếu là tìm điểm ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm (các bạn xem lại ở bài học trước)

 Nếu muốn khai thác được véc tơ pháp tuyến thì đề bài sẽ cho theo ba hướng gián tiếp:

 Hướng 1 : Cho ( ) / /( )  ở đó ( ) đã biết phương trình khi đó n ( ) n( ) ( ; ; )a b c

 Hướng 2 : Cho phương trình đường thẳng d và biết d ( ) , lúc này n ( ) u d ( ; ; )a b c

 Hướng 3 : Đề bài cho 2 trong 3 yếu tố là “mặt vuông góc với mặt, đường song song với mặt,

đường nằm trên mặt” khi đó ta sẽ tìm được cặp véc tơ chỉ phương của ( ) là u u 1, 2

Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 2;0) và

1) song song với mặt phẳng ( ) : x y 2z 7 0

2) vuông góc với đường thẳng AB với A(2; 3;1), (3;0; 2) B 

6) đi qua điểm N(2; 3;1) , đồng thời : a) song song với trục Oy b) vuông góc với mặt phẳng xOy

7) đi qua các điểm A(2; 1; 2), ( 3;1; 1) B  

8) vuông góc với mặt phẳng ( ) :R x y 3z 1 0 và song song với đường thẳng : 4 1 1

1) Do ( ) //( ) nên n ( ) n( )  (1; 1; 2) là vectơ pháp tuyến của ( )

Mặt khác ( ) đi qua điểm M(1; 2;0) nên suy ra phương trình ( ) :

x 1 (y  2) z 0 hay x   y z 3 0 (thỏa mãn song song với ( ) )

2) Do AB( ) n ( ) AB(1;3; 3) là vectơ pháp tuyến của ( )

Mặt khác ( ) đi qua điểm M(1; 2;0) nên suy ra phương trình ( ) : x 1 3(y 2) 3z0 hay x3y3z 5 0

3) Vectơ pháp tuyến của ( ), ( )P Q lần lượt là n( )P  (1; 2;1),n( )Q (2;1; 1)

Trang 20

Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình:0(x 1) (y  2) z 0 hay y  z 2 0

Kiểm tra kết quả: Chọn M1(1;0;0)Ox và M2(1; 1;0)  Ta có: M1( ); M2( ) / /( )

5) ' đi qua điểm N(0;1; 1) và có vectơ chỉ phương u'(2;1; 3)

6) a) Ta có MN(1; 1;1) và j(0;1;0) là vectơ chỉ phương của trục Oy

Khi đó ( ) có vectơ pháp tuyến : n( ) MN j ,  ( 1;0;1) nên có phương trình :

1.(x  1) z 0 hay x  z 1 0 (thỏa mãn song song với Oy)

b) Ta có MN(1; 1;1) , k(0; 0;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng xOy

Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) :5(x 1) 9(y 2) 7z0 hay 5x9y7z130

8) Mặt phẳng ( )R có vectơ pháp tuyến n( )R (1;1; 3) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud (2;1; 1)

Suy ra phương trình ( ) :2(x 1) 5(y  2) z 0 hay 2x5y z 120

Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M0(4; 1;1) d Nhận thấy M0(4; 1;1) ( ) (do 2.4 5.( 1) 1 12    0)

Suy ra d ( ) (không thỏa mãn vì theo đề bài d //( ) )

Vậy không tồn tại mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán

 Chú ý quan trọng : Trong các bài toán có yếu tố song song (như đường thẳng song song với mặt phẳng

hoặc hai mặt phẳng song song với nhau), khi sử dụng tính chất song song để tìm ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần lập, ta mới sử dụng điều kiện cần nhưng chưa đủ Vì vậy trước khi kết luận phải có bước kiểm tra lại điều kiện đủ (điều kiện song song) để đưa ra đáp số chính xác cho bài toán

Trang 21

SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà ta chỉ khai thác được yếu tố véctơ pháp tuyến (giống như Cách ra đề 1 ) mà không có được yếu tố điểm Thì sau khi tìm được n( ) ( ; ; )a b c ta sẽ gọi phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax by   cz m 0 Tìm cách cắt nghĩa dữ kiện bài toán (thường là yếu tố định lượng) để thiết lập phương trình f m( )0, tìm m và suy ra phương trình ( ) )  CHÚ Ý: Nếu biết cả yếu tố điểm M0 mà mặt phẳng ( ) đi qua ( đây là Cách ra đề 1 ) ta vẫn có thể đi theo sơ đồ của Cách ra đề 2 này Bởi ở Bước 2 trong khâu cắt nghĩa ta sẽ thay tọa độ độ điểm M0 vào phương trình ax by   cz m 0 và dễ dàng tìm được m để có được phương trình mặt phẳng ( )

Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hai mặt phẳng ( ) :P x   y z 3 0 và ( ) :Q x   y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )R vuông góc với ( )P và ( )Q sao cho khoảng cách từ ( )O đến ( )R bằng 2 Giải ( )P (1;1;1) n và n( )Q (1; 1;1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( )P và ( )Q Do ( )R vuông góc đồng thời với ( )P và ( )Q nên ( )R có vectơ pháp tuyến: n( )R n ( )P,n( )Q (2;0; 2) 2.(1;0; 1) Vậy phương trình ( )R có dạng: x  z m 0

Ta có: d O R( ;( ))2

2 2 2 2 2 2 2 1 1 m m m         Vậy phương trình của ( )R : x z 2 20 hoặc x z 2 20

Ví dụ 2 Cho phương trình mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z100, đường thẳng : 1 2

 và mặt

cầu ( ) :S x2y2z22x2y4z 3 0 Viết phương trình:

1) mặt phẳng ( ) vuông góc với ( )P , song song và cách  một khoảng bằng 2

2) tiếp diện của ( )S và song song với ( )P

Cách ra đề 2: Khai thác được véctơ pháp tuyến nhưng không có được yếu tố điểm

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,82 MB