Skkn toán học cơ bản áp dụng cho các bài tập cực trị trong chương điện xoay chiều

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAITRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN HỌC CƠ BẢN ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG ĐIỆN XOAY CHIỀU Họ và tên: Đỗ Công Đô Giáo vi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TOÁN HỌC CƠ BẢN ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TẬP CỰC TRỊ

TRONG CHƯƠNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Họ và tên: Đỗ Công Đô Giáo viên môn: Vật Lý Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Số 2 Bảo Thắng

Bảo Thắng 23 tháng 4 năm 2014

MỤC LỤC

Trang

A MỞ DẦU

I Thực trạng của vấn đề 2

II Mục đích nghiên cứu 2

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

IV Phương pháp nghiên cứu 3

B NỘI DUNG I.Những kiến thức toán học bổ trợ 3

1.Tính chất của phân thức đại số 3

2 Tính chất của tam thức bậc hai 3

3 Tính chất của các hàm số lượng giác và các định lý trong tam giác 4

4 Bất đẳng thức Cô-si 4

5 Cực trị hàm số 4

II.Những trường hợp vận dụng cụ thể 4

1.Bài toán cộng hưởng điện 4

2.Bài toán cực trị khi LC thay đổi 7

3 Bài toán cực trị khi khi R thay đổi 13

4 Bài toán cực trị khi tần số dòng điện biến thiên 16

III Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều 20

1.Về tổng trở 20

2.Về điện áp hai đầu đoạn mạch 21

3.Về biểu thức điện áp, cường độ dòng điện tức thời 21

4.Các trường hợp cực trị 21

IV.Bài tập đề nghị 23

C.KẾT LUẬN 26

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

ĐỀ TÀI TOÁN HỌC CƠ BẢN ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG

CHƯƠNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

A MỞ ĐẦU

I Thực trạng của vấn đề

Hiện nay, trên thị trường sách và các phương tiện thông tin có nhiều sách tham khảocho học sinh nhưng việc phân loại các bài tập và phương pháp giải các bài tập khôngthống nhất, thậm chí là rất khác nhau gây ra nhiều khó khăn trong quá trình lĩnh hội vàthi cử của học sinh Có tài liệu phân loại quá nhiều dạng dẫn đến các dạng vụn vặt, khócho học sinh trong quá trình nắm bắt một cách có hệ thống Có tài liệu lại quá cô đọngdẫn đến phương pháp không tổng quát hết cho một dạng Hiện nay một số các tài liệutham khảo viết cho phần điện xoay chiều của chương trình vật lý lớp 12 cũng khôngtránh khổi thực trạng đó

Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉtrọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng là một phần cólượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT Đồng thời phần này để làm tốthọc sinh cũng rất cần thành thạo với các kỹ năng biến đổi toán học để vận dụng giảinhanh chính xác các bài toán Vì vậy, vận dụng thành thạo kiến thức toán học cũng nhưvật lý là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu

đề tài: “Toán học cơ bản áp dụng cho các bài tập cực trị trong chương điện xoay chiều” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản của vật lý và toán

học Đồng thời tôi đã tiến hành nghiên cứu phân dạng một cách vừa phải, vừa mang tínhtổng quát, vừa mang tính cụ thể cho đề tài Bên cạnh đó, tôi đã đề ra phương pháp giải cụthể cho từng dạng, có chú ý đến sự khác biệt và các kiến thức liên quan, giúp các em cóthể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệmphần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phầnđiện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyếtcác vấn đề khi gặp phải, đồng thời cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụngđược các kỹ năng toán học trong từng bài tập

Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loạitrong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh chóng.Cuối cùng đề tài cũng giúp tôi trao đổi kinh nghiệm giảng dạy chương điện xoaychiều

III.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu được dùng cho học sinh khối 12 ban cơ bản, đồng thời cũng cóthể sử dụng cho giáo viên tự bồi dưỡng chuyên môn

Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT đề tài cũng chỉ đề cập đếnmột số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12 đó là :

+Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và các kỹ năng toán họccần thiết để vận dụng

+Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều

VI.Phương pháp nghiên cứu

-Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:

+ Tính chất của phân thức đại số và tam thức bậc hai

+ Tính chất của các hàm số lượng giác và một số định lý trong tam giác

I.Những kiến thức toán học bổ trợ

1.Tính chất của phân thức đại số

Xét một phân số P = B A , trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số P đạt giá

trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.

2.Tính chất của tam thức bậc hai.

-Định lý Vi-ét :Nếu tam thức bậc hai ax2+bx +c có >0 thì x1+x2 = b

a

 -Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của tam thức bậc hai :

+Nếu a>0 thì tam thức bậc hai ax2+bx +c có giá trị nhỏ nhất khi x =

2

b a

đó min

'4

y

 

 

3.Tính chất của các hàm số lượng giác và các định lý trong tam giác

Đối với các hàm số lượng giác :

+) y = sinx thì y max = 1 khi x = /2 + k (kZ)

+) sin2 x  cos2 x  1 ; Sinx=cos(

x-2



) Đối với tam giác :

sin sin sin

4 Bất đẳng thức Cô-si.

Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có a b 2 ab

Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a=b, và nếu a,b không đổi thì khi đó tổng (a + b)

bé nhất

5 Cực trị hàm số.

+ Hàm số f có cực trị <=> y ' đổi dấu

+ Hàm số f không có cực trị <=> y ' không đổi dấu

+ Hàm số f chỉ có một cực trị <=> y ' đổi dấu 1 lần

+ Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) <=> y ' đổi dấu 2 lần

+ Hàm số f đạt cực đại tại x0 nếu

' 0 '' 0

( ) 0( ) 0

( ) 0( ) 0

( ) 0( )

Chú ý: Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó

đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định

II.Những trường hợp vận dụng cụ thể

1 Bài toán cộng hưởng điện.

1.1 Bài toán tổng quát

Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là:

Cuộn dây thuần cảm, tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rấtlớn

a.Điều chỉnh C để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại Tính công suất cựcđại đó

b.Với giá trị nào của C thì số chỉ vôn kế V là lớn nhất, tìm số chỉ đó

Ta thấy rằng U và R có giá trị không thay đổi, vậy P lớn nhất  Z =

2 max 

L

Z R Z

*Nhận xét: Trong bài tập này ta đã áp dụng tính chất cực đại của phân thức đại số

khi mẫu số nhỏ nhất, đây cũng là điều kiện cộng hưởng điện mà ta thường gặp.

1.2 Các bài tập vận dụng

Ví dụ 1(Đại học- 2008 ) : Một đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm điện trở

thuần 100 Ω , cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L=1/(10π) và tụ điện có điện dung

C thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện hiệu điện thế u = 200 √2sin100π t (V).Thay đổi điện dung C của tụ điện cho đến khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây đạtgiá trị cực đại Giá trị cực đại đó bằng

A 200 V B 100√2 V C 50√2 V D 50 V

* Hướng dẫn giải:

Hiệu điện thế hai đầu cuận dây là L L

Ví dụ 2(TN- 20 11) :Đặt điện áp xoay chiều u  200 2 os100 t (V) c  vào hai đầu

hằng số và không phụ thuộc vào R điều này xảy ra khi UR = UAB nên ta có:

LC

Vậy đáp án là đáp án D

Ví dụ 4 (ĐH - 2010): Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200 V và tần số

không đổi vào hai đầu A và B của đoạn mạch mắc nối tiếp theo thứ tự gồm biến trở R,cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi Gọi N là điểm nối

thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu biến trở R có giá trị không đổi và khác không khi thayđổi giá trị R của biến trở Với C = 1

Ví dụ 5 (ĐH - 2012): Trong giờ thực hành, một học sinh mắc đoạn mạch AB gồm

điện trở thuần 40 , tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn dây có độ tự cảm Lnối tiếp nhau theo đúng thứ tự trên Gọi M là điểm nối giữa điện trở thuần và tụ điện Đặtvào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200V và tần số

50 Hz Khi điều chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị Cm thì điện áp hiệu dụng giữa haiđầu đoạn mạch MB đạt giá trị cực tiểu bằng 75 V Điện trở thuần của cuộn dây là:

Ví dụ 6 (ĐH - 2013): Đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X và tụ

điện (hình vẽ) Khi đặt vào hai đầu A, B điện áp uAB U cos( t0   )(V) (U0,  và 

không đổi) thì: LC 2 1, UAN 25 2V và UMB 50 2V, đồng thời uAN sớm pha

3



sovới uMB Giá trị của U0 là

2 Bài toán cực trị khi LC thay đổi

2.1 Bài toán tổng quát

Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Cuộn dây thuần cảm, tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rấtlớn

a.Điều chỉnh C để số chỉ vôn kế cực đại Tính số chỉ cực đại đó

b.Tìm C để công suất P tiêu thụ trong mạch cực đại Phác vẽ đồ thị P theo ZC

c.Tìm C để URC có giá trị cực đại.

Bài giải

a.Số chỉ vôn kế là U C = I.Z C = Z C

Z U

U

2 2

2

) (Z L Z C Z C R

U



2 2

Z R

y

U

2 min 2 2

'

L

R y

Hiệu điện thế hai đầu mạch được biểu diễn bằng

véc tơ quay Unhư hình vẽ

Do L và R không đổi nên  = const => cos= const, và

U cũng không đổi, nên khi C biến thiên thì chỉ  thay đổi,

U C cực đại khi sin = 1 =>  = π/2

Z Z Z

U

C L

2 2

2

) ( 

U

2 2

) ( L C

C

Z Z R

Z R U

2 2

C

C L K C Z R

Z Z Z Z R

2 2

1

C

C L L

Z

R

Z Z

C

C L L

Z R

Z Z Z





 , đặt Z C = x  y = 2 2

2 2 .1

x R

Z x

2

x R

R Z x x

4 2

4

2 2

2 2

R Z

Z

x

Z R Z

2 4

4

R Z Z Z R

R

L L

L 

2 2

2

4

4

R Z Z

R

L

L  

P(W )

R Z Z

R

L L

244

4

2 2

2 2 2 2

2

Z Z R

R Z Z U U

R Z Z Z

C L

L RC

L L C

2 4 2

4

2 2 max

2 2

C C

-Trong trường hợp L thay đổi:

Tìm điều kiện L để hiệu điện thế hai đầu cuôn dây có giá trị cực đại?

Tìm điều kiện L để hiệu điện thế URC có giá trị cực đại?

Cách giải tương tự như bài này, ta dễ dàng tìm được điều kiện bài toán là:

Khi L biến thiên để (URL)max thì ta có

Z U U

R Z

Z Z

L RL

C C

L

4 , 189

232 2

4

max

2 2

1 1 2

L L

Ví dụ 1 : Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là

Ví dụ 2(Đại học-2010): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc

nối tiếp Đoạn mạch AM có điện trở thuần 50 mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tựcảm 1

U0cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch AB Điều chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị C1 sao cho điện áp hai đầu đoạn mạch AB lệch pha

2



so với điện áp hai đầu đoạn mạch

AM Giá trị của C1 bằng



5

2.10F



5

10F



 => chọn B

Ví dụ 3(ĐH-2011) : Đặt điện áp xoay chiều u U 2 cos100 t  (U không đổi, t tínhbằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ

tự cảm 1

để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại Giá trị cực đại đó bằng U 3

Ví dụ 4 ( ĐH -2011): Đặt điện áp xoay chiều u =Ucos100πt V vào hai đầu đoạn

mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ

tự cảm L thay đổi được Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm đạt giá trịcực đại thì thấy giá trị cực đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng

36 V Giá trị của U là

* Hướng dẫn giải:

R

C R L

U

U U U U

2 2 max

C L

U

U U U Z

Z R Z

2 2 2

* Hướng dẫn giải:

3 Bài toán cực trị khi khi R thay đổi

3.1Bài toán tổng quát

Bài toán 1

Một mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

a) Cuộn dây thuần cảm R là một biến trở Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của

đoạn mạch cực đại Tìm R và công suất đó

b) Khi R = R1 và R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất là P chứng minhrằng: R1R2=(ZL-ZC)2 và

2

1 2

U P

U

C L

2 2

2

) ( 



Có thể viết: P =

R

Z Z R

U

C L

2 2

) ( 

 = U y2 với y =

R

Z Z

R L C

2

) ( 

R L C

2

) ( 



=> R = Z  L Z C

B C

Và P max =

C

L Z Z

U y

U



 2

2

min 2

U

C L

2 2

2

) ( 

 => PR2 U R P Z2  ( L  Z C)2 0vì vậy R1 , R2 lànghiệm của phương trình trên nên ta có : R1R2=(ZL-ZC)2

2

1 2

U P





Bài toán 2

Cho mạch điện như hình vẽ:

Trong đó cuôn dây có điện trở thuần r, hãy xác định giá trị của biến trở để công suất tiêuthụ thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại

b) Công suất tỏa nhiệt trên biến trở R cực đại

U

) (

)

2

r R Z Z r R

U

C L

R

Z Z r R

2 2

C L C L

Z Z U P

r Z Z R

Z Z U P

Z Z r R

U

C L

) (

PR  2 2

2 2

2

2

) (

2 ) (

.

U R

Z Z r R r

2 max

2 2

) (

2 ) (

) (

C L R

C L

Z Z r r U P

Z Z r R

3.2 Các bài tập vận dụng

Ví dụ 1 (ĐH – 2009): Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai

đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100

Ω Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau.Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụnggiữa hai đầu tụ điện khi R = R2 Các giá trị R1 và R2 là:

2 1

U R

2 1

C

Z =1002 (1)Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2

2

1



I I

2

2 2

2 1

R

(2) Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω.

Ví dụ 2(CAO ĐẲNG 2010): Đặt điện áp u = 200cos100t (V) vào hai đầu đoạn

4 Bài toán cực trị khi tần số dòng điện biến thiên

4.1 Bài toán tổng quát.

Một đoạn mạch xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuôn dây thuần cảm L và một tụ

cos(t),có U = const nhưng tần số thay đổi Xác định  để:

a.Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở đạt cực đại

b.Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại

c.Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại

Bài giải

a.Hiệu điện thê hiệu dụng hai đầu điện trở:U R = I.R = R

Z

U , dễ dễ thấy U, R

không đổi nên U Rmax  Z min Z C = Z L =>  = LC1

b.Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện: U C = I.Z C = Z C

Z U

U

2 2

2

) (Z L Z C Z C R

U



2 2

2

C C

L L R

U

Đặt: x = 2 > 0; a = L 2 C 2 ; b = R 2 C 2 -2LC; y = ax 2 + bx + 1

=> U C U y

2 2



Ta có: a= L 2 C 2 > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = x o = 2b a (1)

2 2

2

) (Z L Z C Z L R

U



2 2

1

2 2 2

2 2 2 2

2

C C

L L R

2 (

1 1

2 2

2 4 2 2

LC 



4.2 Bài tập áp dụng.

Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100 Ω, cuộn dây

thuần cảm có độ tự cảm L = (H), tụ điện có điện dung C =



2

10  4

(F) mắc nối tiếp Mắchai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời uMN = 120cos(2πft) V có tần

số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được

a) Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tỏa nhiệtP1 trên đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạnmạch đó

b) Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạnmạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó Tính hệ

Z Z

Z C L

Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là I = = A

Công suất tiêu thu trên đoạn mạch điện là P1 = I2R = 72W

R U



100 120

2 2 2 2

Hệ số công suất khi đó là cosφ = =1

Ví dụ 2: Một đoạn mạch điện xoay chiều RLC có R = 100, L = (H), C =

R C

C R

LC 

  =

C L

C R L

2 2

1 2

2

10 100 2

4 2

4 2

Vậy UC đạt cực đại khi tần số dao động f ≈ 61 Hz

Ví dụ 3(ĐH- 2011): Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos(ωt) (với U0 không đổi và ωthay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn càm thuần có độ tựcảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR2 < 2L Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì

dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại Hệ thức liên hệ giữa ω1, ω2 và ω0 là

2

1

2 1

2 2

2 1

Ta có: U1C = U2C  2

1 1

2

C L

R C

2

C L

R C

2 2 2 2 2 1 2

2 2 2

2 1

2 2 2

2 2

2 2L CL  

C

CR L L

2 2

1

2 2

2

Ví dụ 4 (DH 2012): Đặt điện áp u = U0 cost (V) (U0 không đổi,  thay đổi được)

điện mắc nối tiếp Khi =0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trịcực đại Im Khi  = 1 hoặc  = 2 thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằngnhau và bằng Im Biết 1 – 2 = 200 rad/s Giá trị của R bằng

*

Hướng dẫn giải: