Chuyen de toan OXY ( Bai toan co yeu to truc tam )

Học lại tất cả các kiến thức căn bản về toán từ lớp dưới. Phải thuộc những định nghĩa và định lý bằng cách làm nhiều bài tập. Gặp một bài toán lạ và khó, bình tĩnh và kiên nhẫn phân tích để đưa về những bài toán cơ bản và quen thuộc. Để có hiệu quả cao, cần phải có một chút yêu thích môn học. Phải học đều từ đầu năm chứ không phải đợi gần thi mới học.

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

1

Сâu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt là

4 x  3 y  20  0; 2 x   y 10  0 Đường tròn (C) đi qua trung điểm của các đoạn HA, HB, HC có phương trình là x12y22 25, trong đó H là trực tâm của tam giác ABC Tìm tọa độ H biết C có hoành độ lớn hơn  4

Сâu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung

tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3x5y 8 0,xy40 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là

4; 2

D  Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3

Hướng dẫn giải:

* Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC,

K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC

Ta kí hiệu n u d, d

lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d

Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

* AD vuông góc với BC nên n AD u BC 1;1

, mà AD đi qua điểm D suy ra phương trình của

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

4

Suy ra BHK BDK, vậy K là trung điểm của HD nên H  2; 4 

* Do B thuộc BC  B t t  ;  4 , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C  7  t ;3  t 

d x  y  

Hướng dẫn giải

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

5

P H

A

M N

* Ta thấy tứ giác BHMN nội tiếp suy ra I là trung điểm của BH;

* Đường thẳng AC : 2 x    y 6 0 Tìm được tọa độ C    5; 4 

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là B  4; 1 ,   C    5; 4 

Сâu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm I  1; 2  và có trực tâm H thuộc đường thẳng d x :  4 y   5 0 Biết đường thẳng AB có phương trình

2x   y 14  0 và khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 Tìm tọa độ điểm C, biết hoành độ điểm C nhỏ hơn 2

Hướng dẫn giải:

I C

A

B M

* Gọi M là trung điểm AB, suy ra tọa độ M là hình chiếu của I trên AB nên M  5; 4 

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là C  1; 3  

Сâu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M  3; 1  , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B đi qua điểm E    1; 3  và đường thẳng chứa AC đi qua điểm F  1;3  Điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D  4; 2   Tìm tọa độ của các đỉnh tam giác ABC

* Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì khi đó BHCD là hình bình hành, nên M là trung điểm HD

Suy ra H  2;0  BH chứa E    1; 3  nên BH x :    y 2 0

* Do CD/ /BH và D  4; 2   thuộc CD nên CD x :    y 6 0

BH vuông góc AC và F  1;3  thuộc AC nên AC x :    y 4 0

* Do C là giao điểm AC và CD nên tọa độ C là nghiệm của hệ: 6 0 5; 1

M  là trung điểm BC nên B  1; 1  

* Do H là trực tâm tam giác ABC nên AH vuông góc BC suy ra AH x : 20

Do A là giao điểm AH và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 2 0 2; 2

Vậy phương trình thỏa yêu cầu bài toán là AB : 3 x    y 4 0

Сâu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có 5 9

P' H

* gọi AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Xét AB vuông góc BD và CH vuông góc AB suy ra BD // CH

Tương tự ta có: BH // CD suy ra BHCD là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm HD

*

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

10

Gọi P' là giao điểm PH và AC Theo đề bài, ta có: HP HM  0HPHM

Suy ra các tứ giác DPHD và CDHP nội tiếp được

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A  3;8 ,  B   2;3 ,  C  5; 2 

Сâu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (c) có phương trình là

(Trích đề thi thử số 3, Tạp chí Toán học và Tuổi Trẻ, năm 2014)

Hướng dẫn giải:

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

12

* Gọi I là tâm đường tròn (C), E là trung điểm BC và H là trực tâm tam giác ABC

Kẻ đường kính AA' của đường tròn (C)

x

x

H y

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

13

Do B có tung độ lớn của C nên ta nhận B  3;8 ,  C  3; 2  

Сâu 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm I  1; 2  , bán kính

17 và đường thẳng BC có phương trình 3 x  5 y  30  0 Biết trực tâm H của tam giác thuộc đường thẳng

* Vậy H là giao điểm của đường tròn (C') và đường thẳng có phương trình 5 x  3 y  24  0

Nên tọa độ H thỏa hệ:

(Đề thi thử Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội - Lần 1 - 2015 - 2016)

Đáp án: Gọi I, M lần lượt là trung điểm của AH, BC Dễ thấy các

điểm A, H, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH, có tâm là I;

còn các điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC, có

tâm là M Vì EF là dây cung chung của hai đường tròn nói trên nên

IM EF, kéo theo IM  d Từ đó, viết được phương trình đường

thẳng IM : 3xy170 Do M    d nên suy ra M  5; 2 

Đường thẳng BC vuông góc AH, đi qua M nên BC y : 20 Từ

đó, gọi tọa độ điểm B b  ; 2  thì tọa độ C  10  b ; 2  Vì

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường

trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3x5y 8 0,xy40 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D  4; 2   Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3

(Đề thi thử THPT Thống Nhất Thanh Hóa 2016 Lần 1)

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

17

Đáp án: Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là

giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n u  d, d

lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

A x   y       x y Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là

nghiệm của hệ phương trình 3 5 8 0 3 3; 1

Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK  KCE, mà KCE  BDA(nội tiếp chắn cung AB)

Suy ra BHK BDK, vậy K là trung điểm của HD nên H  2; 4 

Do B thuộc BC  B t t  ;  4 , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C  7  t ;3  t 

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng

AH là 3xy 3 0, trung điểm của cạnh BC là M(3 ; 0) Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ

B và C đến AC và AB, phương trình đường thẳng EF là x3y70 Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương

(Đề thi thử THPT Sở GD & DT Quảng Nam 2016)

Đáp án: (Đường tròn (J) là đường tròn Euler)

Gọi I trung điểm AH Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn nên

IM EF(đoạn nối tâm vuông góc với dây chung)

Do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm là trung điểm J của IM

(Đường tròn (J) là đường tròn Euler)

Đường thẳng IM qua M và vuông góc EF nên có phương trình: 3xy 9 0

I là giao điểm của AH và IM nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Vì A có hoành độ dương nên A1 2; 6 3 2 

Câu 15 (Thpt – Minh Châu – lần 2) Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho tam giác ABC nhọn

có đỉnh A ( 1; 4), trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M, đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I(2; 0), đường thẳng BC đi qua điểm P(1; 2) Tìm toạ độ các đỉnh B C, của tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng

: 2 2 0

d x y  Đáp số :B(4;-1);C  ( 5; 4)

Facebook : https://www.facebook.com/quang.manngoc

20

I

H N

Đường thẳng AC: 2xy60 Tìm được toạđộC  ( 5; 4)

Câu 16 (Thpt – C Nghĩa Hưng) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy,cho tam giác đường cao

AA’có phương trình x+2y-2=0 trực tâm H(2;0) kẻ các đường cao BB’và CC’ đường thẳng B’C’

có phương trình x-y+1=0 M3;-2) là trung điểm BC tìm tọa độ các đỉnh A,B và C

Đáp số : B(3 13; 2 2 13)  C(3 13; 2 2 13) 

C'

N J

Xét đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC kẻ đường kính AN

=> M là trung điểm HN = > N(4;-4)

J là trung điểm AH = >MJ//AN và MJB’C’

Phương trình AN là x+y=0 =>tọa dộ A(-2;2)

D(4;-2) M(3;-1)

I H

C B

+Gọi C(c ;4-c) thuộc AC Nhờ t/c trung điểm suy ra B(6-c ;-6+c)

B nằm trên BH nên ta có (6-c)-(-6+c)-2=0 hay c=5 Suy ra : B(1 ;-1) và C(5 ;-1)

+ PT đường cao (AH) đi qua H(2;0) và vuông góc BC là :x-2=0

+ A là giao điểm của AH và AC nên A(2;2)

Câu 18 ( Thpt – Yên Lạc – Lần 1 - 2015) Cho  ABC có trung điểm cạnh BC là M  3 1 ; 

, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B đi qua điểm E    1 3 ;  và đường thẳng chứa AC

M ; là trung điểm của BC nên B ;  1 1 BC4 0; 

Do H là trực tâm  ABC nên

AH  BC   AH : x    2 0

( ; ) loai

13 7 D(a;b) ( ; ) ; ( 2; 1)

4 213