Điều khó khăn nhất để giỏi môn toán là phải dành cho nó nhiều thời gian. Dù không phải nhớ nhiều nhưng trước hết chúng ta phải nhớ các định nghĩa, các tính chất, các định lý và các hệ quả. Để nhớ và hiểu sâu sắc các định nghĩa và định lý, chúng ta phải làm nhiều bài tập. Trăm hay không bằng tay quen. Khi đến 1 khu phố lạ ta bị lạc đường nhưng 1 đứa bé 10 tuổi có thể dẫn ta đi bất cứ ngóc ngách nào mà không lạc, đó chính là do quen.
Trang 1Chuyên đề 4 Phương pháp hàm đặc trưng
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
3
3
(2 3 ) 1
x y
Giải:
Xét x=0 không là nghiệm của hệ phương trình
Xét x0:
3
3
1
2 3 (1) (2 3 ) 1
3
2 (2)
y
x y
y
x
Cộng 2 phương trình (1) và (2) ta được: 13 3 3
3
x x (3) Xét hàm :
3
3
f t t t
BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT
1 Nội dung phương pháp:
Phương pháp này ta sẽ sử dụng với hệ mà các phương trình có x và y độc lập với nhau hoặc có thể biến đổi về hệ phương trình có x và y độc lập với nhau Sau đó xét một hàm số f t đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Khi đó
phương trình
( )f u f v( ) u v
Để xuất hiện hàm đặc trưng cần chú ý:
Hàm đặc trưng sẽ xuất hiện từ (1) trong (2) phương trình của hệ thông qua biến đổi đại số, đặt ẩn phụ hoặc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một biếu thức
Hàm đặc trưng sẽ xuất hiện sau khi cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ
Trang 2Ta có 2
f t t suy ra hàm f t đồng biến trên ( )
1
1
x y x
Thay vào phương trình (1) ta được:
1
2 3
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 1
; ; 2 , 1; 1
2
x y
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
y
x
Giải:
Trừ hai vế của 2 phương trình cho nhau ta đươc:
Xét hàm f t( ) t t2 1 3 t Ta có '
2
1
t
t
t
suy ra hàm f t( ) đồng biến trên
(3) f x 1 f y( 1)
Thay vào 1 trong 2 phương trình được:
x 1 x1 1 3x y 1 y1 1 3y (3)
y y
Trang 3 2 1
x 1 x1 1 3x
Đặt
1
u x
Ta được phương trình
2
2
1 3
u
u
2
1
u
Suy ra hàm g u nghịch biến trên ( )
Mặt khác, g(0)=1, do đó phương trình có 1 nghiệm duy nhất u=0 suy ra hệ phương trình
có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2
(1)
Giải:
Nhận thấy y0 không là nghiệm của hệ nên ta chia cả 2 vế phương trình (1) cho y5 0 :ta được:
5
5 (3)
Ta xét hàm:
'( ) 5 1 0
f t t t f t t Suy ra hàm f t đồng biến trên ( )
Trang 4
2
(3) f x f y( )
y x y y
x y
Thay vào phương trình (2):
0
1
0
x
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; (1;1), (1;-1)
Ví dụ 4 (ĐHKA-2010) Giải hệ phương trình
2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
Giải:
Đặt
2 5
2
t
2 2
1
2
t
Trang 5Ta xét hàm:
f t t t f t t Suy ra hàm f t đồng biến trên ( )
2
2x
0
5 4x 2
t
x y
Thế vào (2) ta được:
2
4 2 2 3 4 7 (4), 0
Dễ thấy 0, 3
4
x x không là nghiệm của (4)
Xét
2
2
g x x x x
3 0;
4
2
4
3 4
x
Suy ra hàm g x nghịch biến trên ( ) 0;3
4
Mặt khác
0
g x
là nghiệm duy nhất của (4) y 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm
1 ( ; ) ; 2
2
NOTE: Chúng ta chỉ xét hàm trên (a,b) chứ không xét hàm trên [a,b], vì trong một số trường hợp tại các điểm mút a,b đạo hàm không xác định Vì vậy các em nên tách 2 điểm đầu mút xét riêng xem có là nghiệm của phương trình không
Trang 6Ví dụ 5 Giải hệ phương trình 2 1 (1)
x y
Giải:
Đặt u x y v, x y Hệ có dạng:
1 1
1
1 (3)
1 (4)
u
u
v u
Trừ 2 vế của (3) và (4) cho nhau ta được: e v e u u v
(5)
Ta xét hàm:
t '( ) t 1 0
f t e t f t e Suy ra hàm f t đồng biến trên ( )
(5) f u f v( )
u v
0
Từ (2)e x x 1 e x x 1 (6)
Đặt ( ) x
g x e x, '( )g x e x 1
x g x g x đồng biến trên (0;).g x( )g(0)g x( ) 1 Suy ra (6) vô nghiệm
x g x g x nghịch biến trên (;0)g x( )g(0)
.g x( ) 1 Suy ra (6) vô nghiệm
Nếu x 0 VT(6)VP(6) 1 x 0 là nghiệm duy nhất của (6)
Trang 7Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; )x y (0;0)
Download các chuyên đề trước:
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp miền giá trị: Tại đây
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp nhân chia: Tại đây
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hạng tử tự do: Tại đây
Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
2 Bài tập tự luyện
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1.
3
2
Bài 2.
Bài 3.
2
Bài 4.
3